CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)

 


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Introducción al cálculo de probabilidades. Definiciones. Probabilidad de acontecimientos. Ejemplos en los dados, cartas, rifas, bolilleros. Probabilidades aleatorias.


 

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Curso de Matemáticas

 

 

 


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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

En la vida diaria se utilizan a menudo las palabras probable y probabilidad. Así, es común decir: "es probable que me vaya a Europa"; "existe una gran probabilidad de que lo asciendan"; "hay anuncio de probabilidad de chaparrones"; "es poco probable que este equipo gane el partido'" etc.

Es decir, que de acuerdo con la acepción que se da a la palabra probabilidad en el lenguaje corriente, se refiere siempre a acontecimientos que pueden ocurrir con mayor o menor frecuencia, pero que no se puede asegurar si van a ocurrir o no.

Estos hechos inciertos que pueden tener dos o más resultados diferentes, que se excluyen y de los cuales no se puede asegurar con certeza cuál va a ocurrir, reciben el nombre de aleatorios.

Así, por ejemplo, al decir "es probable que me vaya a Europa" podía resultar que vaya efectivamente a Europa o que me quede sin ir; en el caso de "probables lluvias" es fácil que llueva, pero puede ocurrir que no llueva; en el caso de "es poco probable que este equipo gane el partido" puede resultar: 1º, que a pesar de las dificultades, gane; 2º, que como se pensó, pierda; 3º, aún hay un tercer resultado posible: que empate.

Todos los acontecimientos en que interviene el azar son aleatorios. Por ejemplo, si se tiene un número de una rifa puede ocurrir que salga premiado o no.

El cálculo de probabilidades estudia las leyes que rigen estos acontecimientos aleatorios.

La estadística, según se sabe, trabaja con variables tales que los valores que adopta se conocen como resultado de la experiencia y de la observación.

En cambio, el cálculo de probabilidades trabaja con variables que se llaman aleatorias, que pueden tomar dos o más valores y que reciben este nombre porque no se puede anticipar con certeza cuál de esos valores va a adoptar la variable.

Así se comprende que al tirar un dado los valores que pueden salir son: 1; 2 ; 3 ; 4; 5 y 6, es decir, la variable puede tomar cualquiera de esos seis valores, pero antes de tirar el dado no se puede asegurar cuál de ellos va a salir.

Es evidente que entre los fenómenos aleatorios hay acontecimientos igualmente probables. Por ejemplo, al tirar una moneda es igualmente probable que salga “cara" o salga "ceca". En cambio hay acontecimientos más probables que otros; así, por ejemplo, si en un bolillero hay 20 bolillas blancas y 5 azules, al hacer una extracción es más fácil sacar una bolilla blanca que una azul; aún en el lenguaje corriente se dice que es más probable sacar una bolilla blanca. De ahí surge la idea de hacer corresponder a cada probabilidad un número y cuanto mayor es este número, tanto más probable es que ocurra el acontecimiento.

A continuación se hacen algunas consideraciones previas para llegar a la determinación del número que corresponde a cada probabilidad.

En el problema de la moneda que ya se consideró, para determinar el número que da la probabilidad de que salga "cara" se razona así:

Hay solamente dos posibilidades en igualdad de condiciones: “cara" o “ceca". Esto se expresa diciendo que hay dos casos igualmente posibles. De ellos, uno solamente es “cara"; luego, para que salga cara hay un solo caso favorable.

Si se arroja un dado, las 6 caras del dado están en igualdad de condiciones. Luego, es igualmente probable que salga uno cualquiera de los seis valores: 1; 2; 3; 4; 5; 6 de la variable aleatoria.

Esto se expresa diciendo que hay 6 casos igualmente posibles. Si se quiere que salga 3, como hay una sola cara donde figura 3, se dice que hay un solo caso favorable.

Si en el ejemplo ya citado de un bolillero donde hay 20 bolillas blancas y 5 bolillas azules, todas de igual volumen, peso y superficie pulida, se hace girar el bolillero, las 25 bolillas contenidas en él están en igualdad de condiciones de poder salir. Por eso se dice que en este ejemplo hay 25 casos igualmente posibles; para sacar 1 bolilla blanca es preciso que salga 1 de las 20 de ese color y no otra. Se dice entonces que entre los 25 casos igualmente posibles hay 20 casos favorables y 5 desfavorables para obtener una bolilla blanca.

