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Introducción al cálculo de probabilidades. Definiciones. Probabilidad compuesta.


 

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Probabilidad condicionada.

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La probabilidad de que se cumpla un acontecimiento A después que se haya cumplido un acontecimiento B se llama probabilidad condicionada y su notación simbólica es:

p (A/B)

En este caso, la probabilidad está dada por la expresión:

Destáquese que es la probabilidad condicionada, de que se cumpla A después de saber que realmente se ha verificado B.

Introducción de la noción de probabilidad en forma axiomática.

El cálculo de probabilidades se basa sobre los tres axiomas fundamentales que a continuación se enuncian.

Si en un conjunto E de sucesos que se llama conjunto de eventualidades, las clases de estos sucesos son A; B; C; . . . ; a cada una de estas clases, la A por ejemplo, se le hace corresponder un número que se designa con p(A),  que se llama su probabilidad y que cumple las siguientes condiciones:

Cuando todos los sucesos de E son de la misma clase, E coincide con A y se tiene:

P (E) = 1.               Es la certeza.

Si los sucesos de las clases A y B se excluyen mutuamente, es decir, son incompatibles:

p(A o B) = p(A) + p(B)

Sobre la base de estos tres postulados se puede demostrar el teorema de la probabilidad total generalizada, que establece que cuando los acontecimientos A y B no se excluyen, es decir no son incompatibles, se verifica

p (A o B) = P (A) + p (B) - p (A y B)

Obsérvese que si A y B son incompatibles, la probabilidad de que se verifiquen las dos es cero, es decir: p (A y B) = 0, y la fórmula anterior se reduce en este caso a la probabilidad total ya estudiada:

p(A o B) = p(A) + p(B)

También se demuestra que la expresión de la probabilidad condicionada es una probabilidad porque satisface los tres axiomas.

Además se puede demostrar el teorema de la probabilidad compuesta.

Empleo de la teoría de conjuntos.

El conjunto de todas las eventualidades o sucesos que se designa en general con E, es el conjunto universal de los sucesos; y los distintos sucesos que se designan con A; B; C; constituye cada uno un subconjunto de E.

Así: si en un bolillero hay 24 bolillas, el conjunto E está formado por: 1; 2; 3; 4; ... ; 24; y las clases pueden ser:

A: el subconjunto formado por las bolillas que son múltiplos de 4 entre esas 24 bolillas;

B: el subconjunto de esas bolillas mayores que 15;

C: el subconjunto formado por las bolillas: 1; 2; 3.

De acuerdo con el diagrama de Venn, gráficamente puede interpretarse:

Por lo tanto: la probabilidad de que ocurran A y B puede indicarse, de acuerdo con la notación de conjunto:

y la probabilidad de que ocurran A o B, de acuerdo con la misma notación, puede indicarse:

Si dos sucesos son incompatibles su intersección debe ser nula.

En el ejemplo anterior no puede sacarse una bolilla múltiplo de 4 que debe pertenecer a A y que a la vez pertenezca al conjunto C formado por 1 ; 2; 3; es decir:

De acuerdo con esta notación, el teorema de la probabilidad total se puede expresar, simbólicamente:

y el teorema generalizado de la probabilidad total

La expresión simbólica de la probabilidad compuesta, cuando A y B son independientes, es:

y la de la probabilidad condicionada:

Pruebas repetidas.

En algunas oportunidades se plantea el siguiente problema:

Se conoce la probabilidad para que ocurra un acontecimiento y se desea calcular la probabilidad para que dicho acontecimiento ocurra m veces en n tentativas sucesivas.

Sea, por ejemplo, calcular la probabilidad para que al tirar 5 veces consecutivas un dado, el "as" salga 3 veces.

Ya se sabe que la probabilidad de sacar "as" en una tirada es: p = 1/6, y la probabilidad contraria, es decir, de que salga una de las cinco caras distintas del as es: q = 5/6

Para que se verifique el problema, el as debe salir 3 veces en las 5 tiradas; supongamos que sale en las 3 primeras tiradas.

Se trata de un problema de probabilidad compuesta, dado que tiene que salir 3 veces consecutivas el as; luego, la probabilidad para que esto se verifique es igual al producto de esas tres probabilidades, es decir:

Además, como el as debe salir solamente 3 veces en las 5 tiradas, en las 2 restantes debe salir una de las 5 caras distintas del as. Como la probabilidad de cada una de ellas es 5/6 , y se trata de otro caso de probabilidad compuesta, es igual al producto de esas dos posibilidades, es decir:

Luego, para que salga as en las 3 primeras tiradas y una cara distinta del dado en cada una de las. 2 restantes, la probabilidad es:

Si los "ases" se indican con 1 y las caras distintas del dado con ⌈ , estas 5 tiradas ordenadas aparecerían así:

1 1 1 ⌈ 

Pero el problema igual se verifica si las 3 veces que sale el as no son las 3 primeras tiradas de las cinco. Por ejemplo, podría salir en la 2º, 4º y 5º tiradas, en cuyo caso en la 1º y en la 3º tendrían que salir caras distintas de as, es decir, la solución podría ser:

 1 1 1

Todas las otras soluciones posibles son:

o sea, en total, 10 soluciones. Como la probabilidad en cada una de elIas es:

y la probabilidad total del problema es:

Obsérvese que este número 10 es el número de combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3.

Efectivamente:

Luego, la probabilidad del problema puede expresarse:

5 es el número de tentativas; 3 es el número de veces que debe repetirse el acontecimiento de probabilidad p = 1/6; y 2 = 5 - 3 es el número de veces que debe repetirse el acontecimiento de probabilidad contraria q = 5/6

El razonamiento hecho en este ejemplo se puede repetir en todos los ejemplos semejantes y se generaliza en el llamado teorema de las pruebas repetidas o de la ley de distribución binomial que establece:

Si la probabilidad para que ocurra un acontecimiento es p, la probabilidad para que dicho acontecimiento ocurra m veces en n tentativas es:

EJEMPLO. En un bolillero hay 15 bolillas rojas y 10 bolillas azules. Si se hacen 9 extracciones sucesivas, reponiendo cada vez la bolilla que se extrae, ¿cuál es la probabilidad de que salga 6 veces una bolilla roja?

el número de extracciones es n = 9; el número de veces que debe repetirse la bolilla roja es m = 6; y n - m = 9 - 6 = 3, la probabilidad para que se verifique la condición exigida es:

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. ¿Cuál es la probabilidad para que al tirar 15 veces consecutivas una moneda salga 6 veces "ceca"?

2. En un bolillero hay 12 bolillas negras y 8 bolillas blancas. Se hacen 10 extracciones sucesivas volviendo a reponer cada vez la bolilla que se saca. Calcular la probabilidad para que en esas 10 extracciones salgan 7 bolillas blancas.

3. Se arroja un dado 18 veces consecutivas. Calcular la probabilidad para que en esas 18 tiradas salga cinco veces 6.

4. Se arrojan 2 dados simultáneamente 12 veces consecutivas. Calcular la probabilidad para que en esas 12 tiradas salga cuatro veces 8.

5. De un mazo de cartas francesas que tiene 52 cartas se sacan sucesivamente 9 cartas y cada una de ellas se vuelve a reponer en el mazo. Calcular la probabilidad para que 3 de esas 9 cartas sean "as".

6. La probabilidad para que un hombre de 50 años viva hasta los 70 es 0,75. ¿Cuál es la probabilidad para que entre 30 hombres de 50 años, 6 de ellos lleguen a cumplir 70 años?

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