EXPONENTES Y RADICALES - POTENCIAS Y RAICES

Una potencia es una expresión del tipo aⁿ, donde a es la base y n es el exponente. Entonces, la expresión aⁿ significa que el número a debe multiplicarse por sí mismo n -1 veces. No obstante, por lo común, se dice que se debe multiplicar n veces, pero esto es un error. Por ejemplo, 2³ = 2.2.2. Nótese en este caso que solo estamos multiplicando dos veces el número por sí mismo, no tres veces; es decir, solo se hacen dos multiplicaciones, no tres.

La operación de elevar un número a potencia es un caso especial de multiplicación en el que los factores son todos iguales. En ejemplos tales como 4² = 4 x 4 = 16 y 5³ = 5 x 5 x 5 = 125, el número 16 es la segunda potencia de 4 y el número 125 es la tercera potencia de 5. La expresión 5³ significa que tres 5 se multiplican entre sí. Similarmente, 4² significa 4 x 4. La primera potencia de cualquier número es el número mismo. La potencia es el número de veces que el número mismo debe ser tomado como factor.

El proceso de determinar una raíz es la inversa de elevar un número a una potencia. Una raíz es un factor especial de un número, tal como cuatro en la expresión 4² = 16. Cuando un número se toma como factor dos veces, como en la expresión 4 x 4 = 16, se llama raíz cuadrada. Entonces, 4 es una raíz cuadrada de 16. Por el mismo razonamiento 2 es una raíz cúbica de 8, dado que 2 x 2 x 2 = 8. Esta relación se escribe generalmente como 2³ = 8.

Estas leyes tienen sentido siempre y cuando n y m sean números enteros y a y b sean cualquier número real, excepto 0 (cero). Sse verá que también pueden usarse cuando n y m son números racionales o irracionales; no obstante, en estos casos el resultado no siempre tiene sentido.

La potencia de un número está indicada por un EXPONENTE, que es un número más pequeño colocado a la derecha y arriba de la parte superior del número. Entonces, en 4³ = 64, el número 3 es el EXPONENTE del número 4. El exponente 3 indica que el número 4, llamado BASE, se eleva a su tercera potencia. La expresión se lee "cuatro a la tercera potencia (o cuatro al cubo) igual sesenta y cuatro". Similarmente, 5² = 25 se lee "cinco a la segunda potencia (o cinco al cuadrado) igual veinticinco". Las potencias más elevadas se leen de acuerdo con el grado indicado; por ejemplo, "cuarta potencia", "quinta potencia” etcétera.

Cuando aparece un exponente siempre se debe escribirlo, a no ser que su valor sea 1. El exponente 1 por lo general no se escribe, pero se sobreentiende. Por ejemplo, el número 5 es en realidad 5¹. Cuando trabajamos con exponentes es importante recordar que todo número que no tiene exponente escrito posee en realidad un exponente igual a 1.

 La raíz de un número puede indicarse colocando un signo radical sobre la cantidad y designando la raíz con un pequeño número dentro del ángulo del signo radical.

Entonces, indica la raíz cúbica de 64, y señala la quinta raíz de 32. El número que indica la raíz se llama ÍNDICE de la raíz; en el caso de la raíz cuadrada, el índice 2 generalmente no se indica. Cuando un radical no tiene índice se sobreentiende que se trata de una raíz cuadrada. Por ejemplo, señala la raíz cuadrada de 36. La línea por encima del número cuya raíz debe determinarse es un símbolo de agrupamiento llamado vínculo. Cuando se usa un símbolo radical debe trazarse un vínculo lo bastante largo para que se extienda sobre la totalidad de la expresión cuya raíz debe determinarse.

Exponente cero

Seguramente has escuchado que un número elevado a la potencia cero es igual a uno. Pero esto es cierto solo si la base de la potencia no es cero.

Un número elevado a la potencia de cero siempre es igual a 1, independientemente del valor del número. Por ejemplo, 5⁰ = 1, (-2)⁰ = 1, 10⁰ = 1, etc.

Esta propiedad se puede entender intuitivamente si se considera que cualquier número elevado a la potencia de cero es igual a la multiplicación de cero factores iguales al número, y cualquier número multiplicado por uno es igual a sí mismo. Por lo tanto, cualquier número elevado a la potencia de cero es igual a 1.

Es importante tener en cuenta que esta propiedad solo se aplica cuando se eleva un número a la potencia de cero. Si se intenta elevar cero a la potencia de cero, el resultado no está definido y puede variar dependiendo del contexto matemático y la convención utilizada. En general, se considera que el resultado es indeterminado o no está definido.

Enseguida se analiza por qué es así.

Cuando se divide un número diferente de cero entre sí mismo, el resultado es uno. Es decir:

Esto se cumple si a ≠0. Por tanto: aⁿ ≠ 0. Esto es importante, porque si aⁿ = 0, entonces aⁿ/aⁿ  no tiene sentido. Pero se sabe por las leyes de los exponentes que:

De esta manera, como se sabe que aⁿ/aⁿ = 1, entonces a⁰ = 1.