Hechas estas consideraciones, se enuncia a continuación la definición de probabilidad de Laplace.

Definición clásica de Laplace. La probabilidad de un acontecimiento es igual al cociente entre el número de casos favorables y el número de casos igualmente posibles.

Si con p (A) se simboliza la probabilidad de que ocurra un acontecimiento A; con h el número de casos favorables y con n el número de casos igualmente posibles, de acuerdo con la definición se tiene que:

Cuando no hay lugar a dudas, la probabilidad se indica simplemente p.

EJEMPLOS:

Pierre de Laplace (1749-1827). Además de su contribución al desarrollo de la teoría de la probabilidad se dedicó a la Mecánica Celeste y fue profesor en la Escuela Militar de París.

Karl Friedrich Gauss (1777-1855) Contribuyó al desarrollo de distintas ramas de la Matemática al igual que al de la Física y la Astronomía, pero fueron muy importantes sus aportes a la teoría  de funciones, a la teoría del numero, a la estadística y la probabilidad. Fue director del Observatorio de Göttingen y durante su dirección, este observatorio se constituyó en un centro científico y matemático que ejercía su influencia en toda Europa.

1º En el ejemplo citado de la moneda, para sacar cara, teniendo en cuenta que hay un caso favorable y dos igualmente posibles, la probabilidad es:

2º  En el ejemplo del dado, para sacar "3" al arrojar un dado, teniendo en cuenta que hay 6 casos igualmente posibles y sólo 1 favorable, la probabilidad es:

3º En el ejemplo del bolillero, para sacar 1 bolilla blanca en una extracción, como hay 25 casos igualmente posibles y sólo 20 favorables, la probabilidad es:

4º  La probabilidad de obtener un rey al sacar una carta de un mazo de cartas españolas, teniendo en cuenta que el total de cartas del mazo es 40, y entre ellas hay solamente 4 reyes, resulta que son 40 casos igualmente posibles y 4 casos favorables, luego:

5º Al arrojar 2 dados, uno blanco y otro negro, ¿cuál es la probabilidad de obtener 8 puntos entre los dos?

Los casos igualmente posibles se calculan así: cada cara del dado blanco se puede combinar con cada una de las 6 caras del dado negro, es decir, cada cara del dado blanco da lugar a 6 posibilidades y como el dado blanco tiene 6 caras, el número de casos igualmente posibles es 6 X 6 = 36.

Para calcular el número de casos favorables se ve de cuántas formas distintas se puede obtener 8 entre los dos dados. Estas formas son:

es decir: 5 formas distintas de obtener 8; luego hay 5 casos favorables.

Por lo tanto, la probabilidad es:

Hay acontecimientos imposibles de los que se puede asegurar que no van a ocurrir, como por ejemplo, que una persona pueda estar presente al mismo tiempo en Buenos Aires y en París. En este caso, el número de casos favorables es 0, luego: p = 0. En cambio, hay otros acontecimientos que ocurren inevitablemente, es decir, se tiene la certeza de que van a ocurrir. Por ejemplo, si se rifa un auto y una persona tiene todos los números de la rifa, se comprende que al efectuarse el sorteo, necesariamente le va a corresponder el automóvil.

En este caso, el número de casos igualmente posibles está dado por todos los números de la rifa y por lo tanto es igual al número de casos favorables; luego la probabilidad es 1, es decir: p = 1 .

En general, el número de casos favorables puede variar desde 0, que es el hecho imposible, hasta alcanzar el número de casos igualmente posibles, que corresponde a la certeza. Luego, la probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1, es decir:

Como ya se ha visto, la probabilidad 0 corresponde al caso imposible y la probabilidad 1 corresponde a la certeza del resultado; en los casos intermedios, cuanto mayor es el número de casos favorables con respecto al número de casos igualmente posibles, tanto más la probabilidad se aproxima a l.

Probabilidad contraria de un acontecimiento. Es el cociente entre el número de casos desfavorables del mismo y el número de casos igualmente posibles.

NOTACIÓN. Si con q (A) se simboliza la probabilidad contraria del acontecimiento A; con d el número de casos desfavorables; y con n el número de casos igualmente posibles, de acuerdo con la definición, se tiene:

Cuando no hay lugar a confusiones la probabilidad contraria se indica simplemente por q.

