La función polinómica

Recordemos que toda relación, en la cual a cada elemento del conjunto de salida le corresponde un único elemento del conjunto de llegada, se llama función, como la relación f que aparece a continuación:

Consideremos ahora el conjunto ℜ de los números reales, como referencial, podemos establecer sobre él infinitas funciones, en cuyas reglas que las definan, sea necesario realizar operaciones de adición, sustracción, multiplicación o división. Ejemplos:

	Para hallar las imágenes de x, por medio de la función H. Se deben efectuar las operaciones de multiplicación y suma.
	Para obtener las imágenes de x por la función M, se deben realizar las operaciones de multiplicación, sustracción y suma.
	Para hallar las imágenes de x por la función N, se debe hacer la operación de multiplicación.

Diremos que toda función f, definida en el conjunto ℜ, en la cual para hallar la imagen de algún x, se realice por lo menos la operación multiplicación, es una función polinómica, luego las funciones H, M y N son funciones polinómicas.

a) Polinomio: Observemos nuevamente las funciones polinómicas H, M y N, definidas sobre el conjunto ℜ de los números reales.

Las expresiones 2x + 1 = H(x); 3x = N(x) y 2x² -3x + 5= M(x), son las reglas que definen las funciones H, N y M respectivamente. A estas expresiones las llamaremos polinomios. Diremos ahora, que 3x es el polinomio asociado a la función polinómica N; 2x + 1 es el polinomio asociado a la función polinómica H y 2x² - 3x + 5 es el polinomío asociado a la función polinómica M.

Llamaremos polinomio a toda expresión asociada a su respectiva función polinómica.

Consideremos la función polinómica de M, del ejemplo anterior:

La x representa un elemento cualquiera del conjunto ℜ luego x ∈ ℜ La expresión 2x2 - 3x + 5 nos indica las operaciones que han de realizarse, con cualquier número real x.

A la letra x la llamamos indeterminada o parte literal del polinomio M(x).

Observemos que la imagen de 2 en la función polinómica M es 7. Esta imagen se obtiene reemplazando la indeterminada x por 2. Dicha imagen se llama valor numérico del polinomio 2x² - 3x + 5 para x = 2. Entonces el valor numérico del polinomio M(x) para x = -4 será:

2 . (-4)² -3(-4) + 5 = 49

Los números por los que se multiplica la indeterminada x se llaman coeficientes del polinomio. En el polinomio M(x) los coeficientes son 2, -3 y 5 que podemos escribir: (2, -3, 5). Estos coeficientes son números reales, no todos ceros.

Observemos nuevamente el polinomio M(x) = 2x² - 3x + 5 y sus respectivos coeficientes (2, -3, 5).

2 es el coeficiente de la indeterminada x, elevada al exponente 2.

-3 es el coeficiente de la indeterminada x, elevada al exponente 1.

5 es el coeficiente de la indeterminada x, elevada al exponente 0.

(x⁰ no aparece en el polinomio porque x⁰ = 1, entonces: 5. x⁰ = 5.1 =5). Luego el polinomio 2x² - 3x + 5 se puede escribir: M(x) = 2x² - 3x + 5x⁰ y las siguientes igualdades son ciertas: 2x² - 3x + 5 = 2x² - 3x¹ + 5x⁰ = 5x⁰ - 3x¹ + 2x² = M(x).

Por propiedad conmutativa de + en ℜ. De manera que los coeficientes del polinomio M(x) en su orden son (5, -3, 2). Fijémonos que se ha ordenado ascendentemente el polinomio M (x) respecto del exponente de la indeterminada x, así:

5 es el coeficiente de la indeterminada x, elevada al exponente 0.

-3 es el coeficiente de la indeterminada x, elevada al exponente 1.

2 es el coeficiente de la indeterminada x, elevada al exponente 2.

Este ordenamiento nos permite escribir el polinomio M(x) por medio de sus coeficientes: M(x) = (5, -3, 2). Para completar el polinomio, basta escribir ordenadamente sus coeficientes multiplicados respectivamente por las potencias x⁰, x¹ y x², unirlos con el signo (+) cuando el coeficiente no aparece con signo, y con el signo (-) cuando el coeficiente va precedido por él.

