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Introducción al cálculo de probabilidades. Definiciones. Probabilidades en los juegos de azar. Esperanza matemática.


 

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Esperanza matemática

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Si hay 1 000 números de una rifa y un único premio de $5 000 , y si vendidos todos los números el sorteo no dejara ni ganancias ni pérdidas, el valor de cada rifa deberia ser: 5000/1000

El precio de 4 rifas sería:

Pero 4 / 1000 es la probabilidad de que salgan esos 4 números de la rifa entre los 1 000 posibles y 5 000 es la cantidad que se puede ganar.

El producto de la probabilidad de ganar el premio con el número de rifas compradas por el valor de ese premio ($5 000 ) es lo que, en ese juego de la rifa., se llama esperanza matemática.

En general:

Si en un juego de azar se tiene una probabilidad p de ganar una suma x, se llama esperanza matemática al producto p . x

Como la esperanza matemática de obtener x se indica con E(x), resulta:

E(x) = p · x

Si en la rifa de 1000 números, en lugar de haber un solo premio hay:

1 premio de $5000
2 premios de $1 000
6 premios de $500

Como la probabilidad de sacar:

y la esperanza matemática total es la suma de las esperanzas matemáticas de cada premio, se tiene:

y por lo tanto, si no hubiera ni pérdida ni ganancia, cada número de la rifa debería costar $10. Efectivamente, es la suma del importe de todos los premios dividido por el número total de rifas.

Obsérvese que la esperanza matemática es el promedio o media aritmética, pues es la suma de los productos de las frecuencias por los respectivos premios, dividido por el número total de rifas.

En general, si en un juego de azar la probabilidad de ganar X1 es p1 ; la de ganar x2 es p2; .... ; la de ganar xn es pn; la esperanza matemática es:

E (x) = x1 p1 + x2 p2 + ... + xnpn

Este concepto se extiende no sólo a juegos de azar, donde X1 ; x2 ; … ; xn son ganancias, sino a números arbitrarios que tienen probabilidadesp1; p2; ... ; pn de salir.

Por ejemplo, al tirar 2 dados los valores que pueden darse son:

2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12

Teniendo en cuenta que el número de casos posibles es 36, las respectivas probabilidades para que se dé cada uno de ellos son:

Efectuando las operaciones:

E (x) = 7

Se observa que 7 es el número que tiene más probabilidades desalir, es decir, que la esperanza matemática coincide con el número más probable.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Al tirar 20 veces consecutivas un dado, calcular el número más probable de veces para que salga "as".

2. En un bolillero hay 15 bolillas numeradas de 1 a 15. Calcular el número más probable de veces que salga el nº 9 en 17 extracciones repetidas y tales que en cada extracción se repone la bolilla extraída.

3. ¿Cuál es el número más probable de obtener "rey" en 11 extracciones de un mazo de cartas españolas, que como se sabe tiene 40 cartas, si se repone cada vez Ja carta que se saca?

4. Si la probabilidad de recorrer la carretera desde la ciudad A hasta la ciudad B sin pinchar cubiertas es 0,78, al hacer 20 viajes de A a B, ¿cuál es el número más probable de viajes que se realizarán sin pinchaduras?

5. La probabilidad de obtener un premio literario de $ 200 000 es 3/1000; calcular la esperanza matemática para obtener el premio.

6. La probabilidad para que una persona viva hasta los 70 años es 2/3. Al cumplir esa edad cobrl1rá un seguro de $120 000. Calcular la esperanza matemática.

7. Un joven de 16 años cobrará una herencia de $ 500 000 al cumplir los 22 años. Según las tablas de mortalidad la probabilidad de que viva hasta los 22 años es 0,96. Calcular la esperanza matemática de cobrar la herencia.

 

 

 

 


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