RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.
Ver :
La función racional entera de segundo grado igualada a cero, es:
y = ax2+ bx+ c = 0
que es una ecuación de segundo grado.
El gráfico que corresponde a una función de 2º grado es una parábola, los puntos en que la parábola corta al eje de las x, son los que corresponden a y igual a cero y por lo tanto tienen por abscisa los valores de x que anulan la función, es decir, son las raíces de la ecuación que resulta al igualar a cero la función. |
Recordando las gráficas de las distintas funciones cuadráticas, resulta que hay parábolas que cortan al eje de abscisas en dos puntos; parábolas tangentes al eje de las x y otras que no tienen ningún punto común con el eje de abscisas.
- Cuando la parábola corta al eje de las x en dos puntos, la ecuación tiene dos raíces reales que son las abscisas de esos dos puntos.
- Cuando la parábola es tangente al eje de las x, significa que las dos raíces de la ecuación que resulta al igualar a cero la función, se confunden en una sola, o sea que dicha ecuación tiene una raíz doble, que es la abscisa del punto de tangencia.
- Cuando la parábola no corta al eje de las x, significa que la ecuación que resulta al igualar a cero la función no tiene raíces reales, y por lo tanto las dos raíces de la ecuación deben ser números complejos conjugados.
Por lo tanto para resolver gráficamente una ecuación de segundo grado, es preciso representar la parábola de la función correspondiente.
EJEMPLO 1º :
Resolver gráficamente la ecuación:
x2 - x - 6 = 0
Se representa la función:
y = x2 - x - 6
Como la parábola corta al eje de las x, en los puntos A y B de abscisas x = 3 y x =-2, las raíces de la ecuación son x1 = 3 y x2 =-2.
En efecto si se resuelve analíticamente la ecuación se obtienen las mismas raíces.
EJEMPLO 2º :
Resolver gráficamente la ecuación:
x2 - 2x + 1 = 0
Se representa la función:
y= x2 - 2x + 1
Como la parábola es tangente al eje de abscisas en el punto x = 1, la ecuación tiene las dos raíces iguales, es decir la raíz doble X1 =X2 = 1.
EJEMPLO 3º :
Resolver gráficamente la ecuación:
2x2 - 4x + 3 = 0
Se representa la función:
y = 2x2 - 4x + 3
Como la parábola no corta al eje de abscisas, la ecuación tiene raíces que son números complejos conjugados.
Efectivamente: si se resuelve analíticamente la ecuación se obtienen las raíces
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Resolver gráficamente las siguientes ecuaciones de 2º grado:
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN MEDIANTE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA.
Se estudian a continuación algunos de los tipos más comunes de estos problemas.
1. DADA LA SUMA Y EL PRODUCTO DE DOS NÚMEROS, CALCULAR DICHOS NÚMEROS.
EJEMPLO:
La suma de dos numeros es -3/2 y el producto es -1. ¿Cuales son los números?
Representando los números buscados por x1 y x2 , de acuerdo con los datos del problema, debe verificarse que:
Considerando x1 y x2 como raíces de una ecuación de segundo grado de la forma general y recordando, a qué es igual la suma y el producto de la raíces, se tiene:
Se reconstruye entonces la ecuación que resulta ser:
Multiplicando por 2, se transforma en la ecuación de coeficientes enteros:
2x2 + 3x - 2 = 0
Las raíces de esta ecuación son los números buscados:
Resolviendo dicha ecuación:
Es decir que los números buscados son
En efecto, cumplen las condiciones exigidas, pues:
2º CALCULAR NÚMEROS QUE CUMPLEN CIERTAS CONDICIONES DISTINTAS A LAS IMPUESTAS EN EL CASO ANTERIOR.
EJEMPLO 1º:
El producto de dos números naturales consecutivos disminuido en 42 es igual a 68. ¿Cuáles son los números?
