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Exponentes y radicales. Exponentes especiales.


 

 


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Hasta ahora, en esta explicación de los exponentes, nuestra atención se ha concentrado sobre los exponentes que son enteros positivos. Hay dos tipos de exponentes que no son enteros positivos y dos que son tratados como casos especiales aunque pueden considerarse como enteros positivos.

Cero como exponente

Potencias de números racionales con exponente natural.

Definición: Se llama potencia cero de un número racional cualquiera, distinto de cero, al número uno.

El cero aparece como exponente en la respuesta a un problema tal como 43 ÷ 43. La ley de los exponentes para la división establece que los exponentes deben restarse. Esto se ilustra así:

Otra forma de expresar el resultado de dividir 43 por 43 es emplear el axioma fundamental que establece que todo número dividido por sí mismo es 1. Para que las leyes de los exponentes sean ciertas en todos los casos esto también debe ser cierto cuando todo número elevado a una potencia es dividido por sí mismo. Entonces, 43 / 43 debe ser igual a 1.

Visto que se ha demostrado que 43/43 es igual a 40 y 1, llegamos a la conclusión de que 40= 1

Por el mismo razonamiento,

Entonces, vemos que todo número dividido por sí mismo da un exponente cero y tiene un valor 1. Por definición, pues, todo número diferente de cero elevado a la potencia cero es igual a 1. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos:

Uno como exponente

A veces surge el número 1 corno exponente, como resultado de una división.

Definición II – Se llama potencia primera de un número racional cualquiera al mismo número .

Definición III. Se llama potencia enésima de un número racional cualquiera (siendo n un número natural mayor que uno) al producto de n factores iguales a ese número.

Regla práctica para elevar una fracción a potencia. Los ejemplos anteriores y la consideración de que en cualquier otro caso se procede en la misma forma, nos conduce a la siguiente:

REGLA PRÁCTICA. Para elevar un número racional a potencia se elevan su numerador y si, denominador a dicha potencia.

En el ejemplo 53/52 restamos los exponentes para obtener:

53-2 = 51

Este problema puede encararse en otra forma, así:

En consecuencia,

51=5

Sacamos en conclusión que todo número elevado a la primera potencia es el número mismo. El exponente 1, por lo general, no se escribe, pero se sobreentiende que existe.

Potencias con exponente negativo. En las potencias estudiadas hasta ahora, el exponente era siempre un número natural. Vamos a extender, ahora, el estudio de las potencias, al caso en que el exponente de éstas sea un número entero negativo. Así tienen significado claro para nosotros las expresiones tales como:

Si la ley de los exponentes para la división se extiende para incluir casos en que el exponente del denominador es mayor, aparecen exponentes negativos. Entonces,

Otra forma de expresar este problema es esta:

Por consiguiente,

Deducimos que un número N con un exponente negativo equivale a una fracción que tiene la firma siguiente: Su numerador es 1; su denominador es N con un exponente positivo cuyo valor absoluto es el mismo que el valor absoluto del exponente original. En símbolos, esta regla puede establecerse de la manera que sigue:

Los ejemplos que ofrecemos a continuación ayudan a ilustrar la regla:

Note que el signo de un exponente puede cambiarse moviendo simplemente la expresión que contiene el exponente a la otra posición en la fracción. El signo del exponente cambia cuando se realiza este movimiento. Por ejemplo,

Usando las relaciones anteriores, un problema tal como 3/5-4 puede simplificarse como sigue:

Como la definición de potencia con exponente natural, no es aceptable en el caso en que el exponente sea negativo, pues no tiene sentido hablar de un producto de un número negativo de factores, daremos una nueva definición. Por razones que después veremos, los Matemáticos han preferido la siguiente:

DEFINICIÓN. Toda potencia con exponente negativo de un número racional distinto de cero, significa el cociente del número uno por una potencia de la misma base, con exponente positivo y de igual valor absoluto que el de la dada.

En símbolos: Siendo

Permanencia de las propiedades de las potencias con exponente natural en las potencias con exponente negativo.

La definición de potencia con exponente negativo elegida, que puede parecer arbitraria, tiene la ventaja de que con ella todas las propiedades de las potencias con exponente natural, siguen siendo válidas para estas nuevas potencias, lo que se demuestra aplicando la definición y las mencionadas propiedades, en la forma que se indica a continuación

En lo que sigue, con el objeto de simplificar la escritura, representaremos a los números racionales por la letras minúsculas a, b, c, etc. De manera que ahora

Corolario de la definición - Siendo por definición

Es decir: Toda frección de numerador 1 puede escribirse como potencia de exponente negativo de su denominador.

