CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)

 


**

Introducción de factores dentro del radical. Multiplicación de radicales. División de radicales.


 

www.sapiensman.com


Curso de Matemáticas

 

 

 


  • ¿Qué buscas? :
Búsqueda personalizada
  • Technical English - Spanish Vocabulary :

( Case-sensitive / Sensible a mayúsculas)

  • Electrotecnia - Información Técnica :

 

INTRODUCCIÓN DE FACTORES DENTRO DEL RADICAL

Temas relacionados :

Dada la expresión: , se trata de introducir dentro del radical el factor x2 que figura fuera de él.

Si se escribe x2 debajo del radical de índice 3, se le extrae la raíz cúbica; luego, para que la expresión quede invariable, es necesario, al mismo tiempo elevar dicho factor al cubo. Es decir:

Se observa que el exponente 6 con que figura el factor x dentro del radical, es el producto del exponente 2 que tenía, por el índice 3.

Este razonamiento conduce, en general, al enunciado de la siguiente

REGLA: Para introducir un factor dentro de un radical, se escribe dicho factor con un exponente igual al producto del exponente que tenía fuera del radical por el índice de éste.

EJEMPLO:

Introducir dentro del siguiente radical todos los factores que figuran fuera de él.

De acuerdo con la regla enunciada, se tiene:

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES. Sea multiplicar los radicales:

y teniendo en cuenta en los dos últimos factores la propiedad recíproca de la distributiva de la radicación con respecto a la multiplicación, es:

Sustituyendo en [1];

Se observa que el producto de estos radicales de índice 3 es otro radical de índice 3, cuyo signo se determina de acuerdo con la regla de los signos de la multiplicación, cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes dados y cuyo radicando a2 x es el producto de los radcandos dados a y a x .

Pero puede ocurrir que los radicales que se deben multiplicar tengan índices diferentes.

EJEMPLO:

Este ejercicio se transforma en otro del mismo tipo que el anterior, reduciendo a mínimo común índice los radicales

El mínimo común índice es, en este caso: 2 X 3 = 6

Por lo tanto, aplicando la regla correspondiente:

Las observaciones hechas en estos ejemplos se generalizan en la siguiente

REGLA: El producto de dos o más radicales de igual índice es otro radical del mismo índice, cuyo signo resulta de aplicar la regla de los signos de la multiplicación; cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes dados y cuyo radicando es el producto de los radicandos.

Si los radicales factores tienen distinto índice, se reducen previamente a mínimo común índice, y se obtiene su producto de acuerdo con la regla anterior.

DIVISIÓN DE RADICALES. Siendo la división la operación inversa de la multiplicación, las consideraciones hechas para la multiplicación de radicales son análogas a las que corresponden en la división, y se resumen en la siguiente

REGLA: El cociente de dos radicales de igual índice es otro radical del mismo índice, cuyo signo resulta de aplicar la regla de los signos de la división; cuyo coeficiente es el cociente entre el coeficiente del dividendo y el del divisor y cuyo radicando es el cociente de los radicandos dados.

Si los radicales dados tienen distinto índice, se reducen previamente a mínimo común índice y luego se aplica la regla anterior.

EJEMPLO:

En este caso es necesario reducir previamente los radicaíes a mínimo común índice:

Siendo 12 el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es:

Luego:

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES. Dada una fracción en cuyo denominador figura un radical, racionalizar el denominador de dicha fracción es encontrar otra fracción igual a la dada, en cuyo denominador no figura ningún radical.

Así, por ejemplo, dadas las fracciones:

esta última proviene de racionalizar el denominador de la primera.

En efecto es así, pues en el denominador de

no figura ningún radical, y además las dos fracciones son iguales, es decir:

 

Para racionalizar denominadores pueden presentarse distintos asos, que son los que se consideran a continuación.

1º. CASO. El denominador es un radical único.

EJEMPLO 1º :

Sea racionalizar el denominador de:

Si el radicando del denominador fuese x5 en lugar de x2, podría simplificarse índice y exponente, quedando racionalizado el denominador.