Sí a uno de los números se lo representa por x, se comprende que el consecutivo es x +1. Luego, según las condiciones impuestas en el problema, debe verificarse:
x (x + 1) - 42 = 68
Efectuando operaciones:
x2 + x - 42 = 68
Pasando 68 al primer miembro:
x2 + x - 42 - 68 = 0
o sea:
x2 + x - 110= 0
Resolviendo esta ecuación:
Como el problema pide que los números sean naturales, únicamente la primera raíz, 10, es solución del problema, debiendo descartarse la segunda por ser negativa.
Luego, si uno de los números pedidos es x = 10, el otro, que es el consecutivo, es:
x + 1 = 10 + 1= 11
EJEMPLO 2º :
¿Cuál es el mayor de los números que cumplen la condición de que el duplo de su cuadrado, menos 20, es igual al triplo del número?
Indicando con x el número. las condiciones del problema se expresan en la relación:
2x2 -20 = 3 x
o sea:
2x2 -20 - 3 x = 0
ordenando:
2x2 - 3 x -20 = 0
Resolviendo esta ecuación:
Como 4 es mayor que -5/2 de estas dos raíces, la primera es la solución del problema.
3º APLICACIONES A LA GEOMETRÍA.
a) Dada la longitud de un segmento, calcular la longitud de cada uno de los dos segmentos que quedan determinados al dividir el primero en media y extrema razón.
Luego, reemplazando en [1]:
y como en toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos, se tiene:
x x =12cm(12cm - x)
Efectuando las operaciones:
x2 = 144cm2 + 12cm x
Pasando todos los términos del segundo miembro al primero:
x2 -144 cm2 + 12 cm x = 0
o sea, ordenando:
x2+ 12 cm x -144 cm2 = 0
Resolviendo esta ecuación de segundo grado, se tiene:
De estas dos raíces solamente es solución la primera, pues no tiene sentido hablar de una longitud negativa.
Luego:
b) Conocida la superficie y el perímetro de un rectángulo, calcular la base y la altura.
Designando con x1 la base del rectángulo y con x2 la altura del mismo, conocer la superficie del rectángulo equivale a conocer el producto x1 x2, y conocer el perímetro significa conocer el duplo de la suma (x1 + x2), en consecuencia, la suma (x1 + x2). Pero, conocidos el producto y la suma de dos números, pueden calcularse estos números, según ya se ha visto.
EJEMPLO:
Calcular las dimensiones de un rectángulo tal que su superficie es de 3 m2 y y su perímetro de 7 m.
Llamando, como se ha dicho, x1 y x2 los lados, se tiene:
Prescindiendo de la denominación metros y recordando que:
y que:
se puede plantear la ecuación:
X2 - 3,5x + 3= 0
Resolviendo:
Como los datos están expresados en metros, resulta que los lados del rectángulo son de 2 m y 1,5 m .
c) Determinar los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus dimensiones son números consecutivos.
Designando el cateto menor por x, como la hipotenusa es el mayor de los lados y los tres, según la condición del problema tienen
que ser números consecutivos, se tiene que:
cateto menor = x
cateto mayor = x + 1
hipotenusa = x + 2
Recordando que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, se tiene:
(x + 2)2 = x2 + (x + 1)2
Desarrollando los cuadrados de binomios indicados:
x2 + 4x + 4 = x2 + x2 + 2 x +1
Pasando todos los términos al primer miembro:
x2 + 4x + 4 - x2 - x2 - 2 x -1 = 0
Reduciendo términos semejantes:
-x2 + 2x + 3 = 0
multiplicando ambos miembros por (-1) , para que resulte positivo el término en x2:
x2 - 2x - 3 = 0
Resolviendo:
De estas dos raíces, únicamente la primera es solución, pues no puede considerarse un lado de un triángulo de dimensión negativa
Luego:
si el cateto menor es x = 3 unidades
el cateto mayor es x + 1 = 4 unidades
y
la hipotenusa es x + 2 = 5 unidades
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