Ejemplos:

Propiedad uniforme - Si ambos miembros de una igualdad se elevan a una misma potencia de exponente negativo, se obtiene otra igualdad .

En símbolos :

Propiedades distributivas. Potencia de un producto – La potencia de exponente negativo de un producto, es igual al producto de las potencias, de igual exponente, de los factores.

Ejemplos:

 

Exponentes fraccionarios

Los exponentes fraccionarios obedecen a las mismas leyes que los exponentes enteros. Por ejemplo,

Advierta que el número 41/2, cuando se lo eleva al cuadrado en el ejemplo anterior, produce el número 4 como respuesta. Recordando que la raíz cuadrada de un número N es un número x tal que x 2= N, deducimos que 41/2 es equivalente a . Entonces tenemos una definición como esta: Un exponente fraccionario de la forma l/r indica una raíz cuyo índice es r. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos:

Note que en una expresión tal como 82/3 podemos determinar primero la raíz cúbica de 8 o elevar primero 8 al cuadrado, según se muestra en el siguiente ejemplo:

Todos los números en el cálculo de 82/3 siguen siendo pequeños si se determina antes la raíz cúbica elevando el número a la segunda potencia. Este orden de operación es particularmente deseable al calcular un número como 645/6. Si se elevara primero 64 a la quinta potencia resultaría un número grande. Podría requerir una cantidad grande e innecesaria de esfuerzo para determinar la sexta raíz de 645 El resultado se obtiene fácilmente si escribimos

Si aparece una fracción impropia en un exponente tal como 7/3 en la expresión 27/3, es costumbre mantener la fracción en esa forma en vez de expresarla como número mixto. En forma fraccionaría un exponente muestra de inmediato qué potencia y qué raíz intervienen. Sin embargo, 27/3 puede expresarse en otra forma y es factible simplificarlo cambiando la fracción impropia a número mixto y escribiendo la parte fraccional en la forma radical, como sigue:

La ley de los exponentes para la multiplicación puede combinarse con la regla para exponentes fraccionarios a fin de resolver problemas del siguiente tipo:

PROBLEMA: Calcular la expresión 42,5.

Notación científica y potencias de 10

Los técnicos, ingenieros y otros profesionales dedicados a trabajos científicos necesitan a menudo resolver problemas con números muy grandes y muy pequeños. Problemas tales como

no son infrecuentes. La resolución de los mismos mediante las reglas comunes de la aritmética resulta laboriosa e implica pérdidas de tiempo. Además, los tediosos procesos aritméticos tienden a producir errores operacionales. Asimismo, es difícil localizar la coma decimal en el resultado. Estas dificultades pueden reducirse en forma notable mediante el conocimiento de las potencias de 10 y su empleo.

Las leyes de los exponentes constituyen las bases para los cálculos que emplean potencias de 10. La siguiente lista incluye varios decimales y números enteros expresados como potencias de 10:

El concepto de notación científica puede demostrarse como sigue:

Advierta que la expresión final en cada uno de los ejemplos anteriores comprende un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10. Además, en cada caso el exponente de la potencia de 10 es un número igual a la cantidad de dígitos entre la nueva posición de la coma decimal y su posición original (sobreentendida).

Aplicamos estos razonamientos para escribir cualquier número en notación científica; esto es, un número entre 1 y 10 multiplicado por la potencia de 10 apropiada. La potencia de 10 correspondiente se determina por los siguientes pasos mecánicos:

1. Correr la coma decimal a una posición standard, que es la posición inmediata a la derecha del primer dígito no cero.

2. Contar el número de dígitos entre la nueva posición de la coma y su posición original. Este número indica el valor del exponente para la potencia de 10.

3. Si la coma decimal se corre a la izquierda, el signo del exponente de 10 es positivo; si la coma decimal se corre a la derecha, el signo del exponente es negativo.

La validez de esta regla, para aquellos casos en los cuales el exponente de 10 es negativo, se demuestra como sigue:

A continuación se dan otros ejemplos para el uso de la notación científica:

 

 

 


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