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NÚMEROS REALES


 

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NÚMEROS REALES

Revisión del concepto de número racional.

En el conjunto de los números enteros las operaciones de adición, sustracción y multiplicación son operaciones o leyes de composición interna pues al aplicar una cualquiera de ellas a dos números enteros siempre da por resultado otro número entero. De modo tal que conociendo únicamente los números enteros es posible siempre obtener los resultados de esas operaciones y resolver todos los problemas en que ellas intervienen,al pasar a la operación de división, si el dividendo es múltiplo del divisor no hay ningún inconveniente pues siempre hay un número entero que es resultado.

Así:

-28: 7=-4 ;     15 : (-3) =-5 ; etc.,

pero el problema se plantea cuando el dividendo no es múltiplo del divisor, por ejemplo:

5:3  ;    -11:7; etc.,

pues no hay ningún número entero que sea resultado de estas operaciones.

Esto equivale a decir también que si se trabaja con números enteros la ecuación: b x = a solamente se puede resolver cuando el coeficiente a es múltiplo del coeficiente b, o sea que si se tiene la ecuación: 5 x = 19 no hay ningún número entero que sea raíz de esta ecuación, pues como 19 no es múltiplo de 5, no hay ningún número entero que multiplicado por 5 de 19.

Para encontrar solución a estos problemas, fue necesario ampliar el conjunto de los números enteros introduciendo los números fraccionarios, que quedan definidos como un par ordenado de dos números enteros cualesquiera con tal que el segundo sea distinto de cero.

Así, el par (5; 3) determina, de acuerdo con la notación aceptada, el número fraccionario : 5/3 el par (-11 ; 7) determina el el número fraccionario - 11/7.

Recuérdese que cualquier número entero puede expresarse en forma fraccionaria. Así el número 4 está expresado por cualquiera de las fracciones siguientes:

Según se sabe dos fracciones

son iguales o equivalentes si: a.d = b.c,

Así:

Cada conjunto formado por todas las fracciones iguales o equivalentes entre sí constituye una clase de fracciones equivalentes dentro del conjunto de los números fraccionarios.

Así, las fracciones:

constituyen una clase de fracciones equivalentes cuyos elementos son todas esas fracciones, de las cuales se puede aceptar com representante el número 4

Análogamente, las fracciones:

constituyen una clase de fracciones equivalentes cuyos elementos son todas esas fracciones, de las cuales se puede aceptar como representante el número fraccionario 3/5;

Cada una de estas clases constituye un número racional y cada clase puede considerarse representada por una cualquiera de las fracciones que la constituyen, pero en general, se adopta para representarla el número fraccionario que está determinado por el par de números menores de los de la clase.

Así:

El conjunto de los números racionales con las operacíones de adición y multiplicación constituye un modelo de estructura de cuerpo.

ENTRE DOS RACIONALES SIEMPRE HAY OTRO RACIONAL. En efecto:

Si se tienen los numeros racionales

como la adición y la división de números racionales es una operación interna da por resultado otro racional, en consecuencia:

COROLARIO. Aplicando nuevamente la propiedad recién demostrada, resulta que entre a/b y x/y existe también un número racional x1/y1 comprendido entre ellos dos, es decir:

En esta forma se ha llegado a establecer que entre los dos números racionales dados :

existen otros tres.

Repitiendo sucesivamente el razonamiento se deduce que: Dados dos números racionales:

existen infinitos números racionales comprendidos entre ellos dos.

Esta propiedad se expresa diciendo que el conjunto de los números racionales es un conjunto denso.

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES SOBRE UNA RECTA.

Si sobre una recta se ha elegido un punto 0 como origen y una unidad de medida, como ya se sabe, quedan determinados los puntos que representan los números enteros, algunos de los cuales se destacan en la figura.

Sobre esa recta también se pueden determinar puntos cuyas abscisas son números racionales. Así por ejemplo, se puede encontrar el punto de la recta que representa al número 5/3. Para ello se procede así;

Se traza una semirrecta de origen 0 que forma un ángulo cualquiera con la recta sobre la que se representan los números, la OM , por ejemplo.

Sobre la OM se llevan tantos segmentos consecutivos iguales como el denominador, en este caso 3, y queda determinado el punto P.

