CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)

 


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Introducción al cálculo de probabilidades. Definiciones. Probabilidad de acontecimientos. Probabilidades en el juego de cartas, dados, carreras, bolilleros, etc.


 

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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Ver tema relacionado previo - Cálculo de probabilidades

A continuación se trata de establecer la probabilidad de un conjunto de sucesos en función de las probabilidades de cada uno de esos sucesos simples que lo componen. Para ello es preciso establecer que:

1º  Dos o más sucesos se excluyen mutuamente o son incompatibles, cuando si se verifica uno de ellos no puede verificarse el otro.

2º  Dos o más sucesos son independientes si la realización de uno de ellos no influye para nada en la del otro.

Probabilidad total.

EJEMPLO 1º: En un bolillero hay 15 bolillas rojas, 6 bolillas blancas y 7 azules y se quiere saber cuál es la probabilidad, al extraer una bolilla, de obtener indistintamente una bolilla roja o una bolilla blanca.

El total de bolillas que hay en el bolillero en igualdad de condiciones es: 15 + 6 + 7 = 28 ; luego, el número de casos igualmente posibles es 28.

Como hay 15 bolillas rojas y 6 blancas, el número de casos favorables para extraer una bolilla roja o una blanca es 15 + 6 = 21 ; luego, la probabilidad buscada de obtener una bolilla roja o una blanca es:

Por otra parte, la probabilidad de sacar una bolilla roja es:

y la probabilidad de sacar una bolilla blanca es:

Si se suman estas dos probabilidades simples, se obtiene:

resultado que coincide con el de la probabilidad de obtener una bolilla roja o una blanca, ya calculada. Luego:

EJEMPLO 2º: Si se arrojan dos monedas, ¿cuál es la probabilidad de sacar dos "caras" o dos "cecas"? Los casos que pueden presentarse son:

Luego, los casos igualmente posibles son 4; los casos favorables son: 1 para que salgan 2 "caras" y otro para que salgan 2 "cecas", es decir, en total 2. Luego:

y, en consecuencia:

EJEMPLO 3º: ¿Cuál es la probabilidad, al tirar dos dados, de obtener 6 ó 10?

Los casos favorables que se pueden presentar son:

es decir: 5 casos para que salga seis y 3 casos para que salga diez; en total: 5 + 3 = 8 casos favorables.

Ya se sabe que el número de casos igualmente posibles es 36, porque resulta de combinar las seis caras de un dado con las seis caras del otro dado. Luego, la probabilidad para sacar 6 ó 10 es:

En consecuencia:

Las observaciones hechas en estos ejemplos se generalizan en el siguiente enunciado:

La probabilidad para que ocurra uno cualquiera de dos o más acontecimientos que se excluyen se llama probabilidad total y es igual a la suma de las probabilidades simples para que ocurra cada uno de esos acontecimientos.

Simbólicamente:

Si se designa un acontecimiento con A1 y su probabilidad p (A1); con A2, un acontecimiento que se excluye con el anterior y su probabilidad p (A2); la probabilidad para que ocurra A1 o A2, se indica p (A1 o A2).

Luego:

Obsérvese que en la probabilidad total la conjunción o está indicando que el problema se resuelve cuando ocurre uno cualquiera de los dos sucesos.

EJEMPLO. Se sortean los 100 números de una rifa marcados de 001 a 100. ¿Cuál es la probabilidad de que el número premiado sea múltiplo de 11 o de 13?

Éste es un ejemplo de probabilidad total, pues se pide que salga múltiplo de 11 o múltiplo de 13, es decir, uno cualquiera de los dos acontecimientos, que se excluyen, porque cualquier número menor o igual que 100, si es múltiplo de 11, no puede ser múltiplo de 13.

Los múltiplos de 11 son:

11;  22;  33; 44; 55; 66; 77; 88; 99

Los múltiplos de 13 son:

13; 26; 39; 52; 65; 78; 91

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Al tirar 3 dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener 15 ó 16?

2. En una carrera de automóviles la probabilidad de que el corredor nº 6 gane la carrera es 1/8  y la probabilidad de que la gane el corredor nº 14 es 1/10. ¿Cuál es la probabilidad de que gane la carrera uno de esos dos corredores?

3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de 10 al tirar dos dados?

4. En un club de 1.260 socios figuran 15 de apellido González; 25 de apellido Rodríguez y 20 de apellido Pérez. Se renueva un miembro de la comisión que se elige entre todos los socios. ¿Cuál es la probabilidad para que ese miembro sea un González, un Rodríguez o un Pérez?

5. La probabilidad que tiene una persona para viajar a Europa es 7/15 y la probabilidad de viajar a Estados Unidos de América es 2/5 . ¿Cuál es la probabilidad para que realice uno cualquiera de los dos viajes?

 

 

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