Enteros negativos

La elevación a potencia es una multiplicación en la cual todos los números que se multiplican entre sí son iguales. El signo del producto está determinado, como en la multiplicación común, por el número de signos negativos. El número de signos negativos es par o impar, dependiendo de si el exponente de la potencia es par o impar. Por ejemplo, en el problema

(-2)³ = (-2)(-2)(-2) = -8

hay tres signos menos. El resultado es negativo. En

(-2)⁶ = 64

hay seis signos menos. El resultado es positivo. Entonces, cuando el exponente de un número negativo es impar la potencia es negativa; cuando el exponente es par, la potencia es positiva.

Para dar otros ejemplos, consideremos los siguientes:

Los números positivos y negativos pertenecen a la clase llamada números REALES. El cuadrado de un número real es positivo. Por ejemplo, (- 7) ² = 49, y 7² = 49. La expresión (-7)² se lee "menos siete al cuadrado". Observe que siete al cuadrado o menos siete al cuadrado nos dan + 49. No podemos obtener - 49 o cualquier otro número negativo elevando al cuadrado un número real, positivo o negativo.

Puesto que no hay números reales cuyos cuadrados sean números negativos, se dice a veces que la raíz cuadrada de un número negativo no existe. Sin embargo, una expresión bajo un signo de raíz cuadrada podría tomar valor negativo. Si bien no es posible determinar la raíz cuadrada de un número negativo se puede indicarla.

La raíz cuadrada indicada de un número negativo se llama NÚMERO IMAGINARIO. El numero  , por ejemplo, se dice que es imaginario. Se lee "raíz cuadrada de menos siete". Los números imaginarios serán explicados mas adelante en este curso.

Fracciones

Recordamos que el exponente de un número nos dice la cantidad de veces que el número se toma como factor. Una fracción se eleva a potencia elevando el numerador y el denominador separadamente a la potencia indicada. La expresión (3/7)² significa 3/7 tomado dos veces como factor. Entonces,

Dado que un signo menos puede ocupar cualquiera de las tres posiciones en una fracción, observe que calcular (-1/5)² equivale a

El proceso de extraer una raíz de un número es el inverso del proceso de elevar un número a una potencia, y el método de extraer la raíz de una fracción es similar. Extraemos simplemente la raíz de cada término por separado y escribimos el resultado como una fracción. Consideremos los siguientes ejemplos:

Decimales

Cuando un decimal se eleva a una potencia, el número de lugares decimales en el resultado es igual al número de lugares en el decimal multiplicado por el exponente. Por ejemplo, consideremos (0,12)³. Hay dos lugares decimales en 0,12 y 3 es el exponente; por tanto, el número de lugares en la potencia será 3 (2) = 6. El resultado es como sigue:

(0,12)³ = 00001728

Lo cierto de esto es evidente cuando recordamos la regla para multiplicar decimales. Parte de la regla establece: Marcar tantos lugares decimales en el producto como lugares decimales haya en los factores juntos. Si efectuamos la multiplicación (0,12) x (0,12) x (0,12) es obvio que hay seis lugares decimales en los tres factores juntos. La regla puede demostrarse para cualquier decimal elevado a cualquier potencia, simplemente efectuando la multiplicación indicada por el exponente.

Consideremos estos ejemplos:

Determinar una raíz de un número es la inversa de elevar un número a una potencia. Para determinar el número de lugares decimales en la raíz de una potencia perfecta dividimos el número de lugares decimales en el radicando por el índice de la raíz. Observe que esto es exactamente lo opuesto de lo que se hizo al elevar un número a una potencia.

Consideremos  . La raíz cuadrada de 625 es 25. Hay cuatro lugares decimales en el radicando 0,0625 y el índice de la raíz es 2. En consecuencia 4/2 = 2 es el número de lugares decimales en la raíz. Tenemos :

LEYES DE LOS EXPONENTES

Todas las leyes de los exponentes pueden desarrollarse de manera directa de la definición de los exponentes. Para los cinco casos que siguen se han establecido leyes separadas:

1. Multiplicación.
2. División.
3. Potencia de una potencia.
4. Potencia de un producto.
5. Potencia de un cociente.

Multiplicación
Para ilustrar la ley de la multiplicación examinemos el siguiente problema:

4³ x 4² = ?

