ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado.

• Ver Introducción previa

Resolver la ecuación:

3x²+ 7x + 2 = 0

Teniendo en cuenta que, en este ejemplo, b = 7, c = 2 y, a = 3 , aplicando la expresión que da el valor de las raíces, se tiene:

efectuando operaciones:

y se obtuvieron las raíces:

Se observa que:

1º La suma de las raíces:

es igual al coeficiente 7 de x cambiado de signo, dividido por el coeficiente 3 del término de 2º grado.

2º El producto de las raíces:

es igual al término independiente 2, dividido por el coeficiente 3 del término de 2º grado.

Estas observaciones son generales y se demuestran en los siguiente teoremas:

H) ax² + bx + c = 0, ecuación completa general de raíces x₁, y x₂

Demostración. Se sabe que:

H) ax² + bx + c = 0, ecuación completa general de raíces x₁, y x₂

Demostración. Se sabe que:

En el numerador figura el producto de la suma por la diferencia de dos números, que es igual a la diferencia entre el cuadrado del primero (-b)² y el cuadrado del segundo Luego reemplazando:

OBSERVACIÓN.

Estas propiedades de la suma y del producto de las raíces permiten reconstruir la ecuación cuando se conocen dichas raíces. Así:

La ecuación:

ax² + bx + c = 0

se puede escribir en la forma siguiente dividiendo ambos miembros por a.

Si las raíces de la ecuación son:

se tiene:

Se puede verificar el resultado resolviendo esta ecuación y llegando a que sus raíces son efectivamente estos números 2 y 3/4

EJEMPLO 1º:

Si las raíces de la ecuación son:

por otra parte:

EJEMPLO 2º :

Si las raíces de la ecuación son:

x² -2x +5=0

que tiene por raíces los números complejos conjugados

1 + 2i  y  1 - 2i

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1º Resolver las siguientes ecuaciones del tipo; ax² +c = 0.

2º Resolver las siguientes ecuaciones del tipo: ax² + bx= 0.

3º Resolver las siguientes ecuaciones completas de 2º grado.

4º Reconstruir las ecuaciones que tienen por raíces:

>> Ver : Resolución gráfica de una ecuación de segundo grado. Problemas que se resuelven mediante ecuaciones de segundo grado con una incógnita.