Hasta ahora, en esta explicación
de los exponentes, nuestra atención se ha concentrado
sobre los exponentes que son enteros positivos. Hay dos tipos
de exponentes que no son enteros positivos y dos que son tratados
como casos especiales aunque pueden considerarse como enteros
positivos.
Cero como exponente
Potencias de números racionales con exponente
natural.
Definición: Se llama potencia
cero de un número racional cualquiera, distinto
de cero, al número uno.
El cero aparece como exponente en la respuesta a un problema
tal como 43 ÷ 43. La ley
de los exponentes para la división establece que los
exponentes deben restarse. Esto se ilustra así:
Otra forma de expresar el resultado de dividir 43
por 43 es emplear el axioma fundamental que establece
que todo número dividido por sí mismo es 1.
Para que las leyes de los exponentes sean ciertas en todos
los casos esto también debe ser cierto cuando todo
número elevado a una potencia es dividido por sí
mismo. Entonces, 43 / 43 debe ser igual
a 1.
Visto que se ha demostrado que 43/43
es igual a 40 y 1, llegamos a la conclusión
de que 40= 1
Por el mismo razonamiento,
Entonces, vemos que todo número dividido por sí
mismo da un exponente cero y tiene un valor 1. Por definición,
pues, todo número diferente de cero elevado a la potencia
cero es igual a 1. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos:
Uno como exponente
A veces surge el número 1 corno exponente,
como resultado de una división.
Definición II – Se llama potencia
primera de un número racional cualquiera al
mismo número .
Definición III. Se llama potencia
enésima de un número racional cualquiera
(siendo n un número natural mayor
que uno) al producto de n factores iguales
a ese número.
Regla práctica para elevar una fracción
a potencia. Los ejemplos anteriores y la consideración
de que en cualquier otro caso se procede en la misma forma,
nos conduce a la siguiente:
REGLA PRÁCTICA. Para elevar un número racional
a potencia se elevan su numerador y si, denominador a dicha
potencia.
En el ejemplo 53/52 restamos
los exponentes para obtener:
53-2 = 51
Este problema puede encararse en otra forma, así:
En consecuencia,
51=5
Sacamos en conclusión que todo número
elevado a la primera potencia es el número mismo. El
exponente 1, por lo general, no se escribe, pero se sobreentiende
que existe.
Potencias con exponente negativo. En las
potencias estudiadas hasta ahora, el exponente era siempre
un número natural. Vamos a extender, ahora, el estudio
de las potencias, al caso en que el exponente de éstas
sea un número entero negativo. Así tienen significado
claro para nosotros las expresiones tales como:
Si la ley de los exponentes para la división se extiende
para incluir casos en que el exponente del denominador es
mayor, aparecen exponentes negativos. Entonces,
Otra forma de expresar este problema es esta:
Por consiguiente,
Deducimos que un número N con un exponente
negativo equivale a una fracción que tiene la firma
siguiente: Su numerador es 1; su denominador es N con un exponente
positivo cuyo valor absoluto es el mismo que el valor absoluto
del exponente original. En símbolos, esta regla puede
establecerse de la manera que sigue:
Los ejemplos que ofrecemos a continuación
ayudan a ilustrar la regla:
Note que el signo de un exponente puede cambiarse
moviendo simplemente la expresión que contiene el exponente
a la otra posición en la fracción. El signo
del exponente cambia cuando se realiza este movimiento. Por
ejemplo,
Usando las relaciones anteriores, un problema
tal como 3/5-4 puede simplificarse como sigue:
Como la definición de potencia con exponente
natural, no es aceptable en el caso en que el exponente sea
negativo, pues no tiene sentido hablar de un producto de un
número negativo de factores, daremos una nueva definición.
Por razones que después veremos, los Matemáticos
han preferido la siguiente:
DEFINICIÓN. Toda potencia con exponente
negativo de un número racional distinto de cero, significa
el cociente del número uno por una potencia de la misma
base, con exponente positivo y de igual valor absoluto que
el de la dada.
En símbolos: Siendo
Permanencia de las propiedades de las
potencias con exponente natural en las potencias con exponente
negativo.
La definición de potencia con exponente
negativo elegida, que puede parecer arbitraria, tiene la ventaja
de que con ella todas las propiedades de las potencias con
exponente natural, siguen siendo válidas para estas
nuevas potencias, lo que se demuestra aplicando la definición
y las mencionadas propiedades, en la forma que se indica a
continuación
En lo que sigue, con el objeto de simplificar
la escritura, representaremos a los números racionales
por la letras minúsculas a, b, c, etc. De manera que
ahora
Corolario de la definición - Siendo por
definición
Es decir: Toda frección de numerador
1 puede escribirse como potencia de exponente negativo de
su denominador.
