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Los problemas de repartos han dado origen a numerosos ejercicios de ingenio. Uno de los pueblos que se distinguió por este tipo de problemas fue el árabe, en parte porque su religión establece minuciosamente cómo deben efectuarse los repartos de herencia.

Leemos en el Corán, libro sagrado de los musulmanes :

"De cuanto dejen vuestras esposas os corresponde la mitad, siempre y cuando ellas no tengan prole; pero si la tienen, sólo os corresponderá la cuarta parte, después de satisfechos legados y deudas. Toca a ellas la cuarta parte de cuanto dejéis, si no tenéis prole; pero, si la tenéis sólo les corresponde el octavo de cuanto dejéis, después de satisfechos legados y deudas. Si un difunto, hombre o mujer, en estado de Kalala (sin ascendientes ni descendientes) fuese heredado, y tuviese un hermano o una hermana, recibirá cada uno de ellos una sexta parte; pero si son más, coheredarán la tercera parte, después de satisfacer legados y deudas, sin perjudicar a nadie."

¡No es extraño que los árabes hayan propuesto interesantes problemas de herencias!

He aquí uno:

"Un camellero al morir deja a sus tres hijos 23 camellos para repartir de la siguiente manera: al mayor la mitad, al mediano la cuarta parte y al menor la sexta parte. Como el número no les permite efectuar el reparto y cada uno quiere llevar más de lo que le correspondería, deciden llamar en su auxilio al anciano de la tribu.

Éste resuelve el problema así:

-Les presto un camello, con el que sumamos ahora 24. La mitad de 24 es 12. ¿Te conformas?

El mayor, que sabe que la mitad de 23 es menor que 12, acepta alborozado.

-A ti te entregamos la cuarta parte de 24, o sea 6. ¿Contento? El mediano también se alegra. La cuarta parte de 23 es menor que 6.

-Y por último a ti te darnos la sexta, parte de 24, o sea 4. Antes te hubiese correspondido la sexta parte de 23 que es menor que 4.

Resumiendo, 12 al mayor, 6 al mediano y 4 al menor suman 22. Tomo el camello que os presté y el restante me lo quedo por haber resuelto la disputa."

¿Podrías tú explicar este misterioso reparto?

Repartición proporcional

Los problemas que encararemos en estas páginas son más sencillos. Supongamos que tres socios A, B, y C han invertido en un negocio $1000, $2000  y $3000  y que han obtenido una ganancia de $1500. ¿Cómo podría repartirse?

Parece natural que quien más arriesgó más gana. Y que si uno arriesgó el doble que otro, gane el doble que ése; y que si arriesgó el triple gane el triple. Si se procede de esta manera se dice que los $1 500  se reparten proporcionalmente a los números 1 000, 2 000 y 3000.

¿Cuáles son las condiciones de nuestro problema?

Si lo que corresponde a A lo llamamos x; lo que corresponde a B lo denominamos y; y lo que  corresponde a C lo llamamos Z, tenemos:

x + y + z =1500   (1)

y además,

(para que los beneficios resulten directamente proporcionales a los aportes).

Recordando que en toda serie de razones iguales la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente cualquiera es a su consecuente, de (2) obtenemos:

con lo que nuestro problema queda resuelto.

Ejercicios

1. Dos personas ganaron $875  a la lotería. Para comprar el billete A colocó  $2  y B colocó $3. Repartir el premio en forma proporcional a las apuestas.

Rta: El señor A recibirá $525 y el señor B $350

2. A colocó un capital de $5000  en un negocio asociado con B que colocó $ 3000 y C que colocó $ 2000. Al hacer balance resultó un beneficio de $ 7300. Repartir proporcionalmente  dicho beneficio respecto de los capitales colocados.

Rta: $3650, $2190 y $1460

3. El señor A tenía un comercio en el que invirtió cierto capital. A los 6 meses se le une el señor B que aporta un capital igual al que colocó A. Un mes después, el señor C aporta un capital igual a los anteriores. A los doce meses de la inversión de A se cierra el ejercicio resultando un beneficio de $ 5000. Repartir este beneficio en forma proporcional a los tiempos durante los cuales estuvieron colocados los capitales.

