CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)

 


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Introducción al cálculo de probabilidades. Definiciones. Probabilidad de acontecimientos. Probabilidad Compuesta. Problemas de aplicación.


 

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Probabilidad compuesta.

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EJEMPLO 1º: Si en un bolillero hay 5 bolillas blancas y 7 bolillas negras y en otro bolillero hay 9 bolillas azules, 3 bolillas amarillas y 8 bolillas rojas, al hacer una extracción en cada bolillero, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bolilla negra y una bolilla azul?

Como en el primer bolillero hay 12 bolillas y en el segundo 20, hay 12 X 20 = 240 casos igualmente posibles, pues cada una de las 12 bolillas de uno de los bolilleros puede combinarse con cada una de las 20 bolillas del otro bolillero.

El número de casos favorables está dado por la combinación de cada una de las 7 bolillas negras del primer bolillero con cada una de las 9 bolillas azules del segundo bolillero, es decir, 7 X 9 = 63 casos favorables.

Luego, la probabilidad buscada de sacar una bolilla negra y una azul es:

Ahora bien, la probabilidad simple de cada suceso es:

resultado que coincide con el de la probabilidad para obtener una bolilla negra y una azul, es decir:

p (negra y azul) = p (negra) . p (azul)

EJEMPLO 2º: Si se tiene un mazo de cartas francesas y un mazo de cartas españolas, ¿cuál es la probabilidad de obtener un as en el mazo de cartas francesas y una sota en el mazo de cartas españolas?

El número de casos igualmente posibles es: 52 X 40 = 2080, que resulta de combinar cada una de las 52 cartas del mazo de

cartas francesas con cada una de las 40 del mazo de cartas españolas.

El número de casos favorables está dado por la combinación de cada uno de los 4 ases en el mazo de cartas francesas con cada una de las 4 sotas en el mazo de cartas españolas, es decir: 4 X 4 = 16 casos favorables.

Luego, la probabilidad buscada de sacar un as y una sota, es:

Ahora bien, la probabilidad simple de cada suceso, es: la probabilidad de sacar un as en las cartas francesas:

y la probabilidad de sacar una sota en las cartas españolas:

El producto de estas dos probabilidades es:

resultado que coincide con el de la probabilidad para sacar un as de las cartas francesas y una sota de las cartas españolas, es decir:

p (as y sota) = p (as) . p (sota)

Las observaciones hechas en estos ejemplos se generalizan en el siguiente enunciado:

La probabilidad para la realización conjunta de dos o más sucesos independientes se llama probabilidad compuesta y es igual al producto de las probabilidades simples para que ocurra cada uno de esos acontecimientos independientes.

Simbólicamente:

Si se designa con A1 un acontecimiento y su probabilidad con p (A1) ; con A2 un acontecimiento independiente de A1 y su probabilidad con p (A2); la probabilidad conjunta para que ocurra A1 y A2 con p (A1 y A2) es:

p (A1 y A2) = p (A1) · p (A2)

Obsérvese que en la probabilidad compuesta la conjunción y está imponiendo que ocurran los dos acontecimientos.

EJEMPLO: En un programa de examen de 25 bolillas, cuando el alumno extrae dos bolillas, ¿qué probabilidad existe para que la primera bolilla que saca sea múltiplo de 4 y la segunda sea múltiplo de 7?

Los múltiplos de 4 son: 4; 8; 12; 16; 20; 24.

Los múltiplos de 7 son: 7; 14; 21.

La probabilidad de sacar la primera bolilla múltiplo de 4 entre las 25, es:

y la probabilidad de sacar la segunda bolilla múltiplo de 7 entre las 24 restantes, es:

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Al tirar un dado y una moneda calcular la probabilidad para que salga "cara" en la moneda y "3" en el dado

2. En el problema de probabilidad total nº 5, ¿cuál es la probabilidad para que realice los dos viajes?

3. Se han enumerado tarjetas con todos los números de dos cifras. Se saca primero una tarjeta que se vuelve a reponer y si se saca otra vez una tarjeta, ¿cuál es la probabilidad de que una de las tarjetas sea un número impar y cuál la probabilidad de que la otra sea número par?

4. En una fábrica hay dos máquinas empaquetadoras. La probabilidad para que una de ellas funcione normalmente en forma continua durante una hora es 9/11; la probabilidad para que la otra funcione en las mismas condiciones y en el mismo tiempo es 15/16. ¿Cuál es la probabilidad para que las dos funcionen nomal mente en forma continua durante una hora?

5. La probabilidad de que el señor A sea designado ministro es 3/8, y en caso de ser elegido, la probabilidad de que designe como secretario suyo al señor B es 5/7.  ¿Cuál es la probabilidad de que el señor B sea designado secretario del ministro?

6. Se arrojan dos dados, ¿cuál es la probabilidad para que salga 3 en cada uno de ellos?

7. ¿Cuál es la probabilidad para que al tirar 3 monedas salga "cara" en las tres?

8. Una persona apuesta en la primera carrera a un caballo cuya probabilidad de ganar es 2/5; en la segunda carrera a un caballo cuya probabilidad de ganar es 5/7; y en la tercera carrera a otro caballo cuya probabilidad de ganar es 3/4. ¿Cuál es la probabilidad para que esa persona acierte en las tres carreras?

 

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