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Simplificación de radicales. Extracción de factores fuera del radical.


 

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SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES.

Simplificar un radical es encontrar otro radical de igual valor, pero de menor índice.

Así, por ejemplo, una simplificación de 4√ 625 es 25, puesto que ambos radicales son iguales a 5, y el índice del segundo es menor que el del primero.

Para simplificar radicales, se aplica la propiedad que dice que un radical no altera si el índice y el exponente se dividen por un mIsmo número.

Así, en el ejemplo dado, teniendo en cuenta que 625 = 54, puede escribirse:

y dividiendo índice y exponente por 2, resulta:

Según se acaba de ver, resulta que: En general, para simplificar un radical, se dividen el índice y el exponente por un mismo número.

EJEMPL0 1º :

Simplificar

Como el índice 15 y el exponente 12 admiten el divisor 3, se puede simplificar así:

En este caso, es la única simplificación posible, pues, aparte de la unidad, 3 es el único divisor común de 15 y 12.

EJEMPLO 2º :

Se observa que los exponentes de todos los factores del radicando y el índice tienen el divisor común 2. Luego, aplicando las propiedades estudiadas, se puede escribir:

Es evidente que la mayor simplificación de un radical se obtiene dividiendo índice y exponente por su máximo común divisor. En este caso se dice que el radical se ha reducido a su más simple expresión.

REDUCCIÓN DE RADICALES A COMÚN ÍNDICE. Así como entre los números fraccionarios existe la reducción de los mismos a común denominador, entre los radicales existe la reducción a común índice; esta reducción es necesaria en ciertos casos para calcular el resultado de algunas operaciones con radicales.

Reducir dos o más radicales a común índice es encontrar otros tantos radicales tales que tengan todos el mismo índice y sean respectivamente iguales a los dados.

son los radicales dados reducidos a común índice.

En efecto, el índice de ambos es el mismo número 8, y además:

son reducciones de los radicales dados a común índice, pues tienen el mismo índice 4, y además:

Es inmediato que para efectuar la reducción a común índice se aplica la propiedad que dice: un radical no altera si se multiplican el índice y el exponente por un mismo número.

Se comprende que el índice común debe ser múltiplo de los índices dados y como dos o más números tienen infinitos múltiplos comunes, dados dos o más radicales pueden hacerse infinitas reducciones a común índice, pero de todas ellas interesa en particular la que hace corresponder menor índice.

Dicho índice se llama mínimo común índice de los radicales dados, y es el mínimo común múltiplo de los índices de esos radicales.

Luego:

Reducir dos o más radicales a mnimo común índice es encontrar otros tantos radicales respectivamente iguales a los dados que tengan por índice común, el mínimo común múltiplo de los índices dados.

EJEMPLO:

Sea reducir a mínimo común índice los siguientes radicales

El m. c. m. de los índices 6, 4 y 3, es 12. Luego, 12 es el mínimo común índice buscado.

Si se considera el primer radical:

Para pasar del índice 6 al índice 12, es necesario multiplicar 6 por (12 : 6) = 2. Luego el exponente debe multiplicarse también por 2, es decir:

En forma análoga se procede para los otros radicales. Es decir:

Como

El procedimiento seguido en este ejemplo es general y se enuncia en la siguiente:

REGLA. Para reducir radicales a mínimo común índice se forman otros tantos radicales que tengan por índice el mínimo común múltiplo de los índices de los radicales dados y cuyos exponentes se obtienen multiplicando los exponentes de los radicandos dados por el cociente de dividir el mínimo común índice por el índice del radical correspondiente.

OBSERVACIÓN. En la práctica, cuando se tienen que reducir radicales a común índice, se elige siempre la reducción a mínimo común índice, pues este procedimiento simplifica los cálculos.

EXTRACCIÓN DE FACTORES FUERA DEL RADICAL.

Sea, por ejemplo, el radical;

Aplicando la propiedad distributiva de la radicación con respecto a la multiplicación, puede escribirse:

Pero los tres primeros radicales del segundo miembro se pueden simplificar, dividiendo por 4 índice y exponente; se tiene así:

En el segundo miembro de esta última igualdad, los factores x, y, k figuran fuera del radical. Esta operación se llama extracción de factores fuera del radical, y se observa que los exponentes 1, 2 y -3 con que salen esos factores, son los cocientes de dividir sus respectivos exponentes 4, 8 y -12 por el índice 4.

Sea el radical:

En este caso, la simplificación no es evidente, porque el exponente 14 no es múltiplo del índice 3. Pero como 14 es mayor que 3, el radícando a 14 puede considerarse como producto de dos potencias de a, una de las cuales tiene por exponente el mayor múltiplo de 3 contenido en 14, que es 12, y la otra tiene por exponente el resto 2; es decir:

a14 = a12 . a2

Luego:

y aplicando en el segundo miembro la propiedad distributiva de la radicación con respecto a la multiplicación, se tiene:

donde se ha extraído el factor a, fuera del radical.

Se observa que el exponente 4 con que se saca el factor a, es el cociente entero de dividir el exponente 14 por el índice 3, y el exponente 2 con que queda dentro del radical, es el resto de esa división.

El razonamiento seguido en los dos ejemplos anteriores es general y dice que: los factores que figuran en el radicando con un exponente de valor absoluto igual o mayor que el índice, pueden extraerse fuera del radical. Cada uno de esos factores se escribe fuera del radical con un exponente igual al cociente entre el exponente con que figuraba en el radicando y el índice, y dentro del radical con un exponente igual al resto de esa división.

EJEMPLO 1º

Extraer todos los factores posibles fuera del siguiente radical

De los cuatro factores del radicando, los únicos que pueden extraerse fuera del radical son a y b, pues, los otros factores, 3 y c, tienen exponente menor que el índice 2. Luego,

siendo: 8: 2 = 4 y resto 0, el factor a sale fuera del radical con exponente 4 y no figura más dentro del mismo;

siendo: 7: 2 = 3 y resto 1; el factor b sale con exponente 3 fuera del radical y queda bajo el mismo con exponente 1, es decir:

EJEMPLO 2º:

Extraer todos los factores posibles fuera del siguiente radical:

Se observa que el número 8/27 es el cubo de 2/3 luego:

Los dos primeros factores pueden extraerse fuera del radical, aplicando la regla enunciada. Se obtiene así:

EJEMPLO 3º :

Extraer todos los factores posibles fuera del siguiente radical:

En este caso, es preciso factorear el coeficiente 504, para conocer las potencias de los números primos y de exponente mayor que 2 que en él figuran.

Luego, en el radical dado, los factores numéricos que pueden extraerse son 2 y 3, y los literales z y y. Por lo tanto, se puede escribir:

 

 

 

 


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