Recordando que 4³ significa 4 x 4 x 4 y 4² significa 4 x 4, vemos que 4 se usa como factor cinco veces. Por tanto, 4³ x 4² es lo mismo que 4⁵. Este resultado podría escribirse como sigue:

4³ x 4² = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4⁵

Observe que tres de los cinco 4 provienen de la expresión 4³ y los otros dos 4 provienen de la expresión 4². Entonces podríamos volver a escribir el problema como sigue:

La ley de los exponentes para la multiplicación puede establecerse del modo siguiente: Para multiplicar dos o más potencias de la misma base se suman los exponentes y se eleva la base común a la suma de los exponentes. Esta ley se ilustra con los ejemplos que siguen:

Sea a ≠ 0, un número real, y sea n un número natural. Entonces se define

Si n = 0, se define a⁰ = 1.

Así por ejemplo :

Así, hemos definido a^m, cuando m es un entero. Para extender esta definición a exponente racional no entero se necesita definir la raíz n-ésima de un número real, donde n es un entero positivo.

Sea a un número real y n un número natural, tal que existe un número real b tal que bⁿ = a, entonces se llamará a b la raíz n-ésima de a. Este número b lo denotaremos por a ^1/n  ó

Si n= 2, entonces a ^1/2 se llamará la raíz cuadrada de a y escribimos . Si n = 3, entonces a 1/3, se llamará la raíz cúbica de a y escribimos .

Dado un número real a y un número natural n, no siempre existe un número real b tal que bⁿ = a. Por ejemplo si a es negativo y n es par nunca existe un número real b verificando bⁿ = a.

Como se observa en los ejemplos anteriores, un número real positivo puede tener dos raíces, de hecho cada número real positivo tiene dos raíces cuadradas. Por notación cuando escribamos √a denotaremos la raíz cuadrada positiva de a y por - √a denotaremos la raíz cuadrada negativa de a, cuando se quiera denotar ambas, pondremos  ± √a.

Así, por ejemplo

Dados tres números reales a^m, aⁿ y bⁿ distintos de cero. Se tiene que verifican las siguientes propiedades:

ERRORES COMUNES

Es importante puntualizar que la base debe ser la misma para cada factor, para poder aplicar las leyes de los exponentes. Por ejemplo, 2³ por 3² no es ni 2⁵ ni 3⁵. No hay forma de aplicar la ley de los exponentes a un problema de este tipo. Otro error común consiste en multiplicar las bases entre sí. Por ejemplo, este tipo de error en el problema anterior implicaría que 2³ x 3² es equivalente a 6⁵ ó 7776. El error de esto puede demostrarse como sigue:

2 ³ x 3 ² = 8 x 9 = 72

División

La ley de los exponentes para la división puede desarrollarse a partir del siguiente ejemplo:

La simplificación de cinco 6 en el divisor con cinco de los 6 en el dividendo nos deja solamente dos 6, el producto de los cuales es 6².

Este resultado puede alcanzarse en forma directa observando que 6² es equivalente a 6 ^(7-5). En otras palabras, tenemos lo siguiente:

6⁷ ÷ 6⁵ = 6^(7-5) = 6²

En consecuencia, la ley de los exponentes para la división es esta: para dividir una potencia por otra que tenga la misma base, restamos el exponente del divisor del exponente del dividendo. El número resultante de esta división se emplea como exponente de la base en el cociente.

El empleo de esta regla produce a veces un exponente negativo o un exponente cuyo valor es cero. Estos dos tipos especiales de exponentes se explican más adelante en el presente capítulo.

Potencia de una potencia

Consideremos el ejemplo (3²)⁴. Recordando que un exponente indica el número de veces que la base se toma como factor y teniendo en cuenta que en este caso 3² es considerada la base, resulta

(3 ²)⁴ = 3 ² . 3² . 3² . 3²

También en la multiplicación sumamos los exponentes. Entonces,

3 ² . 3² . 3² . 3²  = 3^(2+2+2+2) = 3⁸

Por tanto,

 (3 ²)⁴ = 3^{(4 x 2 )} = 3⁸

Las leyes de los exponentes para la potencia de una potencia pueden establecerse como sigue: para determinar la potencia de una potencia se multiplican los exponentes. Se observará que este caso es el único en el cual se realiza la multiplicación de los exponentes.

Potencia de un producto

Consideremos el ejemplo (3. 2. 5) ³. Sabemos que

(3 .2 .5) ³ = (3 .2 .5) (3 .2 .5) (3 .2 .5)

Entonces, 3, 2 y 5 aparecen tres veces cada uno como factores, y podemos demostrar esto con exponentes como 3³, 2³ y 5³. Por tanto,

(3 .2 .5)³ = 3 ³ .2³ .5³

La ley de los exponentes para la potencia de un producto es como sigue: La potencia de un producto es igual al producto obtenido cuando cada uno de los factores originales se eleva a la potencia indicada y las potencias resultantes se multiplican entre sí.

Potencia de un cociente

La ley de los exponentes para la potencia de un cociente indicado puede desarrollarse a partir del siguiente ejemplo:

La ley se establece así: La potencia de un cociente es igual a un cociente obtenido cuando el dividendo y el divisor se elevan cada uno a la potencia indicada separadamente, antes de realizar la división.

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