La operación de elevar
un número a potencia es un caso especial de multiplicación
en el que los factores son todos iguales. En ejemplos tales
como 42 = 4 x 4 = 16 y 53 = 5 x 5 x
5 = 125, el número 16 es la segunda potencia de 4 y
el número 125 es la tercera potencia de 5. La expresión
53 significa que tres 5 se multiplican entre sí.
Similarmente, 42 significa 4 x 4. La primera potencia
de cualquier número es el número mismo. La potencia
es el número de veces que el número mismo debe
ser tomado como factor.
El proceso de determinar una raíz es la inversa de
elevar un número a una potencia. Una raíz es
un factor especial de un número, tal como cuatro en
la expresión 42 = 16. Cuando un número
se toma como factor dos veces, como en la expresión
4 x 4 = 16, se llama raíz cuadrada. Entonces, 4 es
una raíz cuadrada de 16. Por el mismo razonamiento
2 es una raíz cúbica de 8, dado que 2 x 2 x
2 = 8. Esta relación se escribe generalmente como 23
= 8.
POTENCIAS Y RAICES
Ejemplos de aplicación de potencias y raíces.
La potencia de un número está indicada por
un EXPONENTE, que es un número más pequeño
colocado a la derecha y arriba de la parte superior del número.
Entonces, en 43 = 64, el número 3 es el
EXPONENTE del número 4. El exponente 3 indica que el
número 4, llamado BASE, se eleva a su tercera potencia.
La expresión se lee "cuatro a la tercera potencia
(o cuatro al cubo) igual sesenta y cuatro". Similarmente,
52 = 25 se lee "cinco a la segunda potencia
(o cinco al cuadrado) igual veinticinco". Las potencias
más elevadas se leen de acuerdo con el grado indicado;
por ejemplo, "cuarta potencia", "quinta potencia”
etcétera.
Cuando aparece un exponente siempre se debe escribirlo,
a no ser que su valor sea 1. El exponente 1 por lo general
no se escribe, pero se sobreentiende. Por ejemplo, el número
5 es en realidad 51. Cuando trabajamos con exponentes
es importante recordar que todo número que no tiene
exponente escrito posee en realidad un exponente igual a 1.
La raíz de un número puede indicarse
colocando un signo radical  sobre
la cantidad y designando la raíz con un pequeño
número dentro del ángulo del signo radical.
Entonces, 
indica la raíz cúbica de 64, y 
señala la quinta raíz de 32. El número
que indica la raíz se llama ÍNDICE de la raíz;
en el caso de la raíz cuadrada, el índice 2
generalmente no se indica. Cuando un radical no tiene índice
se sobreentiende que se trata de una raíz cuadrada.
Por ejemplo, 
señala la raíz cuadrada de 36. La línea
por encima del número cuya raíz debe determinarse
es un símbolo de agrupamiento llamado vínculo.
Cuando se usa un símbolo radical debe trazarse un vínculo
lo bastante largo para que se extienda sobre la totalidad
de la expresión cuya raíz debe determinarse.
PRACTICA DE PROBLEMAS:
Elevar a las potencias que se señalan o determinar
las raíces indicadas.
Calcula:
Expresa como una única potencia:
Calcula:
Enteros negativos
La elevación a potencia es una multiplicación
en la cual todos los números que se multiplican entre
sí son iguales. El signo del producto está determinado,
como en la multiplicación común, por el número
de signos negativos. El número de signos negativos
es par o impar, dependiendo de si el exponente de la potencia
es par o impar. Por ejemplo, en el problema
(-2)3 = (-2)(-2)(-2) = -8
hay tres signos menos. El resultado es negativo. En
(-2)6 = 64
hay seis signos menos. El resultado es positivo. Entonces,
cuando el exponente de un número negativo es impar
la potencia es negativa; cuando el exponente es par, la potencia
es positiva.
Para dar otros ejemplos, consideremos los siguientes:
Los números positivos y negativos pertenecen a la
clase llamada números REALES. El cuadrado de un número
real es positivo. Por ejemplo, (- 7) 2 = 49, y
72 = 49. La expresión (-7)2 se
lee "menos siete al cuadrado". Observe que siete
al cuadrado o menos siete al cuadrado nos dan + 49. No podemos
obtener - 49 o cualquier otro número negativo elevando
al cuadrado un número real, positivo o negativo.
