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ANÁLISIS COMBINATORIO: Desarrollo del binomio de Newton, método inductivo. Propiedades del binomio de Newton. Término central. Término de Pascal o de Tartaglia. Desarrollo del binomio de Newton con exponente negativo y/o fraccionario .


 

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ANÁLISIS COMBINATORIO

BINOMIO DE NEWTON (Ver Definición )

DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON

(x + a)n

Para exponente entero y positivo "n"

MÉTODO INDUCTIVO

S2 = Suma de los productos de las "n" letras tomadas de 2 en 2.

S3 = Suma de los productos de las "n" letras tomadas de 3 en 3.

Pn = Producto de todas las "n" letras.

Finalmente:

Ejemplo:

Desarrollar (x + a)4

PROPIEDADES DEL BINOMIO DE NEWTON

1º Su desarrollo es un polinomio completo de (n + 1) términos.

2º Los coeficientes equidistantes de los extremos son iguales.

3º El exponente de "x" en cada término es igual al número de términos que le siguen y el de "a" al que le preceden.

4º El coeficiente del primer término es 1 y el coeficiente del segundo término es igual al exponente del primer término.

5º El coeficiente de cada término es igual al anterior multiplicando por el exponente del "x' anterior y dividido por el del "a" anterior y aumentando en 1.

6º Si los términos del binomio tienen signos contrarios, los términos del desarrollo serán alternativamente positivos y negativos, siendo negativos los que contengan potencias impares del término negativo del binomio. Basta sustituir en el dearrollo "a" por "-a".

7º Si los dos términos del binomio son negativos, todos los términos del desarrollo serán positivos o negativos, según que el exponente sea par o impar.

En efecto:

8º La suma de los coeficientes del desarrollo es igual a 2 elevado a la potencia del binomio.

9º La suma de los coeficientes de los términos de lugar impar es igual a la suma de los de lugar par.

10º Con respecto a las letras "x" y "a", el desarrollo es un polinomio homogéneo de grado "n".

CÁLCULO DE TERMINO GENERAL t(k+1)

k = lugar del término anterior al buscado

Ejemplo:

Hallar el término 10 del desarrollo de:

PROCEDIMIENTO:

Nótese que: n = 12

TÉRMINO CENTRAL

Se presenta 2 casos:

1) Cuando el exponente es par, de la forma (x + a)2n, existe un sólo término central, su lugar se calcula así:

Notar que, en este caso 2n es la potencia del binomio.

2) Cuando el exponente es impar, de la forma:

(x + a)2n+1, existen 2 términos centrales, y sus lugares se determinan así:

1er. Término Central =

 

2do. Término Central =

Notar que la potencia del binomio es (2n + 1)

TÉRMINO DE PASCAL O DE TARTAGLIA

Permite determinar los coeficientes de desarrollo del binomio . Se escribe en forma horizontal los coeficientes del desarrollo de las sucesivas potencias del binomio, resulta un triángulo aritmético que se llama Pascal o Tartaglia.

Coeficientes de:

y así sucesivamente.

Ejemplo:

Desarrollar (x3 + y4)5

PROCEDIMIENTO

Utilizando el triángulo de Pascal, los coeficientes del binomio a la 5ta. son:

DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO

PROPIEDADES:

1º El número de términos es infinito, y al desarrollo se le conoce con el nombre de "Serie Binómica de Newton".

2º Para determinar el desarrollo de (x + a)n para un número "n" fraccionario y/o negativo, el valor de "x" debe ser uno y además x > a. Los valores de a deben estar en el rango 0 < a < 1.

3º Los términos del desarrollo con respecto a sus signos, no guardan ninguna relación.

4º Para extraer la raíz de un número con aproximación por la serie binómica de Newton, se utiliza la siguiente relación:

5º Para determinar el término general en el desarrollo se utiliza:

Donde:

  • n = exponente negativo y/o fraccionario
  • k = lugar del término anterior al pedido

Ejemplo:

Hallar el término 2 del desarrollo de (1 - x)-3

 

 


 


 

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