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Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado.

 


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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado.

Resolver la ecuación:

3x2+ 7x + 2 = 0

Teniendo en cuenta que, en este ejemplo, b = 7, c = 2 y, a = 3 , aplicando la expresión que da el valor de las raíces, se tiene:

efectuando operaciones:

y se obtuvieron las raíces:

Se observa que:

1º La suma de las raíces:

es igual al coeficiente 7 de x cambiado de signo, dividido por el coeficiente 3 del término de 2º grado.

2º El producto de las raíces:

es igual al término independiente 2, dividido por el coeficiente 3 del término de 2º grado.

Estas observaciones son generales y se demuestran en los siguiente teoremas:

PRIMER TEOREMA. La suma de las raíces de una ecuación completa general de segundo grado es igual al coeficiente del término de primer grado cambiado de signo, dividido por el coeficiente del término de segundo grado.

 

H) ax2 + bx + c = 0, ecuación completa general de raíces x1, y x2

Demostración. Se sabe que:

SEGUNDO TEOREMA. El producto de las raíces de una ecuación completa general de segundo grado es igual al término independiente dividido por el coeficiente del término de segundo grado.

H) ax2 + bx + c = 0, ecuación completa general de raíces x1, y x2

Demostración. Se sabe que:

En el numerador figura el producto de la suma por la diferencia de dos números, que es igual a la diferencia entre el cuadrado del primero (-b)2 y el cuadrado del segundo Luego reemplazando:

OBSERVACIÓN.

 

Estas propiedades de la suma y del producto de las raíces permiten reconstruir la ecuación cuando se conocen dichas raíces. Así:

La ecuación:

ax2 + bx + c = 0

se puede escribir en la forma siguiente dividiendo ambos miembros por a.

Si las raíces de la ecuación son:

se tiene:

Se puede verificar el resultado resolviendo esta ecuación y llegando a que sus raíces son efectivamente estos números 2 y 3/4

EJEMPLO 1º:

Si las raíces de la ecuación son:

por otra parte:

EJEMPLO 2º :

Si las raíces de la ecuación son:

x2 -2x +5=0

que tiene por raíces los números complejos conjugados

1 + 2i  y  1 - 2i

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1º Resolver las siguientes ecuaciones del tipo; ax2 +c = 0.

2º Resolver las siguientes ecuaciones del tipo: ax2 + bx= 0.

3º Resolver las siguientes ecuaciones completas de 2º grado.

4º Reconstruir las ecuaciones que tienen por raíces:

>> Ver : Resolución gráfica de una ecuación de segundo grado. Problemas que se resuelven mediante ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

 


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