Puesto que no hay números reales cuyos cuadrados
sean números negativos, se dice a veces que la raíz
cuadrada de un número negativo no existe. Sin embargo,
una expresión bajo un signo de raíz cuadrada
podría tomar valor negativo. Si bien no es posible
determinar la raíz cuadrada de un número negativo
se puede indicarla.
La raíz cuadrada indicada de un número negativo
se llama NÚMERO IMAGINARIO. El numero 
, por ejemplo, se dice que es imaginario. Se lee "raíz
cuadrada de menos siete". Los números imaginarios
serán explicados mas adelante en este curso.
Fracciones
Recordamos que el exponente de un número nos dice
la cantidad de veces que el número se toma como factor.
Una fracción se eleva a potencia elevando el numerador
y el denominador separadamente a la potencia indicada. La
expresión (3/7)2 significa 3/7 tomado dos
veces como factor. Entonces,
Dado que un signo menos puede ocupar cualquiera de las tres
posiciones en una fracción, observe que calcular (-1/5)2
equivale a
El proceso de extraer una raíz de un número
es el inverso del proceso de elevar un número a una
potencia, y el método de extraer la raíz de
una fracción es similar. Extraemos simplemente la raíz
de cada término por separado y escribimos el resultado
como una fracción. Consideremos los siguientes ejemplos:
PRÁCTICA. DE PROBLEMAS:
Determinar los valores para las operaciones indicadas:
Calcula, si existe:
Calcula, si existe:
Decimales
Cuando un decimal se eleva a una potencia,
el número de lugares decimales en el resultado es igual
al número de lugares en el decimal multiplicado por
el exponente. Por ejemplo, consideremos (0,12)3.
Hay dos lugares decimales en 0,12 y 3 es el exponente; por
tanto, el número de lugares en la potencia será
3 (2) = 6. El resultado es como sigue:
(0,12)3 = 00001728
Lo cierto de esto es evidente cuando recordamos
la regla para multiplicar decimales. Parte de la regla establece:
Marcar tantos lugares decimales en el producto como lugares
decimales haya en los factores juntos. Si efectuamos la multiplicación
(0,12) x (0,12) x (0,12) es obvio que hay seis lugares decimales
en los tres factores juntos. La regla puede demostrarse para
cualquier decimal elevado a cualquier potencia, simplemente
efectuando la multiplicación indicada por el exponente.
Consideremos estos ejemplos:
Determinar una raíz de un número
es la inversa de elevar un número a una potencia. Para
determinar el número de lugares decimales en la raíz
de una potencia perfecta dividimos el número de lugares
decimales en el radicando por el índice de la raíz.
Observe que esto es exactamente lo opuesto de lo que se hizo
al elevar un número a una potencia.
Consideremos  .
La raíz cuadrada de 625 es 25. Hay cuatro lugares decimales
en el radicando 0,0625 y el índice de la raíz
es 2. En consecuencia 4/2 = 2 es el número de lugares
decimales en la raíz. Tenemos :
LEYES DE LOS EXPONENTES
Todas las leyes de los exponentes pueden desarrollarse
de manera directa de la definición de los exponentes.
Para los cinco casos que siguen se han establecido leyes separadas:
1. Multiplicación.
2. División.
3. Potencia de una potencia.
4. Potencia de un producto.
5. Potencia de un cociente.
Multiplicación
Para ilustrar la ley de la multiplicación examinemos
el siguiente problema:
43 x 42 = ?
Recordando que 43 significa 4 x 4
x 4 y 42 significa 4 x 4, vemos que 4 se usa como
factor cinco veces. Por tanto, 43 x 42
es lo mismo que 45. Este resultado podría
escribirse como sigue:
43 x 42 = 4
x 4 x 4 x 4 x 4 = 45
Observe que tres de los cinco 4 provienen de
la expresión 43 y los otros dos 4 provienen
de la expresión 42. Entonces podríamos
volver a escribir el problema como sigue:
La ley de los exponentes para la multiplicación
puede establecerse del modo siguiente: Para multiplicar dos
o más potencias de la misma base se suman los exponentes
y se eleva la base común a la suma de los exponentes.
