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Métodos de factorización.


 

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MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Factorización es la operación que tiene por objeto transformar una expresión algebraica racional y entera en otra equivalente que sea igual al producto de sus factores primos racionales y enteros.

Analizar previamente los siguientes casos:

  1. Factor común
  2. Descomposición en grupos de igual número de términos y con un factor común
  3. Trinomio cuadrado perfecto
  4. Diferencia de cuadrados
  5. Suma o diferencia de potencias de igual grado

MÉTODO DEL ASPA

1) ASPA SIMPLE

Se usa para factorizar trinomios de la forma:

  ax2n ± bxn ± c

o, de la forma:

  x2n ± bxn ± c

PROCEDIMIENTO.-

Se descompone en dos factores al primer término, ax2n o x2n, según sea el caso. Se coloca estos factores en las puntas de la izquierda del aspa. El término independiente, incluyendo el signo, también se descompone en dos factores, los que se coloca en las puntas de la derecha del aspa. Los factores de la expresión dada son la suma horizontal de arriba y la suma horizontal de abajo. El término central debe ser igual a la suma de los productos en aspa.

Ejemplo: x4n + 7x2n + 12

1) x4n en dos factores: x2n . x2n

2) 12 en dos factores: 4 . 3

Se coloca los factores en la punta izquierda y derecha del aspa:

3) El término central es la suma de los productos en aspa.

3x2n + 4x2n = 7x2n

4) Los factores son las sumas horizontales de arriba y abajo.

Luego:

x4n + 7x2n + 12 = (x2n + 4) (x2n + 3)

2) ASPA DOBLE

Se usa para factorizar polinomios de la forma:

ax2n ± bxnyn ± cy2n ± dxn ± eyn ± f

y también para algunos polinomios de 4to. grado.

PROCEDIMIENTO.-

Se ordena en forma decreciente para una de las variables; luego, se traza y se ejecuta un aspa simple para los tres primeros términos con trazo continuo. A continuación y, pegada al primer aspa, se traza otro, de tal modo que el producto de los elementos del extremo derecho de este aspa multiplicados verticalmente sea el término independiente.

1er. factor: suma de los elementos tomados horizontales de la parte superior.

2do. factor: suma de los elementos tomados horizontalmente de la parte inferior.

Ejemplo:

12x2 - 7xy - 10y2 + 59y - 15x - 63

Tomando los tres primeros términos:

1) 12x2 en dos factores: 4x . 3x

2) -10y2 en dos factores: -5y . 2y

Tomando el último término:

3) -63 en dos factores: -9 . 7

Verificando dos términos:

Luego, la expresión factorizada es:

(4x - 5y + 7) (3x + 2y - 9)

MÉTODO DE EVALUACIÓN O DE DIVISIORES BINOMIOS

Este método se aplica a polinomios de una sola variable que se caracterizan por anularse para algunos de los divisores de su término independiente afectado de doble signo, o alguna combinación.

Ejemplo: Factorizar

P(x) = 2x4 + x3 - 9x2 - 4x + 4

Solución:

Los números de prueba son:

Los números fraccionarios tienen como numerador los divisores del término independiente y como denominador los divisores del coeficiente del término de mayor grado.

para x = -1

para x = 2

P(2) = 32 + 8 - 36 - 8 + 4 = 0

METÓDO DE ARTIFICIOS DE CÁLCULO

1) REDUCCIÓN A DIFERENCIA DE CUADRADOS

Consiste en sumar y restar una misma cantidad a la expresión dada para transformarla en una diferencia de cuadrados.

Ejemplo: Factorizar:

E = a4 + 2a2b2 + 9b4

SUMAS Y RESTAS

Consiste en sumar y restar una misma cantidad de tal manera que se forme una suma o una diferencia de cubos y se presenta al factor x2 + x + 1 ó x2 - x + 1.

Ejemplo: Factorizar:

P(x) = x5 + x4 + 1

CAMBIO DE VARIABLE

Consiste en cambiar una variable por otra, de manera que se obtenga una forma de factorización conocida, o que tenga una forma más simple.

Ejemplo: Factorizar:

FACTORIZACIÓN RECÍPROCA

POLINOMIO RECÍPROCO

Es aquel que cuyos coeficientes equidistantes de los extremos son iguales.

Ax4 + Bx3 + Cx2 + Bx + A

Ejemplo: Factorizar el polinomio:

P(x) = 6x4 + 5x3 + 6x2 + 5x + 6

PROCEDIMIENTO

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