CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)

 


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Análisis Combinatorio


 

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Permutaciones y combinaciones

1- Imaginemos un salón de juegos para niños con un conjunto de tabletas de madera de varios colores y formas sobre la mesa, las que cambiaremos de posición en forma longitudinal con el fin de comprender el concepto; si tómamos dos tabletas y las colocamos, unidas en línea recta, paralelamente al borde de la mesa. ¿De cuántas maneras podremos hacerlo?

Si se tratase de una tableta roja y otra verde claro, vamos a considerar que la disposición rojo-verde es diferente de la verde-rojo. Efectivamente, difieren en la posición de cada una de las tabletas respecto a la otra.

Tomemos ahora una tercera tableta; por ejemplo, la blanca. ¿De cuántas maneras podemos unir en línea recta estas tres tabletas?

Habiendo hallado el resultado, tomemos otras tres tabletas, y averigüemos, una vez más, de cuántas maneras se pueden disponerlas al lado de la mesa, unidas en línea recta. ¿Obtenemos el mismo número anterior, u otro diferente? ¿Influyen en el resultado las formas o los colores de las tabletas?

Cada una de estas disposiciones de tabletas se llama una permutación. Hallemos el número de permutaciones de

  • dos tabletas diferentes
  • tres tabletas diferentes
  • cuatro tabletas diferentes

haciendo todas las permutaciones de las tabletas escogidas y conservándo las hechas hasta haberlas hallado todas.

Observemos, si hemos repetido alguna, y la eliminamos. Veamos también si aún es posible alguna que no hayamos hecho. Comparemos el número de permutaciones de un grupo con el del grupo anterior, de una tableta menos.

2- Coloquemos una tableta roja frente a nosotros. Para unirla a ella en línea recta, ¿en cuántos extremos podemos ponerle otra tableta; por ejemplo, blanca? Hagamos las dos permutaciones halladas de esta manera.

¿En cuántos sitios de cada una de las tabletas anteriores podemos poner una tercera tableta? ¿Son diferentes todas las disposiciones resultantes? ¿Por qué? Habiendo hallado todas las permutaciones posibles de estas tres tabletas, ¿en cuántos sitios de cada permutación podemos colocar una cuarta tableta?

¿Podríamos demostrar que todas las anteriores permutaciones son diferentes?

Vamos a representar por P2, P3 y P4 los números de permutaciones de dos, tres y cuatro tabletas, respectivamente.

¿Es cierto que P3 = 3P2 y que P4 = 4P3 ?

¿Qué es P2 comparado con P1? ¿Qué es P4 , comparado con P2 y, luego, con P1?

3- Después de hallar P3 y P4 por el método del número 2, ¿podemos hallar P5, P6 y P7 sin utilizar las tabletas?

4- Vemos que, conociendo el valor de P10 podemos calcular P11 multiplicando P10 por 11. Si no estamos seguros de esto, podemos armar una de las disposiciones de diez tabletas diferentes y luego utilizamos un objeto de referencia, como por ejemplo un lápiz para representar la tableta número 11. ¿De cuántas maneras diferentes podremos situar el lápiz entre las tabletas?

Así veremos que con cada disposición de P10 podemos formar otras once, compuestas por once longitudes ( de tabletas alineadas ) y, por consiguiente, el número total de éstas será P11 = 11 X P10.

Sustituyendo P10 por 10 X P9, P9 por 9 X P8, y así sucesivamente hasta llegar a P1 que es igual a 1, veremos que

P11 = 1 X 2 X 3 X 4 X ...X 10 X 11.

Calculando

P1, P2, P3, .... P9, P10, P11 y P12

El número de permutaciones posibles con cualquier número de tabletas se puede expresar así:

Pk =1 x 2 x 3 x ... x k.

Este producto, que se representa por el símbolo k!, se llama factorial de k.

5- Para tener una idea más clara de lo que acabamos de ver, consideremos diez niños en fila junto a una pared. ¿De cuántas maneras diferentes podremos colocarlos?

O también, si hay doce personas sentadas alrededor de una mesa, ¿de cuántas maneras diferentes pueden situarse?