EJEMPLO. En el caso del bolillero con 20 bolillas blancas y 5 azules, para determinar la probabilidad contraria de sacar una bolilla blanca, se procede así: el número de casos igualmente posibles es 25 y el número de casos desfavorables es 5.

Luego:

Obsérvese que la suma de la probabilidad de un acontecimiento más la probabilidad contraria del mismo es igual a 1.

Así, en el ejemplo anterior:

y efectivamente es así, en general, pues el número de casos favorables más el número de casos desfavorables es igual al número de casos igualmente posibles.

En el ejemplo recién considerado hay:

cuya suma da 25 , que es el número de casos igualmente posibles. En general, como:

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 5 al tirar un dado?

2. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un as, al sacar al azar una carta de un mazo de cartas españolas?

3. Resolver el mismo problema anterior cuando el mazo es de cartas francesas.

4. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolilla roja en un bolillero que contiene 5 bolillas rojas, 18 azules y 7 negras?

5. ¿Cuál es la probabilidad de lograr 3 caras al tirar 3 monedas?

6. En un equipo de fútbol están en el campo de juego: 5 delanteros; 3 medio campistas, 2 zagueros y 1 guardavalla. Se lastima uno de esos jugadores, ¿cuál es la probabilidad para que sea un delantero o un zaguero el que se lastime?

7. Al tirar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número par?

8. Al tirar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener como suma 7; la de obtener 11; la de obtener 6?

9. Una familia formada por el padre, la madre y 3 hijos sacan 5 localidades consecutivas para ir al cine. Al sentarse al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el padre y la madre queden juntos?

10. En una facultad pueden ingresar 800 alumnos y se presentan 1280 aspirantes. ¿Qué probabilidad tiene de ingresar cada uno de ellos?

11. Si en su división de 4º curso hay 38 alumnos, y un profesor señala al azar, en la libreta de calificaciones, el nombre de un alumno para que exponga la lección: ¿cuál es la probabilidad de que sea usted el llamado a exponer?

12. Para realizar un experimento de física se ha formado un equipo de 4 alumnos. Si hay en total 32 alumnos, ¿cuál es la probabilidad que tiene cada uno para integrar ese equipo?

13. Juan y Pedro tienen 2 dados. Juan tira primero y obtiene 8 puntos. ¿Cuál es la probabilidad que tiene Pedro para ganar?

14. Se colocan al azar, escritas en un renglón, las 5 vocales. ¿Cuál es la probabilidad para que las vocales a y u queden juntas?

15. De los 120 alumnos que ingresan en un profesorado terminan la carrera 82. ¿Cuál es la probabilidad que tiene de recibirse de profesor cada uno de los que ingresan?

16. Calcular la probabilidad contraria en cada uno de los ejemplos anteriores.

NOTA. La definición de probabilidad dada por Laplace, adoptada en esta página, es la definición clásica.

Esta definición fue criticada aduciendo que, en muchos casos, no se puede determinar cuáles son exactamente los casos igualmente posibles, y resulta restrictiva para estudios más profundos.

En algunos casos, cuando el número de pruebas es suficientemente grande se adopta la frecuencia relativa como probabilidad.

Si en un acontecimiento aleatorio se hacen N ensayos consecutivos y un resultado se presenta m veces, la razón m/N se llama frecuencia relativa de ese resultado.

EJEMPLO. Si al tirar 1000 veces consecutivas una moneda, se obtiene "cara" 499 veces, la frecuencia relativa para que salga "cara" es :

Como ya se dijo, en algunos casos, cuando el número de pruebas es suficientemente grande, se adopta la frecuencia relativa como probabilidad. Así, en el ejemplo anterior se diría que la probabilidad de que salga cara al tirar una moneda es 0,499, que como se ve es un número bastante próximo a la probabilidad determinada mediante la definición de Laplace que es 1/2 = 0,5.

Un teorema establece que: considerando un número de ensayos suficientemente grande, el valor absoluto de la diferencia entre la frecuencia relativa y la probabilidad puede hacerse tan pequeña como se quiera.

Esta expresión de la probabilidad como frecuencia relativa establece la conexión entre el cálculo de probabilidad y la estadística.

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