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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA


 

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

Para que una ecuación con una incógnita sea de segundo grado o cuadrática, es necesario que esa incógnita figure a la segunda potencia en alguno de sus términos y que no haya otra potencia mayor que dicha incógnita.

Así, por ejemplo, son ecuaciones de segundo grado con una incógnita:

Como en estas ecuaciones, por lo menos en un término, debe figurar el segundo grado de la incógnita, y es el más alto grado de la misma en esa ecuación, cabe también que haya un término en que figure el primer grado de la incógnita, y un término de grado cero que se llama término independiente.

Así, por ejemplo, en la ecuación:

5x2+4x + 9 = 0

5x2 es el término de segundo grado; 4x es el término de primer grado y 9 es el término independiente.

Cuando efectuadas las operaciones indicadas en la ecuación y reducidos los términos semejantes figuran el término de segundo grado, el de primer grado y el independiente la ecuación se dice completa. Cuando falta el término independiente o el de primer grado, la ecuación se dice incompleta.

Es evidente que el término en x2 no puede faltar, pues, entonces, la ecuación no seria de segundo grado.

En la ecuación de segundo grado completa o incompleta se acostumbra a escribir ordenadamente el término de segundo grado y sumados a él, si los hay, el de primer grado y el término independiente igualando a cero dicha suma. Así se ha procedido en el último ejemplo.

Resolver una ecuación es encontrar los valores de la incógnita que la satisfacen. Esos valores se llaman raíces de la ecuación.

Así, los números 2 y 3 son las raíces de la ecuación:

x2 -5x + 6 = 0

pues reemplazando x por el valor 2 o por el valor 3, se verifica la igualdad que expresa la ecuación. En efecto:

Reemplazando x por 2, en el primer miembro, resulta:

22 - 5 X 2 + 6 = 0

Esta expresión es evidentemente igual a 0. En efecto:

4 - 10 +6 = 0

Reemplazando x por 3, en el primer miembro, resulta:

32 - 5 X 3 + 6 = 0

Esta expresión es igual a 0. En efecto:

9 - 15 +6= 0

Por lo tanto 2 y 3 son raíces de la ecuación.

A continuación se considera la resolución de los distintos tipos de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Ecuaciones incompletas de segundo grado.

PRIMER CASO. FALTA EL TÉRMINO DE PRIMER GRADO.

 

Sea, por ejemplo, resolver la ecuación

3x2 - 48 = 0

En este caso, la resolución se efectúa directamente por trasposición de términos. En efecto: para despejar x se traspone el término -48 que pasa al segundo miembro con el signo más y se tiene: 3x2= 48

Pasando el factor 3 al segundo miembro:

x2= 48/3

Simplificando:

x2 = 16

De donde:

Luego:

x = ±4

Es decir, que esta ecuación tiene dos raíces que son: +4 y -4.

Se acostumbra a designar estas raíces por X1 y X2 respectivamente.

Por lo tanto, en este ejemplo:

X1 = +4

y

X2 = -4

Sea, por ejemplo, resolver la ecuación:

5x2 + 4x = 0

En este caso se saca el factor común x; es decir:

x (5x + 4) = 0

Como el primer miembro es el producto de dos factores: el factor x y el factor (5 x + 4), para que el producto de los mismos sea 0, como impone la ecuación, debe ser necesariamente cero por lo menos uno de los factores. Es decir, debe verificarse una de las dos condiciones siguientes:

x = 0          [1]

o bien:

5x +4 = 0   [2]

La relación [1] expresa que x = 0 satisface la ecuación; luego una de las raíces es 0, es decir:

X1 = 0

De [2], despejando x, se tiene:

5x = -4

Luego, la otra raíz de la ecuación es:

El procedimiento seguido en este ejemplo es general para todas las ecuaciones de este tipo.

Ecuación completa de segundo grado. La ecuación completa de segundo grado es:

ax2+ bx + c = 0

donde a es el coeficiente del término de 2º grado; b el coeficiente del término de primer grado y c el término independiente.

Para hallar la expresión de sus raíces se procede así:

Se pasa el término independiente al segundo miembro y se tiene:

ax2+ bx = -c

Si se multiplican ambos miembros por 4 a, resulta:

4a2x2+ 4abx= -4ac   [1]

Por otra parte si se desarrolla (2 ax + b )2, se tiene:

(2ax+ b)2= 4a2x2+ 4axb+ b2

Se observa que basta agregar b2 al primer miembro de [1] para que resulte este trinomio cuadrado perfecto.

Luego, para que la igualdad [1] no altere se le suma b2 a ambos miembros y se tiene:

4a2x2+ 4abx+ b2= -4ac+ b2

Reemplazando el primer miembro por su igual (2 ax + b)2, se tiene:

(2ax+b)2= b2 -4ac

o sea :

que da la resolución de la ecuación completa general de 2º grado mediante raíces, y donde las dos raíces se obtienen adoptando, respectivamente, el signo +o el signo - que afecta el radical, es decir:

Teniendo en cuenta que a es el coeficiente del término de segundo grado, b el coeficiente de primer grado y c el término independiente, se puede enunciar la siguiente

REGLA: Las raíces de una ecuación completa general están dadas por una fracción cuyo numerador es el coeficiente del término de primer grado cambiado de signo, más o menos la raíz cuadrada del cuadrado de ese mismo coeficiente menos el cuádruplo del producto del coeficiente del término de segundo grado por el término independiente y cuyo denominador es el duplo del coeficiente del término de segundo grado.

 

Si el radicando: b2 -4ac es positivo las dos raíces son reales y distintas.

Si b2 -4ac es igual a cero, la expresión de las raíces se reduce a:

Si b2 -4ac es negativo las raíces son números complejos conjugados.

EJEMPLO 1º:

Resolver la ecuación:

3x2+ 7x + 2 = 0

Teniendo en cuenta que, en este ejemplo, b = 7, c = 2 y, a = 3 , aplicando la expresión que da el valor de las raíces, se tiene:

efectuando operaciones:

EJEMPLO 2º :

Resolver la ecuación:

9X2 - 12x + 4 = 0

Aplicando la expresión de las raíces se tiene:

es decir las dos raíces son iguales.

EJEMPLO 3º :

Resolver la ecuación:

En este caso se efectúan las operaciones indicadas para llegar a la ecuación; es decir:

Pasando denominadores:

Efectuando operaciones:

multiplicando por (-1), para que el término de segundo grado resulte positivo:

Luego, aplicando la fórmula para extraer las raíces, resulta:

Las dos raíces son números complejos conjugados.

Ver : Adición, sustracción, multiplicación y división en el conjunto de los números complejos

En el caso particular en que a es igual a 1, la ecuación toma la forma:

x2+ bx + c = 0

que se llama ecuación completa reducida y la expresión de sus raíces resulta de la ecuación general reemplazando a por 1, es decir:

pero en verdad no es necesario tener presente esta expresión particular; basta recordar la expresión de las raíces de la ecuación completa general y para el caso particular de la ecuación reducida reemplazar a por 1.

EJEMPLO:

Resolver la ecuación:

x2 +3x +2 = 0

En la expresión de las raíces de la ecuación completa general:

para este caso particular: a = 1 ; b= 3 ; c = 2; luego, resulta:

Siguiente : Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado. >>

 

 


 


 

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