Para añadir un ejercicio que nos ayude a comprender la magnitud de las factoriales, así como a ver la utilidad de las permutaciones, imaginemos que, para pasar de una permutación a otra, tardamos un segundo. ¿Cuánto tardarían las doce personas que están alrededor de la mesa en ocupar todas las posiciones posibles? Tenemos que dividir P12 por 86.400 para hallar el número de días, o por 86.400 X 365 para hallar el número de años. Conviene simplificar dividiendo ambos términos de la división por los factores comunes. El resultado es de 56 X 99 días, es decir, más de 15 años.

6- Basándonos en las permutaciones de tres tabletas diferentes, podemos hacer algunas observaciones interesantes.

Hagamos la tabla de permutaciones de tres tabletas. Es decir, haciendo realmente uso de las tabletas, formemos la serie de seis permutaciones diferentes. Separemos una cualquiera de ellas, a la que llamaremos permutación numero 1. Llamando transposición al acto de intercambiar dos tabletas, ¿qué le ocurre a la número 1, si la sometemos a 1, 3, 5, 7, ... transposiciones?

¿y si la sometemos a 2, 4, 6, 8, ... transposiciones? ¿Podremos decir después de cuántas transposiciones diferentes volveremos a obtener la permutación número 1? Las seis permutaciones se subdividen, por consiguiente, en dos series de tres permutaciones: una, que procede de un número impar de transposiciones a partir de la número 1, y otra, de un número par de transposiciones. ¿Podremos decir cuáles son las transposiciones que no hacen cambiar de serie y cuáles las que hacen pasar de una serie a otra?

Comencemos nuevamente con la permutación número 1. ¿Qué tenémos que hacer para, partiendo de ella, obtenerla nuevamente después de una serie de transposiciones? Si llamamos b, r, v a las tres tabletas de una permutación, por este orden, y actuamos mediantes cambios simultáneos de manera que b pase a ocupar el primitivo lugar de r, r el de v y v el de b, operación que llamaremos transformación cíclica, obtenemos la permutación rvb,o repitiendo esta operación, obtendremos vbr y, haciéndola una vez más, volveremos a la brv. Partiendo ahora de cada una de las restantes permutaciones, para realizar las mismas operaciones, veremos que se reproducen las dos series de tres permutaciones sin pasar jamás de la una a la otra.

7. Hagamos ahora la tabla de permutaciones de cuatro tabletas diferentes, y estudiemos las transposiciones. Comencemos por una permutación cualquiera, que llamaremos número 1. ¿Qué ocurre si

(1) se hace un número par de transposiciones?

(2) se hace un número impar de transposiciones?

(3) sólo se hacen permutaciones cíclicas?

8. En lugar de hacer tablas completas de permutaciones de un número determinado de tabletas, podríamos formar una sola permutación y, mediante transposiciones sistemáticas, hallar todas las demás permutaciones posibles con dicho número de tabletas. Hacerlo con b, r y v.

Anotemos en dos líneas las permutaciones inicial y final escribiendo superpuestos los símbolos de las tabletas transpuestas. Por ejemplo,

esta expresión encerrada entre dos llaves nos dice que han sido transpuestas b y r, mientras que v sigue sin cambiar.
esta otra expresión nos dice que hemos transpuesto primeramente b y r, y luego, r y v.

Aplicaremos la palabra sustitución al acto de pasar de una línea a la siguiente o, lo que es igual, de transformar una permutación en otra. Si consideramos dos de estas transformaciones seguidas, comenzando por brv,

la segunda nos dice que sólo hemos transpuesto b con v, de modo que el resultado de las dos transformaciones viene dado por

es decir, que la transposición de b y r podría haber sido obtenida pasando por las transposiciones intermedias de b con r, r con v, v con b y, por último, b con r. Si escribimos

y llamamos al resultado producto de las dos sustituciones, vemos que el resultado de dos sustituciones seguidas es otra sustitución formada utilizando la primera y la última y desechando el término medio, común a ambas, tal como hicimos para el caso 2/7 X 7/5 = 2/5. Observemos que el cambio del orden de las sustituciones que figuran en el primer término de la anterior igualdad no da el mismo producto.

Efectivamente,

Esta expresión puede ser interpretada así: la primera sustitución ha mantenido invariable la situación de r, transponiendo v con b. La segunda, es una transformación cíclica haciendo que pase r a la posición de b, v a la de r y b a la de v. La sustitución final se obtiene combinando las dos primeras, de la manera siguiente: r corresponde a r en la primera sustitución y a v en la segunda, por lo que, en el resultado, r ha sido cambiada por v. Veamos ahora qué ocurre con v. En la primera sustitución aparece cambiada por b que, a su vez, ha sido sustituida por r en la segunda; por ello, v se sustituye en el resultado por r. Por último, como b se cambió primeramente por v, y ésta, a su vez, por b, b corresponde a sí misma. Como podemos ver, todas estas correspondencias aparecen en la última sustitución.