Se une P con el punto que representa al numerador 5; en este caso T.

Por el primer punto de división, Q, se traza una paralela al segmento anterior, que corta a la recta donde se representan los números en el punto R que se destaca en la figura y es el que representa al numero racional 5/3.

En efecto, se han formado dos triángulos semejantes y en consecuencia sus lados homólogos son proporcionales, es decir:

es decir que la distancia del punto R al origen es 5/3 o sea la abscisa de R es 5/3 o bien que R representa al número racional 5/3.

De igual modo se representa cualquier otro número racional sobre la recta.

NOTA. En el gráfico se observa lo que ya se ha demostrado: que el conjunto de los números racionales es un conjunto denso.

Efectivamente: entre dos números racionales por ejemplo, el 1.

y el 3 hay infinitos puntos cuyas abscisas son racionales, algunos de los cuales se destacan en la figura.

Existencia de irracionales. Con los números racionales se resuelve un gran número de los problemas que se presentan, pero quedan algunos muy comunes o relativamente comunes sin solución.

Por ejemplo: sea un triángulo rectángulo isósceles tal que cada uno de sus dos catetos mide 1, de acuerdo con la unidad de medida adoptada.

La medida de la hipotenusa, de acuerdo con un corolario del teorema de Pitágoras, está dada por:

En efecto: si √2 fuera igual. a un número racional, p/q por ejemplo, tendría que ser 

 y por lo tanto p2 sería un múltiplo de 2 y por consiguiente p también sería múltiplo de 2, es decir un número par. Luego resultaría que p = 2 n donde n es un número natural.

Reemplazando p por su igual 2 n en [1] se tendría:

relación que expresa que q2 es múltiplo de 2 y por consiguiente q es múltiplo de 2 y en consecuencia q es número par.

Esta conclusión es un absurdo pues si p y q fueran números pares, la fracción p/q no sería irreducible, pues se podría simplificar por 2. Este absurdo provino de suponer que √2 es igual a un número racional. Luego: la √2 no es un número racional, o lo que es lo mismo no tiene solución racional la ecuación x2 = 2.

Este problema y otros que carecen de solución en el conjunto de los números racionales, por ejemplo, aquellos en que figuran las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos, obligan a extender el conjunto de los números racionales introduciendo nuevos números que son los llamados números irracionales.

Si se aplica la regla para calcular la raíz cuadrada de un número, se pueden obtener las sucesivas cifras decimales de la √2 sin llegar nunca a un resto 0. Se obtiene así, un número de infinitas cifras decimales, las primeras de las cuales se escriben a continuación;

√2= 1,41421356237309...

Se puede ver que este número de infinitas cifras decimales no es expresión decimal periódica, pues si fuera una expresión periódica, quedaría expresada por un número racional y se acaba de establecer que la no es un número racional.

Teniendo en cuenta estas consideraciones se da la siguiente.

DEFINICIÓN. Se llaman números irracionales a los números de infinitas cifras decimales, no periódicas y que en consecuencia no pueden representarse por un número racional.

De acá proviene el nombre de irracional que indica que no pueden expresarse mediante la razón entre dos números enteros, es decir mediante un número racional.

Entre los números irracionales figuran, como ya se indicó, las raíces cuadradas de los números que no son cuadrados perfectos. Además de ellos existen otros números irracionales entre los cuales dos de los que más se utilizan en Matemática son: el número Π que establece la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro y el número e que se eligió como base en los primeros sistemas de logaritmos.

A continuación se escriben las primeras cifras decimales de dichos números

Π = 3,14159265358979 ...

e = 2,71828182845904 ...

donde, con los puntos suspensivos se indica la existencia de las infinitas cifras.

Conviene destacar que hay más números irracionales que racionales; para ello basta ver que el número racional 2 da lugar a los números irracionales:

NÚMERO REAL

El conjunto de los números racionales y el de los irracionales constituye el conjunto de los números reales.

El conjunto de los números reales se designa con la letra R y como según se sabe el conjunto de los números racionales se designa Q y el de los irracionales, I, se tiene que:

Q ∪ I = R

Luego en el conjunto de los números reales se puede hacer una partición en dos clases: la de los números racionales y la de los números irracionales.

 

Así:

 

 

 

 

 

 


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