Ejemplos:
Propiedad uniforme - Si ambos miembros de una
igualdad se elevan a una misma potencia de exponente negativo,
se obtiene otra igualdad .
En símbolos :
Propiedades distributivas. Potencia
de un producto – La potencia de exponente negativo
de un producto, es igual al producto de las potencias, de
igual exponente, de los factores.
Ejemplos:
Exponentes fraccionarios
Los exponentes fraccionarios obedecen a las
mismas leyes que los exponentes enteros. Por ejemplo,
Advierta que el número 41/2,
cuando se lo eleva al cuadrado en el ejemplo anterior, produce
el número 4 como respuesta. Recordando que la raíz
cuadrada de un número N es un número x tal que
x 2= N, deducimos que 41/2 es equivalente
a  . Entonces
tenemos una definición como esta: Un exponente fraccionario
de la forma l/r indica una raíz cuyo índice
es r. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos:
Note que en una expresión tal como 82/3
podemos determinar primero la raíz cúbica de
8 o elevar primero 8 al cuadrado, según se muestra
en el siguiente ejemplo:
Todos los números en el cálculo
de 82/3 siguen siendo pequeños si se determina
antes la raíz cúbica elevando el número
a la segunda potencia. Este orden de operación es particularmente
deseable al calcular un número como 645/6.
Si se elevara primero 64 a la quinta potencia resultaría
un número grande. Podría requerir una cantidad
grande e innecesaria de esfuerzo para determinar la sexta
raíz de 645 El resultado se obtiene fácilmente
si escribimos
Si aparece una fracción impropia en un
exponente tal como 7/3 en la expresión 27/3,
es costumbre mantener la fracción en esa forma en vez
de expresarla como número mixto. En forma fraccionaría
un exponente muestra de inmediato qué potencia y qué
raíz intervienen. Sin embargo, 27/3 puede
expresarse en otra forma y es factible simplificarlo cambiando
la fracción impropia a número mixto y escribiendo
la parte fraccional en la forma radical, como sigue:
La ley de los exponentes para la multiplicación
puede combinarse con la regla para exponentes fraccionarios
a fin de resolver problemas del siguiente tipo:
PROBLEMA: Calcular la expresión 42,5.
Notación científica y
potencias de 10
Los técnicos, ingenieros y otros profesionales dedicados
a trabajos científicos necesitan a menudo resolver
problemas con números muy grandes y muy pequeños.
Problemas tales como
no son infrecuentes. La resolución de
los mismos mediante las reglas comunes de la aritmética
resulta laboriosa e implica pérdidas de tiempo. Además,
los tediosos procesos aritméticos tienden a producir
errores operacionales. Asimismo, es difícil localizar
la coma decimal en el resultado. Estas dificultades pueden
reducirse en forma notable mediante el conocimiento de las
potencias de 10 y su empleo.
Las leyes de los exponentes constituyen las
bases para los cálculos que emplean potencias de 10.
La siguiente lista incluye varios decimales y números
enteros expresados como potencias de 10:
El concepto de notación científica
puede demostrarse como sigue:
Advierta que la expresión final en cada
uno de los ejemplos anteriores comprende un número
entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10. Además,
en cada caso el exponente de la potencia de 10 es un número
igual a la cantidad de dígitos entre la nueva posición
de la coma decimal y su posición original (sobreentendida).
Aplicamos estos razonamientos para escribir
cualquier número en notación científica;
esto es, un número entre 1 y 10 multiplicado por la
potencia de 10 apropiada. La potencia de 10 correspondiente
se determina por los siguientes pasos mecánicos:
1. Correr la coma decimal a una posición
standard, que es la posición inmediata a la derecha
del primer dígito no cero.
2. Contar el número de dígitos
entre la nueva posición de la coma y su posición
original. Este número indica el valor del exponente
para la potencia de 10.
3. Si la coma decimal se corre a la izquierda,
el signo del exponente de 10 es positivo; si la coma decimal
se corre a la derecha, el signo del exponente es negativo.
La validez de esta regla, para aquellos casos
en los cuales el exponente de 10 es negativo, se demuestra
como sigue:
A continuación se dan otros ejemplos
para el uso de la notación científica:
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