Como con cuatro tabletas hay la posibilidad de hacer un número mayor de permutaciones, podríamos hallarlas repitiendo las operaciones anteriores a partir de la permutación brvR haciendo las transposiciones consideradas y escribiendo las permutaciones inicial y final como una sustitución dentro de dos llaves, tal como hicimos anteriormente.

9. Los puntos importantes aprendidos en el estudio, que acabamos de hacer son:

(a) que las sustituciones se pueden combinar dando otras sustituciones;

(b) que el producto de dos sustituciones no es conmutativo;

(c) que el álgebra de las permutaciones es otro ejemplo que afirma que el Algebra se refiere más a lo que hacemos que a los resultados que obtenemos. Las sustituciones y las transposiciones son acciones, y hemos descubierto que estas acciones siguen unas determinadas reglas. Luego hemos dicho que podrían ser aplicadas con igual propiedad a las permutaciones de cuatro elementos. Ahora, podríamos preguntar: ¿es posible aplicarlas a un número cualquiera de elementos? La respuesta es afirmativa, pero tenemos que dejarla para más adelante.

10. Si tenemos siete tabletas distintas, podríamos preguntarnos: ¿de cuántas maneras podríamos escoger dos, tres o cinco de ellas?

Empecemos con dos tabletas diferentes: b y r. Podríamos escoger la b, la r o, también, la b y la r juntas. Por consiguiente, cuando se trata de dos elementos, tenemos dos opciones de un elemento y una de dos.

Si tuviésemos tres tabletas diferentes, b, r y v, podríamos escoger la tableta b, la r o la v, aisladamente; pero, también, la b y la r, la b y la v, la r y la v y, por último, las tres juntas, es decir, la b, la r y la v. Llamemos combinaciones a estos grupos formados tomando diferentes tabletas de un grupo total dado. Según hemos visto, podemos formar tres combinaciones cuando se nos da dos elementos; y siete combinaciones, cuando disponemos de tres elementos. Pero como estas combinaciones contienen diferentes números de elementos, necesitaremos emplear unos signos notacionales que contengan dos números: uno, que nos indicará el total de elementos dados y, otro, el número de elementos escogidos.

La notación que utilizaremos en esta página será

para expresar que disponemos de 3 o de 12 elementos y hallamos el número de combinaciones posibles con dos o con siete de los elementos disponibles. Antes hemos calculado que:

Hallemos con las tabletas los valores de:

11. Un número cualquiera de tabletas se puede subdividir en dos números complementarios

4= 3 + 1 = 2 + 2    5 = 3 + 2 = 4 + 1

Por consiguiente, si comenzamos con cinco tabletas y formamos con ellas todas las parejas posibles, hallamos que a cada pareja corresponde una triada y viceversa, de modo que hay tantas combinaciones de dos como de tres elementos, es decir,

 

¿Está esto de acuerdo con lo que hemos hallado anteriormente? Si tuviéramos siete elementos, los números complementarios son 1 y 6, 2 y 5 y 3 y 4. Entonces, tenemos:

Hagamos la comprobación, hallando los números correspondientes a todas estas expresiones.

Si tuviésemos diez tabletas diferentes y nos preguntasen cuáles son las igualdades de los números de combinaciones posibles con las tabletas que hemos seleccionado y con las sobrantes, ¿qué contestaríamos? Escribámoslo.

12- En el número 10, hemos hallado algunos de estos números contando prácticamente. La conclusión a que hemos llegado en el número 11 nos dice que sólo necesitamos contar la mitad de los números, porque los de combinaciones de dos complementarios son iguales.

Claro está que, si queremos hallar el número de combinaciones de tres tabletas tomadas de un grupo de siete, necesitaremos conocer el de combinaciones de siete tabletas tomadas de dos en dos porque, si escogemos tres tabletas de las siete dadas, estas tres proceden de la adición de una tercera tableta a las distintas parejas posibles. Por consiguiente, habrá tantas opciones de tres como se puedan formar adicionando a cada posible pareja otra de las cinco tabletas restantes, aunque debemos tener en cuenta que, de esta manera, es posible tomar más de una vez la misma combinación. Para simplificar los cálculos, volvamos a los grupos de 3, 4, 5, y 6 tabletas, antes de considerar los de 7.