Esta ley se ilustra con los ejemplos que siguen:
ERRORES COMUNES
Es importante puntualizar que la base debe
ser la misma para cada factor, para poder aplicar las leyes
de los exponentes. Por ejemplo, 23 por 32
no es ni 25 ni 35. No hay forma de aplicar
la ley de los exponentes a un problema de este tipo. Otro
error común consiste en multiplicar las bases entre
sí. Por ejemplo, este tipo de error en el problema
anterior implicaría que 23 x 32
es equivalente a 65 ó 7776. El error de
esto puede demostrarse como sigue:
2 3 x 3 2 = 8 x 9 =
72
División
La ley de los exponentes para la división
puede desarrollarse a partir del siguiente ejemplo:
La simplificación de cinco 6 en el divisor
con cinco de los 6 en el dividendo nos deja solamente dos
6, el producto de los cuales es 62.
Este resultado puede alcanzarse en forma directa
observando que 62 es equivalente a 6 (7-5).
En otras palabras, tenemos lo siguiente:
67 ÷ 65 = 6(7-5)
= 62
En consecuencia, la ley de los exponentes para
la división es esta: para dividir una potencia por
otra que tenga la misma base, restamos el exponente del divisor
del exponente del dividendo. El número resultante de
esta división se emplea como exponente de la base en
el cociente.
El empleo de esta regla produce a veces un
exponente negativo o un exponente cuyo valor es cero. Estos
dos tipos especiales de exponentes se explican más
adelante en el presente capítulo.
Potencia de una potencia
Consideremos el ejemplo (32)4. Recordando
que un exponente indica el número de veces que la base
se toma como factor y teniendo en cuenta que en este caso
32 es considerada la base, resulta
(3 2)4 = 3 2
. 32 . 32 . 32
También en la multiplicación
sumamos los exponentes. Entonces,
3 2 . 32 . 32
. 32 = 3(2+2+2+2) = 38
Por tanto,
(3 2)4 = 3(4
x 2 ) = 38
Las leyes de los exponentes para la potencia
de una potencia pueden establecerse como sigue: para determinar
la potencia de una potencia se multiplican los exponentes.
Se observará que este caso es el único en el
cual se realiza la multiplicación de los exponentes.
Potencia de un producto
Consideremos el ejemplo (3. 2. 5) 3. Sabemos
que
(3 .2 .5) 3 = (3 .2 .5) (3 .2 .5)
(3 .2 .5)
Entonces, 3, 2 y 5 aparecen tres veces cada
uno como factores, y podemos demostrar esto con exponentes
como 33, 23 y 53. Por tanto,
(3 .2 .5)3 = 3 3 .23
.53
La ley de los exponentes para la potencia de
un producto es como sigue: La potencia de un producto es igual
al producto obtenido cuando cada uno de los factores originales
se eleva a la potencia indicada y las potencias resultantes
se multiplican entre sí.
Potencia de un cociente
La ley de los exponentes para la potencia de
un cociente indicado puede desarrollarse a partir del siguiente
ejemplo:
La ley se establece así: La potencia
de un cociente es igual a un cociente obtenido cuando el dividendo
y el divisor se elevan cada uno a la potencia indicada separadamente,
antes de realizar la división.
POTENCIAS Y RAICES - Potencias de exponente natural - Potencias de exponente entero - Producto y cociente de potencias con la misma base - Producto y cociente de potencias con el mismo exponente - Potencia elevada a potencia - Definición de raíz cuadrada y de raíz de índice n - Expresión con exponente fraccionario de una raíz - Combinación de potencias y raíces- Simplificación de raíces - Producto y cociente de raíces con el mismo índice - Producto y cociente de raíces con el mismo radicando- Extracción de factores de una raíz - Introducción de factores en una raíz
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Elevar cada una de las siguientes expresiones a la potencia
indicada:
Hallar el valor de las potencias siguientes:
Hallar las raíces siguientes:
Efectuar la suma 8 + 9 15 y la 3 7 + 20 y restarlo a la mayor
la menor.
>>
Ejercicios de adiestramiento. Operaciones algebraicas. >>
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