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COMBINATORIA: VARIACIONES. ARREGLOS. DISPOSICIONES


 

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COMBINATORIA

Dadas las cuatro cifras: 2, 5, 8 y 9, los diferentes productos que pueden obtenerse multiplicando dos cifras distintas de esas cifras dadas, son:

Éstos son los únicos productos diferentes que pueden formarse con esas cifras tomadas de dos en dos, pues para que dos cualesquiera de esos productos no sean iguales, deben tener por lo menos un factor distinto.

Si las mismas cuatro cifras dadas: 2, 5, 8 y 9 se agrupan de dos en dos, formando todas las fracciones diferentes posibles, se obtiene:

Dos cualesquiera de las fracciones formadas son distintas, ya sea porque tienen algún elemento diferente o porque siendo iguales los elementos, figuran en distinto orden. Así. por ejemplo, las fracciones 5/2 y 5/8 son dístintas porque tienen diferente el elemento denominador y las fracciones 2/9 y 9/2 son desiguales, pues aunque los elementos que las forman son los mismos, aparecen en distinto orden.

En los dos ejemplos considerados se ve que al agrupar los 4 elementos dados de 2 en 2, hay criterios distintos para considerar diferentes cualesquiera de los grupos obtenidos. En el primer caso, el de los productos, dos grupos para ser distintos deben tener forzosamente un elemento diferente y no interesa el orden en que los elementos figuran; ene! segundo caso, el de las fracciones, dos grupos son distintos o bien porque tienen algún elemento diferente o bien porque éstos aparecen en distinto orden.

Estas observaciones se generalizan como sigue, para el caso en que sean m los elementos. dados y que se agrupen de n en n :

Si a estos grupos se los considera distintos solamente cuando tienen algún elemento diferente, se obtienen las combinaciones de m elementos tomados de n en n. Es el caso de los productos. Si a estos grupos se los considera distintos cuando tienen algún elemento diferente o cuando teniendo los mismos figuran en distinto orden se obtienen las variaciones de m elementos tomados de n en n.

Es el caso de las fracciones.

VARIACIONES

Se llaman variaciones de m elementos tomados de n en n a los grupos que se pueden formar con m elementos dados tomándolos de n en n y tales que dos grupos se consideran distintos, cuando difieren en algún elemento, o en el orden en que los elementos están dispuestos.

Así, las 12 fracciones que anteriormente se formaron con las cuatro cifras dadas tomadas de 2 en 2 constituyen un ejemplo de variaciones de cuatro elementos tomados de dos en dos.

El número de variaciones de m elementos tomados de n en n se indica con la notación:

                                Vnm    o bien  V m; n

Luego, en el ejemplo considerado el número de variaciones formadas con 4 elementos tomados de 2 en 2, que segun se ha visto es 12, se indica:

                                V24= 12

A continuación se deduce, en general, una fórmula que permite determinar el número de variaciones de m elementos tomados de n en n, es decir:

                                Vnm

Para concretar ideas, dadas las cifras 1; 3 ; 5 ; 6 y 7, se procede así:

1º se escriben todos los números diferentes de una cifra, que pueden formarse con ellas.

Éstos son:

1 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7

es decir 5 números. Éste es un ejemplo de variaciones de 5 elementos tomados de 1 en 1.

Luego:

2º Dadas esas mismas cifras se escriben todos los números diferentes de dos cifras que pueden formarse con dos de ellas. Para ello bastará agregar sucesivamente a la derecha de cada uno de los números anteriores cada una de las cuatro cifras restantes, es decir a la derecha de 1, se escribirán sucesivamente cada una de las cifras 3; 5 ; 6 y 7 ; a la derecha de 3, cada una de las cifras 1; 5; 6 y 7 y así, siguiendo.

Los números de dos cifras buscados se disponen así: en la primera columna los cuatro números de dos cifras que comienzan con 1 ; en la segunda columna los cuatro que comienzan con 3, en la tercera columna los cuatro números que comienzan con 5 y en la cuarta columna los cuatro números que cominezan con 6 y en la quinta columna los cuatro números que comienzan con 7.

Es decir :

Se dan así el total de los números buscados, distribuidos en 5 columnas de 4 filas, o sea un total de 5 X 4 = 20 números.

Éste es un ejemplo de variaciones de 5 elementos tomados de 2 en 2.

Luego:

3º Dadas las mismas cifras se escriben todos los números diferentes de 3 cifras distintas que pueden formarse con ellas.

Para obtenerlos bastará escribir en una fila los 20 números anteriores y sucesivamente a la derecha de cada uno de ellos cada una de las tres cifras restantes; quiere decir que cada uno de los números anteriores da lugar a tres números de tres cifras. El número 13, por ejemplo, da lugar a los tres números: 135, 136 Y 137. Quedan así los números dispuestos en un cuadro de 20 columnas y 3 filas:

es decir, un total de 20 X 3 = 60 números.

Ésto constituye un ejemplo de variaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3.

Luego:

pero 20 es el número de variaciones V25; que se expresó en [2] por el producto 5 X 4. Reemplazando en la igualdad anterior, resulta:

O sea :

 

4º Dadas las mismas 5 cifras, obtener todos los números de 4 cifras diferentes que se pueden formar con ellas, constituye un ejemplo de variaciones de 5 elementos tomados de 4 en 4. Para obtener todos estos números de cuatro cifras bastará agregar sucesivamente a la derecha de cada uno de los 60 números anteriores, cada una de las 2 cifras restantes. Es decir que cada una de las vanaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3 da origen a dos números de cuatro cifras, es decir a dos grupos de variaciones de 5 elementos tomados de 4 en 4; en consecuencia el total de vanaciones de 5 elementos tomados de 4 en 4, es igual al duplo del numero de variaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3, o sea:

y reemplazando en la igualdad anterior V35 según [3] resulta:

De la observación de las fórmulas [1], [2], [3] y [4] se deduce que:

Y, en general, si en lugar de 5 se llama m a los elementos dados y n al número de elementos de cada grupo, resulta que el numero de variaciones de m elementos tomados de n en n es igual al producto de n factores decrecientes sucesivos a partir de m, es decir:

EJEMPLO 1º :

Calcular el número de variaciones de 8 elementos tomados de 3 en 3.

Según la fórmula, es igual al producto de 3 factores decrecientes sucesivos a partir de 8, es decir:

EJEMPLO 2 º :

Calcular el número de variaciones de 10 elementos tomados de 6 en 6.

EJEMPLO 3º:

El local de una escuela tiene 12 aulas; como funcionan solamente 7 cursos ¿de cuántas formas distintas puede hacerse la distribución de los cursos en las aulas?

NOTA: Las variaciones se llaman también arreglos o disposiciones.

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