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Casos de Factoreo de Polinomios


 

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FACTORIZACIÓN SIMÉTRICA ALTERNADA

POLINOMIO SIMÉTRICO

Un polinomio es simétrico, con respecto a sus variables, cuando su valor no se altera por el intercambio de cualquier par de ellas, y además es homogéneo.

Ejemplo:

   A (x2 + y2 + z2) + B(xy + xz + yz)

Notar que las operaciones con expresiones simétricas dan como resultado también expresiones simétricas.

POLINOMIO ALTERNO

Un polinomio es alterno, con respecto a sus variables, cuando su signo se altera, pero no su valor absoluto, al intercambiar un par cualquiera de ellas, y además es homogéneo.

Ejemplo:

   y2(z - y) + x2(y - z) + z2(x - y)

PROPIEDADES DE LAS EXPRESIONES Y DE LOS POLINOMIOS SIMÉTRICOS Y ALTERNOS

1º No hay expresiones alternas que contengan más de 2 variables y sean de primer grado.

2º Generalmente los polinomios alternos son circulares o cíclicos y están escritos en forma de diferencia.

3º El producto de una expresión simetrica por una alterna da como resultado una expresión alterna.

4º Una expresión simétrica o alterna de variables x, y, z, si es divisible entre "x", entonces también será divisible entre "y" y entre "z".

5º En una expresión simétrica o alterna, de variables, x, y, z, si es divisible entre (x ± y), entonces también será divisible entre (x ± z) (y ± z).

FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO SIMÉTRICO Y ALTERNADO

1) Se averigua si el polinomio es simétrico o alterno.

2) Encontrar los factores de la expresión aplicando el teorema del resto y aplicando las propiedades del polinomio simétrcio y alterno.

3) Plantear el cociente, planteando la identidad de dos polinomios y ampliarlo aplicando el criterio de los valores numéricos.

Ejemplo: Factorizar:

  P(x) = (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3

PROCEDIMIENTO

1) Intercambiando x por y, se ve que la expresión es alterna.

2) Cálculo de los factores x = y

P(x) = (y - y)3 + (y - z)3 + (z - y)3 = 0 + (y - z)3 + [-(y - z)3 ]

P(x) = (y - z)3 - (y - z)3 = 0

Luego el polinomio es divisible entre (x - y)

Por ser polinomio alterno, también será divisible entre los factores obtenidos en forma circular en el sentido indicado:

Si Q es de grado cero quiere decir que es un número.

Dando un juego de valores para x, y, z; se obtiene el valor de Q:

Para x = 1 ; y = 2 ; z = 3:

(1 - 2)3 + (2 - 3)3 + (3 - 1)3  = Q (1 - 2) (2 - 3) (3 - 1)

(-1) + (-1) + (8) = Q(2)

∴ Q = 3

Luego, la expresión factorizada es:

(x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3 (x - y) (y - z) (z - x)

 

 


 


 

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