 

Como ya sabemos, para los de tres tenemos:

Para los de cuatro,

porque para cada opción de un elemento hay tres posibles opciones de los otros tantos elementos restantes, con lo que cada pareja se tomaría dos veces. Por tanto,

Para los de cinco,

porque por cada elección posible de un elemento son posibles cuatro de cada una de los elementos restantes, y cada pareja se tomaría dos veces. Por consiguiente,

Para los de seis,

porque, como anteriormente, se toma dos veces cada pareja y hay la posibilidad de otras cinco opciones al tomar otra tableta para formar una pareja. Por tanto,

se calcula así:

como tenemos parejas y por cada una quedan cuatro tabletas con las que podemos hacer otras tantas elecciones de una, el número de triadas será diferente; cada triada se tomará tres veces, porque tenemos una triada roja-verde-negra que puede proceder de la adición de una cualquiera de las tres tabletas que la forman a la pareja restante, pudiendo ser la tableta roja a la pareja verde-negra; la verde, a la roja- negra o la negra a la verde-roja. Por tanto, tenemos que dividir por 3 el número de combinaciones.

Pongamos todos estos números en una tabla:

Esta tabla, llamada triángulo de Pascal, presenta curiosas características. En las sucesivas columnas que la forman, intentemos hallar alguna relación entre un número y el que le precede o el que le sigue.

Para ello, escribamos de la manera siguiente las series sucesivas:

y, al obtener el primer número que falta, veamos si coincide con el que se halla en la última línea del triángulo. Ya sabemos por qué son iguales algunos números del triángulo.

¿Es cierto que cada número del triángulo es igual al que tiene encima más el de la izquierda de éste? Para que esto sea así, necesitamos introducir a la izquierda una columna de unos y suponer que un espacio vacío sobre un número está ocupado por un cero.

Teniendo en cuenta esta observación, podemos escribir de nuevo el triángulo de Pascal y ampliarlo hasta cualquier línea deseada. Podemos hacerlo hasta la decimotercera líneas inclusive. Las observaciones anteriores se expresan de la manera siguiente:

donde p es el número de la columna y m el de la línea.

13- Ya sabemos que :

Por consiguiente,

Observando los números del triángulo de Pascal, vemos que cualquiera de ellos puede ser obtenido a partir del que le precede en la misma fila, mediante una multiplicación o una división; por ejemplo,

es decir,

porque siendo :

tenemos:

De manera análoga podemos hallar, los valores correspondientes a varias líneas más del triángulo, en forma de fracciones de productos.

Observemos que los denominadores son siempre iguales a las factoriales del primer subíndice, y que todos los numeradores comienzan con el segúndo subíndice y contienen tantos factores como unidades hay en el primer subíndice:

uno, para dos, para ... ; cinco, para etc.

Por tanto, podemos decir que el denominador de

El numerador contiene el producto de m por los números consecutivos menores que m, debiendo detenernos cuando hayamos tomado p de ellos:

porque m - 3 + 1 = m - 2; m - 4 + 1 = m - 3 son los últimos factores en la tercera y en la cuarta líneas.

Así podemos decir que:

Podremos comprobar esta fórmula en los números de nuestros triángulos. Observando que, en todos los casos, esta fracción es un número entero, lo que nos dice que el producto de p números consecutivos es siempre divisible por factorial p.

14- La siguiente tabla será de utilidad para dar idea del crecimiento de las factoriales:

Comparando las factoriales y las potencias de un número dado. ¿Para qué valor de n será su factorial mayor que 2n, 3n, 4n ... 10n? Por ejemplo, para n=4, n! = 24, mientras que 24 = 16 y 34 = 81. Para n = 20, n! ¿será mayor o será menor que 10n?

15- Veamos una aplicación de las combinaciones, como ejemplo, vamos a averiguar cuántos equipos de 4 jugadores es posible formar con los 20 miembros de un club de bridge. Este problema se resuelve mediante la aplicación directa de la fórmula dada en el número 13, sabiendo que p = 4 y m = 20.

de manera que los miembros del club podrían jugar 4.845 partidas diferentes antes de volver a reunirse las mismas cuatro personas.

 

 

 

 

 

 


 


 

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