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Operaciones con radicales. Conceptos básicos. Radicales homogéneos. Homogenización de radicales. Radicales semejantes. Teorema fundamental de los radicales. Operaciones algebraicas con radicales. Suma y resta de radicales. Multiplicación de radicales. División de radicales. Potencial de radicales. Raíz de radicales. Fracción irracional. Racionalización. Factor racionalizante (f.r.). Racionalización del denominador de una fracción.


 

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OPERACIONES CON RADICALES

CONCEPTOS BÁSICOS

Temas relacionados :

RADICALES HOMOGÉNEOS

Son aquellos que tienen iguales índices.

Ejemplo:

HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES

Es la operación que se realiza para pasar radicales de distinto índice, a radicales de índice iguales.

Ejemplo:

Homogenizar:

PROCEDIMIENTO:

1) Se halla m c m de los indices; éste será el índice común.

mcm: 3, 4, 5 = 60

2) Se afecta del índice común y se eleva cada cantidad subradical a un exponente que resulta de dividir el índice común entre su índice original.

efectuando las operaciones se obtiene:

RADICALES SEMEJANTES

Son aquellos qie tienen igual índice e igual radicando.

Ejemplo:

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LOS RADICALES

Si se multiplica o divide el índice del radical y el radicando por un mismo número, no varía el valor aritmético, pero el número de valores algebraicos de las posibles raízes queda multiplicado o dividido por ese mismo número:

OPERACIONES ALGEBRAICAS CON RADICALES

SUMA Y RESTA DE RADICALES

Para sumar radicales semejantes basta sacar como factor común el radical; si no son semejantes, se deja indicado.

Ejemplo:

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES

1) Cuando son homogéneos:

2) Cuando tienen índices distintos.

Se reduce a un índice común y se opera igual que en el caso anterior, así:

DIVISIÓN DE RADICALES

1) Cuando son homogéneos:

2) Cuando son homogéneos.

Previamente se homogeniza y se procede como se indicó en el caso anterior:

POTENCIAL DE RADICALES

RAÍZ DE RADICALES

FRACCIÓN IRRACIONAL

Es aquella cuyo denominador tiene raíz algebraica.

RACIONALIZACIÓN

Es una operacion que consiste en modificar un quebrado en cuyo denominador hay una raíz algebraica (fracción irracional) y transformarla a otra que no tenga raíz en el denominador. de otra manera, racionalizar es representar una fracción que contenga una raiz en el numerador o denominador en otra equivalente que no contenga a la raíz.

FACTOR RACIONALIZANTE (F.R.)

El factor racionalizante de una expresión irracional es también otra expresión irracional que, multiplicada por la primera, la convierte en una expresión racional.

RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR DE UNA FRACCIÓN

PRIMER CASO

Cuando la fracción presenta, en el denominador, radicales en forma de producto.

Ejemplo:

PROCEDIMIENTO:

Se multiplica numerador y denominador por el literal elevado a un exponente igual a lo que le falta al exponente del literal para equivaler a la unidad.

De este modo:

SEGUNDO CASO

Cuando la fracción presenta en su denominador una suma de raíces algebraicas; para racionalizar, se utiliza el criterio denominado como la conjugada real.

Ejemplo:

TERCER CASO

Cuando la fracción presenta en su denominador una suma algebraica de radicales de índice superior a 2.

Se procede así:

• Si el índice es una potencia de 2, se utiliza el criterio de la conjugada en forma sucesiva.

• Si el índice es 3, es necesario tener en cuenta las siguientes identidades:

Solución:

Multiplicando por la conjugada y luego aplicando las identidades anteriores se logra racionalizar:

CUARTO CASO

Si el índice es mayor que 3, y pertenece a una de las formas:

Previamente, debe recordarse que para todo valor de "n":

Uno de los factores es utilizado como el F.R. Ejemplo:

Racionalizar:

Ejercicios de aplicación :

Escribe en forma de potencia la relación que existe entre los números de cada expresión:

Dado una expresión de la forma:

se racionaliza de siguiente manera:

Ejemplo:

Transformar: 

en otra expresión equivalente que carezca de raiz en el denominador.

Solución:

Para racionalizar la fracción

multiplicaremos por √3 tanto denominador como numerador.

por tanto, el resultado de la racionalización es:

Ejemplo :

Racionalizar la expresión :

Solución:

Separando las raíces y multiplicando por √5 tanto numerador como denominador

por tanto, el resultado de la racionalización es

Racionalización de un denominador binomio: Ahora veremos la racionalización de una fracción cuyo denominador es un binomio y alguno o ambos elementos contiene una raiz.

Ejemplo:

Racionalizar la expresión

Solución:

Multiplicando por 1-√2 , que representa el conjugado del denominador 1+√2 tanto el numerador como el denominador.

Ejemplo:

Racionalizar la expresión

Solución:

Para racionalizar esta expresión multiplicaremos por el conjugado de 2 - √6 , tanto el denominador como el numerador.

este resultado también se puede expresar como

Racionalización de un Numerador

Dada una expresión de forma:

el numerador se racionaliza de la siguiente forma:

Ejemplos :

Racionalizar el numerador en las siguientes fracciones:

En los siguientes radicales eliminar la raíz del denominador:

Soluciones:

Racionalizar el numerador en los siguientes radicales:

Soluciones:

 

 

 

 


 


 

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