Ejemplo:

M (x) = (5,-3,2) = 5x⁰ -3x¹ + 2x² = 5 -3x + 2x²

Veamos otro ejemplo. Sea

Q(x) =6x⁴ -3x +2x² +7

coeficientes del polinomio Q(x): (6, -3, 2, 7)

coeficientes ordenados ascendentemente del polinomio Q(x): (7, -3, 2, 0, 6)

polinomio completo respecto de la indeterminada x:

Q(x) = (7, -3, 2, 0, 6) = 7x⁰ -3x¹ + 2x² + 0x³ + 6x⁴

         = 7 -3x +2x² + 6x⁴

Observemos que el coeficiente de la potencia x³ es 0, por eso esta potencia no aparece en el polinomio inicial (0. x³ = 0).

Los exponentes de la indeterminada x, son números naturales.

En general los coeficientes suelen escribirse:

a₀, a₁, a₂, a₃,.. , a_n

en donde a₀ es el coeficiente de la potencia x⁰ , a₁ es el coeficiente de la potencia x¹, a₂ es el coeficiente de la potencia  x², a₃ es el coeficiente de la potencia x³ , .. a_n es el coeficiente de la potencia xⁿ con la condición de que no todos los coeficientes sean 0.

Entonces podemos representar en forma general un polinomio real, f(x) escribiendo ordenadamente los coeficientes multiplicados por las potencias x⁰, x¹, x², x³, ... xⁿ respecto de la misma indeterminada x, separados por el signo (+):

f(x) =a₀x⁰ + a₁x¹ + a₂x²+ a₃x³+ ... + a_nxⁿ = a₀ + a₁x + a₂x²+ a₃x³+ ... + a_nxⁿ

Como f(x) es un polinomio real, está asociado a su respectiva función polinómica real, (en este caso f). Luego definiremos la función polinómica real así:

f: ℜ → ℜ

x → ₀ + a₁x + a₂x²+ a₃x³+ ... + a_nxⁿ =f(x)

en donde f es la función polinómica definida sobre el conjunto ℜ y f(x) es el polinomio asociado a la función f.

Clasificación de los polinomios

Consideremos los siguientes polinomios reales:

Observemos que en los polinomios f(x), g(a), h(m, n), i(x, y, z) la única operación que debe realizarse para obtener sus respectivos valores numéricos, es la multiplicación. Estos polinomios serán llamados monomios o términos.

Llamaremos binomio a todo polinomio que sea la suma o resta de dos monomios o términos, como los polinomios j(x), k(a, b) y l(x, y, z).

Un trinomio es un polinomio conformado por la suma de tres monomios o términos. Ejemplos:

-2x² +3x + 1;   a²b + b²a -5ab; x + y -z

Grado de un monomio

Sean los monomios f(x) = 2x²; g(a,b) = a³b4⁴

Llamaremos grado absoluto de un monomio, a la suma de los exponentes de sus respectivas indeterminadas. Así, el grado absoluto del monomio 2x² es 2 y el grado absoluto del monomio a³b⁴ es 7 porque 3+ 4 =7.

Diremos también que el grado de un monomio respecto de una indeterminada es el exponente de dicha indeterminada; entonces, el monomio a³b⁴ es el grado 3 respecto de la indeterminada a y de grado 4 respecto de la indeterminada b.

Grado de un polinomio

Consideremos los polinomios:

h(x) = 3x³ + 4x² -x + 1;           k(a,b) = a⁵b³ -2a² b² + 5a

El polinomio h(x) está conformado por cuatro monomios o términos: 3x³ , 4x² , -x , 1. El monomio de mayor grado absoluto es 3x³ (pues es de grado 3). El grado de este monomio será el grado absoluto del polinomio h(x). En el polinomio k(a, b), el monomio de mayor grado absoluto es a⁵b³ (pues es de grado 8). El grado de este monomio será el grado absoluto del polinomio k(a, b).

Diremos que grado absoluto de un polinomio es el de su monomio de mayor grado absoluto. Luego el grado absoluto del polinomio h(x) es 3 y el grado absoluto del polinomio k(a, b) es 8.

También diremos que el grado de un polinomio respecto de una indeterminada es el mayor exponente de dicha indeterminada en el polinomio. Así, el polinomio:

a⁵b³-2a² b² + 5a

es de grado 5 respecto de la indeterminada a; y de grado 3 respecto de la indeterminada b.

RADICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Temas relacionados :

• Clasificación de las expresiones algebraicas. Monomios. Polinomios.
• Potencia y radicación
• Fundamentos de Álgebra. Leyes. Monomios. Polinomios
• Expresiones algebraicas. Binomios.
• Métodos de factorización
• POLINOMIOS: Expresión algebraica – Monomio - Grado de un monomio - Monomios semejantes - Suma de monomios semejantes - Suma de monomios no semejantes - Producto de monomios - Potencia de un monomio - Suma de polinomios - Producto de polinomios - Identidades notables - Cuadrado de una suma - Cuadrado de una diferencia - Suma por diferencia- Cociente de monomios - Polinomios de una variable - División entera de polinomios de una variable - Regla de Ruffini para dividir cuando el divisor es de la forma x-a ó x+a - Teorema del resto- Raíces o ceros de un polinomio- Raíces enteras de un polinomio- Factorización de un polinomio
• algebra15 - Ejercicios resueltos

RAÍZ DE UN MONOMIO

REGLA:

1) Se extrae la raíz del signo, de acuerdo con la ley de signos de un radical.

2) Se extrae la raíz del coeficiente.

3) Se divide los exponentes de las letras entre el índice de la raíz.

RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO

REGLA:

1) Se ordena y completa el polinomio; luego, se agrupa los términos de 2 en 2, empezando por la derecha.

2) Se halla la raíz cuadrada del primer término (monomio o binomio) del primer grupo de la izquierda, que sera el primer término de la raíz cuadrada del polinomio. Se multiplica esta raíz por sí misma, se cambia de signo y se suma al polinomio dado, eliminándose la primera columna.

3) Se baja los términos que forman el siguiente grupo, se duplica la raíz hallada y se divide el primer término de los bajados entre este duplo. El cociente así hallado es el segundo término de la raíz. Este segundo término de la raíz, con su propio signo, se escribe al lado derecho del duplo del primer término de la raíz formándose un binomio,
este binomio se multiplica por dicho segundo término con signo cambiado, sumándose este producto a los dos términos que se habia bajado.

4) Se baja el siguiente grupo de términos. Se duplica la parte de la raíz ya hallada y se divide el primer término del resíduo entre el primero de este duplo, el cociente es el tercer término de la raíz. Este tercer término con su propio signo se escribe al lado del duplo de la raíz hallada y se forma un trinomio, este trinomio se multiplica por dicho tercer término de la raíz con signo cambiado y este producto se suma al resíduo.

5) Se continúa el procedimiento anterior, hasta obtener un resto, cuyo grupo sea una unidad menor que el grado de la raíz o un polinomio idénticamente nulo.

Ejemplo:

RAÍZ CÚBICA DE UN POLINOMIO

REGLA:

1) Se ordena y completa el polinomio, se separa en grupos de tres términos, emprezando por la derecha.

2) Se extrae la raíz cúbica del primer término del primer grupo de la izquierda (puede estar formado por uno, dos o tres términos), que será el primer término de la raíz, este término se eleva al cubo y se resta del primer término del polinomio dado.

3) Se baja el siguiente grupo formado por los tres términos siguientes del polinomio y se divide el primero de ellos entre el triple del cuadrado de la raíz hallada, el cociente de esta división es el segundo término de la raíz.

4) Se forma 3 productos:

• El triple del cuadrado del primer término de la raíz.

• El triple del primer término de la raíz por el cuadrado del segundo término de la raíz.

• El cubo del segundo término de la raíz. Se suma los resultados obtenidos, se cambia de signo y se le suma a los tres términos del polinomio que se habia bajado.

5) Se baja el siguiente grupo de términos, dividiéndose el primer término del residuo entre el triple del cuadrado del primer termino de la raíz, el cociente es el tercer término de la raíz.

Se forman 3 grupos:

• El triple del cuadrado de la raíz hallada (1º y 2º término) por el tercer término de la raíz.

• El triple de la raíz hallada por el cuadrado del tercer término de la raíz.

• El cubo del tercer término de la raíz.

Se suma los productos obtenidos, se cambia de signo sus términos y se les suma a los términos del resíduo. Se continúa hasta obtener como residuo un polinomio cuyo grado sea una unidad menor que el doble del grado de la raíz.

Ejemplo:

DESCOPOSICIÓN DE RADICALES DOBLES EN SIMPLES

A) Forma:

Ejemplo: Descomponer en radicales simples:

B) Forma:

Ejemplo:

Descomponer en radicales simples:

Identificando las partes racionales e irracionales:

C) Forma:

Se procede igual que la forma anterior.

D) Forma:

PROCEDIMIENTO:

Sustituyendo valores en:

Volver arriba