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ANÁLISIS COMBINATORIO


 

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ANÁLISIS COMBINATORIO

BINOMIO DE NEWTON

DEFINICIÓN

Es el desarrollo de un binomio elevado a la potencia "n".

FACTORIAL DE UN NÚMERO

Factorial de un número "n" es el producto de los número consecutivos desde "1" hasta "n". Se denota así:

 

o así: n!

Ejemplos:

i) , se lee factorial de 5 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5

ii) n!, se lee el factorial de n = 1 . 2 . 3… . (n - 1)n

PROPIEDADES DE LOS FACTORIALES

1º Si |n existe, el valor de "n" es entero y positivo.

|0 = 1 y |1 = 1

3º Si el factorial de un número es igual al factorial de otro, entonces los números son iguales.

4º Debe tenerse en cuenta que:

VARIACIONES

Cada una de las ordenaciones, coordinaciones o arreglos que puede formarse tomando algunos o todos de un número de objetos, se llama una variación diferenciándose entre ellas bien en un objeto o bien en una diferente ordenación de los objetos.

De este modo, las variaciones de "n" elementos tomados de "r" en "r" se puede hallar con la siguiente fórmula:

Ejemplo:

En un campeonato deportivo, participan los equipos a, b, c, d y e. Si los partidos son realizados tanto en la sede de cada uno ("casa o "local"), como en la sede del otro equipo ("visitante").

¿Cuántos partidos se jugara en total?.

Se trata de hallar cuantas variaciones se puede formarse de 2 en 2.

Problemas de ejercitación (Variaciones SIN repetición):

¿Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?

Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse. Por tanto, se pueden formar 504 números :

Variaciones CON repetición:

¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?

Al tratarse de números el orden importa y además no dice nada sobre "cifras distintas" luego si pueden repetirse. Por tanto, se pueden formar 729 números :

 V R39 = 93 = 729

¿Cuantas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b?

Al tratarse de palabras el orden importa y además como son palabras de 10 letras y sólo tenemos dos para formarlas, deben repetirse. Por tanto, se pueden formar 1024 palabras :

V R102 = 2 10 = 1024

PERMUTACIONES

Se llama permutaciones de "n" objetos a los diferentes grupos que con ellos se puede formar, de manera que participando "n" objetos en cada grupo, difieren solamnente en el orden de colocación.

Ejemplo:

Hallar el número de permutaciones de las letras a, b, c, d.

Ejemplo (Permutaciones SIN repetición) :

Con las letras de la palabra DISCO ¿cuantas palabras distintas se pueden formar?

Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y además n = m, es decir tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos D, I, S, C, O que no están repetidos. Por tanto, se pueden formar 120 palabras :

P5 = 5! =5.4.3.2.1= 120

Ejemplo (Permutaciones CON repetición) :

¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?

El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = m, es decir colocamos 9 bolas en linea y tenemos 9 bolas para colocar. Por tanto, tenemos 1260 modos de colocarlas :

 

COMBINACIONES

Se llama así a los diferentes grupos que se puede formar con "n" elementos tomándolos todos a la vez o de "r" en "r", de manera que los grupos se diferencien por lo menos en un elemento. Para determinar el número de combinaciones de "n" elementos tomados de "r" en "r", se usa la siguiente fórmula:

Ejemplo:

¿De cuántas maneras se pueden combinar las vocales a, e, i, o, u tomadas de 2 en 2?

Ejemplo (Combinaciones SIN repetición) :

Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)

No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repetición. Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :

Ejemplo (Combinaciones CON repetición) :

En una confiteria hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles)

No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles en un grupo, luego con repetición. Por tanto, se pueden formar 70 grupos distintos :

REGLA DE MULTIPLICAR

Si el objeto A1 puede ser elegido mediante k1 procedimientos, luego para cada una de éstas elecciones del objeto A1 otro objeto A2 puede ser elegido por k2 métodos, después cada una de estas elecciones, tanto del A1 como del A2, el tercer objeto A3 puede ser elegido por k3 procedimientos, etc... incluyendo el m-ésimo objeto Am, el cual puede ser elegido mediante km métodos, entonces el objeto que figura en la elección de todos los m objetos junto, es decir, el objeto "A1 y A2 y A3 y ... y Am" puede ser elegido por k1·k2·k3·...·km métodos.

Ejemplo (Regla de Multiplicar) :

¿Cuantos números pares de tres cifras se pueden formar, usando las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, si éstas pueden repetirse?

Al formar un número par de tres cifras A1A2A3 con ayuda de las cifras dadas, en vez de A1 puede tomarse una cifra cualquiera, salvo el 0, es decir 6 posibilidades. En vez de A2 pueden tomarse cualquier cifra, es decir 7 posibilidades, y en vez de A3 cualquiera de las cifras 0, 2, 4, 6, es decir 4 posibilidades. De este modo, conforme a la "Regla de Multiplicar" existen 6·7·4 = 168 procedimientos. Así pues, con las cifras dadas pueden formarse 168 números pares de tres cifras.

Pautas para la resolución de problemas

• Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles, importando el orden de colocación de éstos, entonces es un problema de variaciones.

• Si en cada agrupación figuran todos los elementos disponibles, importando su orden de colocación, entonces se trata de un problema de permutaciones.

• Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles, sin importar el orden de colocación de éstos, entonces estamos ante un problema de combinaciones.

PROPIEDADES DE LAS COMBINACIONES

1º COMBINACIONES COMPLEMENTARIAS

Se dice que 2 combinaciones son complementarias cuando el número de combinaciones de "n" elementos tomados de "r" en "r" es igual al número de combinaciones de "n" elementos tomados de "n - r" en "n - r".

2º SUMA DE COMBINACIONES

3º PROPIEDAD SOBRE LOS ÍNDICES

Si existe, luego :

a) "n" y "r" son números enteros y positivos

b) n > r

4º DEGRADACIÓN DE ÍNDICES

Consiste en descomponer un número conbinatorio en otro que tenga igual índice superior, pero índice inferior disminuyendo en 1.

Entre las diferentes configuraciones o agrupaciones que podemos formar con los elementos de un conjunto, las más importantes son :

Agrupaciones Tipo ¿Importa orden? ¿Pueden repetirse? Elementos por grupo Elementos disponibles En cada agrupación... FÓRMULA
VARIACIONES sin repetición SI NO n m n < m

con repetición SI n < m, n > m
PERMUTACIONES sin repetición NO n = m

con repetición SI

COMBINACIONES sin repetición NO NO n ≤ m

con repetición SI

ANÁLISIS COMBINATORIO: Desarrollo del binomio de Newton, método inductivo. Propiedades del binomio de Newton. Término central. Término de Pascal o de Tartaglia. Desarrollo del binomio de Newton con exponente negativo y/o fraccionario .

COMBINATORIA. PROBLEMAS

01 ¿Cuántos números de tres cifras se pueden escribir con los dígitos 3,4,5, y 6?

02 ¿Cuántas columnas rellena un quinielista que juega cinco triples? ¿Y uno que juega siete dobles?

03 ¿Cuántos capicúas de tres cifras se pueden escribir?

04 ¿Cuántos números naturales se pueden escribir con los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5, sin que se repita ninguno? ¿Cuántos terminan en 5? ¿Cuántos comienzan por 3?

05 ¿De cuántos modos distintos pueden presentarse diez cartas de una baraja, sabiendo que son 4 ases, 3 reyes, 2 caballos y una sota?

06 ¿Cuántos elementos hay que combinar de dos en dos para que el número de combinaciones sea 190?

>> Problemas Adicionales para resolver

 

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