$2608,29;  $1304,35;  $1086,96

(En la práctica nunca se da esta situación porque cuando se retira [o se agrega] un socio se liquida la sociedad anterior y se constituye otra.)

Repartición proporcional inversa

En un pequeño taller el propietario propone repartir un premio de $1400  entre cuatro operarios de acuerdo con su asistencia en un semestre. A faltó un día, B y C faltaron 2 y D faltó 3.

¿Cómo repartir? No parece justo repartir en forma directamente proporcional a 1, 2, 2 y 3. Se puede convenir en repartir en forma proporcional a los inversos de esos números con lo que se obtiene:

Cuando se efectúa la repartición proporcionalmente a los inversos de ciertos números se dice que la repartición es inversamente proporcional a dichos números.

Ejercicios

4. Repartir 35 en forma inversamente proporcional a los números 2, 3 y 4.

Rta: 210/13;  140/13;   105/13

5. Una secretaria es capaz de copiar 18000 palabras en 3 horas; otra, para ese mismo trabajo, tarda 5 horas. Si ambas comienzan a trabajar simultáneamente; cuando entre ambas hayan copiado 18000 palabras, ¿cuántas palabras habrán copiado aproximadamente cada una?

Rta:

m1 = 11250 palabras ; m2 = 6750 palabras

Regla de compañía

La regla de compañía se refiere a los problemas de repartir ganancias o pérdidas entre varios socios. Se pueden presentar varios casos.

1. Que los socios hayan colocado capitales distintos durante un mismo tiempo.

2. Que los socios hayan colocado el mismo capital durante distintos lapsos.

3. Que los socios hayan colocado distintos capitales durante distintos tiempos.

Como se conviene en que las ganancias o pérdidas se deben repartir en forma directamente proporcional a los capitales y a los tiempos, se trata de problemas de repartición proporcional directa. Los dos primeros casos ya los hemos resuelto.

El último tiene, también, una solución sencilla.

Ejemplo:

Supongamos que se debe repartir una ganancia g entre los socios A, B y C, cada uno de los cuales aportó, respectivamente, los capitales a, b y c, que estuvieron colocados los tiempos n_a, n_by n_c.

Calcular cuánto le corresponde a cada uno.

Sabemos que si llamamos x, y, z a lo que deben recibir A, B, y C, respectivamente debe cumplirse:

(pues las cantidades a recibir deben ser directamente proporcionales al capital y al tiempo) .

Luego:

y análogamente:

Ejercicios

6. Sabiendo que el señor A colocó en una empresa $3000  durante 7 meses; el señor B $2300  durante 1 1/2 años; y el señor C $4500  durante dos cuatrimestres, repartir una ganancia de $1800 $ entre los tres socios.

Rta: 384,15;  757,32;  658,53 

7. Repartir una pérdida de $500  entre A, que aportó $1000 colocados durante un año; B, que aportó $1500 , colocados durante 8 meses, y C, que aportó $800 $ colocados durante un semestre.

Rta:  288,45;  96,15;  115,40 

8. Tres comerciantes fletan en común un camión cuyo dueño cobra $3000  por el viaje. El comerciante A envía 2 t a una ciudad que dista 350 km; el comerciante B envía 4 t a una ciudad que sobre la misma ruta dista 70 km de la anterior y el comerciante C envía 3 t a una ciudad que dista 760 km del punto de partida. Prorratear el precio del viaje entre los tres comerciantes.

Rta: 681,82;  272,73;  2045,45

Mezcla

Supongamos que se nos presenta el siguiente problema:

En una planta de pasterización de leche han entrado 5 t de leche con 6 % de grasa, 8 t con 4,5 % y 10 t con 4 % de grasa. Si en la elaboración se mezcla toda la leche recibida ¿qué tanto por ciento de grasa contendrá la mezcla?

¿Qué tanto por ciento es 1,06 de 23? Como 1,06/23 ≈ 0,047 resulta que se obtienen 23 t de leche con 4,7 %.

El procedimiento seguido puede utilizarse para resolver otros problemas de este tipo.

9. En un comercio se han mezclado 50 kg de café de $14  el kilogramo, 30 kg de $10 el kilogramo, 45 kg de $18  el kilogramo y 20 kg de $19  el kilogramo. ¿A cuánto debe venderse la mezcla para que el producto de su venta sea el mismo que se hubiese obtenido al vender cada tipo por separado?