Ahora bien , para pasar de x2 a x5 es necesario multiplicar por x3, y como x está bajo el signo radical de índice 5, el factor x3 debe quedar también bajo ese mismo radical, es decir, es necesario multiplicar por 5√x3 . Pero al multiplicar el denominador por 5√x3 , para que la fracción no altere, habrá que multiplicar también el numerador por 5√x3. Es decir:

Efectuando el producto de radicales indicado en el denominador se tiene:

y simplificando índice y exponente en el denominador del segundo miembro, resulta:

es la fracción dada con su denominador racionalizado.

Se observa que el factor 5√x3 por el que se multiplican el numerador y el denominador es un radical de índice igual al dado, y cuyo exponente 3 se obtiene restando del Índice 5, el exponente 2, del radicando.

EJEMPLO 2º:

Racionalizar el denominador de la fracción

Razonando como en el ejemplo anterior, para racionalizar el denominador hay que multiplicar por

Simplificando en el último denominador y efectuando operaciones, resulta:

EJEMPLO 3º.

Racionalizar el denominador de:

En este denominador los factores a y b pueden extraerse fuera del radical, es decir:

Razonando como en el ejercicio anterior, se observa que para racionalizar el denominador es necesario multiplicar por:

y

 

o sea, por

Luego:

simplificando en el último denominador y efectuando operaciones, resulta:

quedando así racionalizado el denominador de la fracción dada.

Las observaciones hechas en los ejemplos anteriores se generalizan en la siguiente

REGLA. Para racionalizar el denominador de una fracción, cuando es un radical único, se efectúa previamente la extracción de factores fuera del radical, siempre que esta operación sea posible, y luego se multiplica el numerador y el denominador por el radical de igual índice que el dado, en el que figuran todos los factores que han quedado bajo el signo radical con un exponente igual a la diferencia entre el índice y sus respectivos exponentes.

 

OBSERVACIÓN 1a ; Si na vez extraídos todos los factores posibles fuera del radical: queda en el denominador un radical de índice 2, de acuerdo con la regla anterior se deduce que para racionalizar basta multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por ese mismo radical.

EJEMPLO 1º

Sea racionalizar el denominador de la fracción:

Aplicando la regla, es necesario multiplicar numerador y denominador por

Luego:

EJEMPLO 2º :

Sea racionalizar el denominador de la fracción

Para racionalizar el denominador basta multiplicar el numerador y el denominador por √2.

Luego:

OBSERVACIÓN 2º: Cuando en el radicando del denominador figura un número compuesto, es necesario previamente factorearlo, es decir, descomponerlo en sus factores primos, para saber por qué factores hay que multiplicarlo para racionalizar.

EJEMPLO:

Sea racionalizar el denominador de la fracción:

como 12 = 22 X 3, se tiene que:

En consecuencia, hay que multiplicar numerador y denominador por

es decir:

Cuando el número que figura en el radicando es grande, el factoreo no puede hacerse mentalmente.

2º CASO. El denominador es un binomio con un término racional y el otro irracional cuadrático.

Un ejemplo de este caso es:

El radical del denominador podría simplificarse si √3 figurara elevado al cuadrado.

Se observa que el denominador es la suma de dos números: a y √3 y recordando que el producto de la suma de dos números por la diferencia de los mismos es igual a la diferencia de sus cuadrados, al multiplicar el numerador y el denominador por: a - √3 resulta:

y queda así racionalizado el denominador.

Si el binomio denominador es una diferencia, es evidente que se debe multiplicar el numerador y el denominador por la suma de esos números.

EJEMPLO:

Sea racionalizar el denominador de la fracción

En este caso se debe multiplicar numerador y denominador por

De acuerdo con estas consideraciones, se enuncia la siguiente

REGLA: Para racionalizar una fracción cuyo denominador es un binomio con un término racional y el otro irracional cuadrático, se multiplican numerador y denominador por la diferencia de los términos del denominador, si el binomio que en él figura es suma, o por la suma de esos números, si dicho binomio es diferencia.

 

 


 


 

Juega El Gordo Lotto
Ordena tu Ticket Ahora
 

Juega Powerball
Ordena tu Ticket Ahora

Juega California Super Lotto
Ordena tu Ticket Ahora

Juega Florida Lotto
Ordena tu Ticket Ahora
 

 



Si esta información te resulta útil, compártela :

 

 

INICIO : Curso de Matemáticas. Elementos Básicos. Álgebra. Geometría.

 


 

Volver arriba