Rta: $15,10

10. Se prepara un fertilizante que contiene 6 kg de nitrógeno por cada 8 kg de ácido fosfórico y por cada 4 kg de potasa (suele anotarse 6: 8: 4). Si el nitrógeno vale $3300  el kilogramo, el ácido fosfórico $1650  y la potasa $1370 , ¿cuál es el precio de costo de cada tonelada si hay que agregar el costo del proceso de mezcla que se estima en el 8 % del precio de la materia prima?

Rta: En 1 tonelada entran 1000/3 kg de nitrógeno, 4000/9 kg de ácido fosfórico y 2000/9 kg de potasa. Costo materia prima $213 777,77. Costo tonelada ≈ $230 880

11. Si se mezclan 200 kg de fertilizante 4 : 6 : 4 con 300 kg de fertilizante 4: 8 : 4, que cantidad de cada materia alimenticia contiene la mezcla?

Rta:

12. A 3000 litros de vino de $1,53  el litro se le agregan 240 litros de agua. ¿Cuál es el precio de venta equitativo?

Rta: ≈ $1,42

Se nos puede presentar un problema inverso a los anteriores. Por ejemplo conociendo el precio a que se desea vender una mezcla hallar qué cantidad de cada mercadería debe mezclarse. Veamos un caso concreto:

Tenemos yerba mate de $1,52  el kilogramo y de $2  el kilogramo. Se desea producir una mezcla de $1,88  el kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo deberá mezclarse?

El problema consiste en mezclar la yerba mate de modo que el beneficio que se obtenga al vender la de $1,52  a $1,88 se equilibre con la pérdida que surja de vender la yerba de $2  a $1,88. Si llamamos x al número de kilogramos de yerba del segundo tipo, debe resultar:

lo que significa que si x = 1 es y = 3 o lo que es lo mismo: por cada kilogramo de $1,52 hay que agregar 3 kg de 2 $.

Verificación :

Veamos otro ejemplo:

Se poseen cuatro tipos de vinos cuyos precios por litro son, respectivamente: p₁ = $1,30 ;  p₂ = $1,50;  p₃ = $1,40 y p₄ = $1,25 . Si se los quiere mezclar para obtener una calidad cuyo precio de venta sea p = $1,35 . ¿En qué proporción debe hacerse la mezcla?

Razonamos como en el problema anterior, tomando de a dos calidades, una de precio menor que p y otra mayor. Llamemos l₁, al número de litros de precio p₁, l₂ al de precio p₂, l₃ al de p₃ y l₄ al de p₄. Resulta:

lo cual significa que una posible solución es: por cada 3 litros de $1,30 ; 1 litro de $1,50 ; 2 litros de $1,40 y 1 litro de $1,25 .

Verificación:

Habrás notado que hemos dicho una posible solución del problema. En efecto, ésta no es la única solución. Podríamos haber elegído los pares de la siguiente manera:

Es decir por cada litro de $1,30 ; 2 litros de $1,50 ; 1 litros de $1,40 y 3 litrosde $1,25 . Verifícalo.

Ejercicios

13. Con yerba de $1,43 ; $1,38 y $1,25 se desea obtener una mezcla de $1,30 . Establecer una proporción para esta mezcla. (Cada tipo puede tomarse más que una vez para formar los pares. )

Rta: 21 kg de 1,25; 5 kg de 1,43; 5 kg de 1,38

14. Se posee leche de varios tipos: con 6,5 % de grasa; con 4,3 %; con 5,2 % y con 4,8 % Se desea obtener una mezcla con 5 % de grasa. Establecer una proporción para esta mezcla.

Rta: 7 litros cuyo tenor de grasa sea 6,5%: 15 litros de 4,3%; 1 litro de 5,2% y 1 litro de 4,8%

15. Se poseen 50 kg de harina de $2,34 el kilo que se desean mezclar con harina de $2,20 para obtener una mezcla de $2,30 de precio. ¿Cuántos kilogramos de la segunda deben agregarse a los 50 kg?

Rta: La proporción es 5 de 2,34% con 2 de $2,20 . Deben entonces agregarse 20 kg de $2,20

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