CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)

 


**

Sistemas de numeración.


 

www.sapiensman.com


Curso de Matemáticas

 

 

 


  • ¿Qué buscas? :
Búsqueda personalizada
  • Technical English - Spanish Vocabulary :

( Case-sensitive / Sensible a mayúsculas)

  • Electrotecnia - Información Técnica :

 

Sistemas de numeración

Toda tecnología necesita un sistema de numeración adecuado para la realización de las operaciones aritméticas necesarias, y los sistemas electrónicos empleados en los automatismos y en las computadoras se adaptan perfectamente al sistema binario.

Traído por los árabes, el sistema decimal ha sido tradicionalmente el usado hasta nuestros días. Está basado en un sistema de cómputo elemental que emplea: como elementos iniciales de expresión los 10 dedos de las manos. En nuestros días, es preciso eliminar la exclusividad del sistema decimal en la enseñanza básica, pues dada la creciente utilización de las máquinas por el hombre, para facilitar su acercamiento a ellas conviene aprender el manejo de otros sistemas de numeración más sencillos y útiles.

El sistema de numeración que mejor se adapta a la codificación de señales digitales es el binario, ya que solamente usa dos dígitos, el uno y el cero, para formar las diferentes cifras. En estas páginas también estudiaremos el sistema de numeración octal, el hexadecimal, el BCD y sus diferentes conversiones al sistema que utilizamos habitualmente, el sistema decimal.

Un sistema numérico es el conjunto ordenado de símbolos o dígitos y las reglas con que se combinan para representar cantidades numéricas. Existen diferentes sistemas numéricos, cada uno de ellos se identifica por su base.

Un dígito en un sistema numérico es un símbolo que no es combinación de otros y que representa un entero positivo.

Un bit es un dígito binario (abreviación del inglés binary digit), es decir, un 0 o un 1.

La base de un sistema numérico es el número de dígitos diferentes usados en ese sistema.

Tabla 1. Sistemas de numeración.

SISTEMA BASE DÍGITOS
BINARIO 2 0,1
OCTAL 8 0,1,2,3,4,5,6,7
DECIMAL 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
HEXADECIMAL 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

 

Sistema decimal

El sistema decimal tiene su base en diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. El número de dígitos o símbolos diferentes que se utilizan en un sistema de numeración constituye su base. Para el sistema decimal la base es 10.

El sistema decimal emplea diez dígitos diferentes para expresar cualquier cantidad, teniendo en cuenta que la posición de cada uno le confiere un peso o valor determinado, el cual se deriva de las diferentes potencias de 10.

Al disponer el sistema decimal de 10 dígitos diferentes, las operaciones simples, como la suma y la resta, pueden tener hasta 100 combinaciones diferentes de dígitos elementales. El 1 se puede sumar o restar con el 0, 1, 2, 3... 9; al 2 le ocurre lo mismo, etc., de lo que se deducen 100 posibilidades diferentes que habrá que saberlas de memoria para dominar este sistema. Lo mismo sucede con operaciones más complejas, como la multiplicación y la división. Esta multitud de posibilidades no hace recomendable este sistema para su empleo en Electrónica Digital, así como en los elementos de almacenaje de los circuitos de los computadores, ni en la transmisión y detección de errores de las operaciones aritméticas.

El lugar que ocupa cada dígito en una determinada cifra nos indica su valor. Así, por ejemplo el 95610 se puede descomponer de la siguiente forma:

95610 = 900 +50 + 6 = 9·100 +5·10+ 6·1

Otra forma de expresarlo sería en forma polinómica:

95610 = 9·102 +5.101 + 6.100

En conclusión, la cifra se descompone multiplicando cada dígito por su base elevada al número que representa la posición que ocupa. De forma general, la expresión polinómica exponencial de un número (N) en el sistema decimal sería la siguiente:

N10 = an ... a2a1a0= an. 10n + ... +a2102 + a1101 + a0100

Los términos an ... a2a1a0 son los dígitos del número (del 0 al 9 en el sistema decimal).

Sistema binario

El sistema binario está basado en la utilización exclusiva de dos números el 0 y el 1, para expresar cualquier magnitud; o sea tiene su base en dos únicos dígitos: 0 y 1.

La importancia del sistema binario estriba en la sencillez de sus reglas aritméticas, que hacen de él el sistema más idóneo para uso de computadores y dispositivos digitales. La compatibilidad del sistema binario con otros elementos usados en Electrónica Digital es total, puesto que todos trabajan con dos estados opuestos, asimilables al 0 y al 1 binarios.

Para la formación de cualquier valor con el sistema binario se sigue el mismo procedimiento que en el decimal, pero sustituyendo las sucesivas potencias de 10, por las de 2, que constituye la base del nuevo sistema.

Su expresión polinómica sería:

N2 = an ... a2a1a0= an. 2n + ... +a222 + a121 + a020

 

Figura 1. Valores de las posiciones de los términos binarios de un número de 8 bits.

Actividad resuelta 1.1

¿Cuál es el valor decimal del número binario 110012?

Solución: Aplicamos la expresión polinómica:

Para convertir un número decimal a binario se realiza la división continuada por 2 hasta que el cociente sea cero. Los restos obtenidos en los diferentes pasos nos darán el número en binario. Para ello se toman los dígitos obtenidos en los restos desde el último hasta el primero.

Así, por ejemplo, el número 11011 representa el 27 del sistema decimal, como se deduce a continuación:

A continuación se indican las equivalencias entre los primeros números decimales y los binarios correspondientes:

Aunque al principio causa extrañeza la formación sucesiva de los numeras binarios, se usa el mismo procedimiento que con los decimales, es decir, una vez terminan los números simples 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, para continuar subiendo el valor se toma el primer número significativo, en este caso el 1, y se va juntando ordenadamente con los 10 fundamentales (10, 11, 12, 13, 19); luego se sigue el mismo procedimiento con el 2, etc., y, cuando se acaban todas las posibilidades de combinación con dos números, se pasa a formar los de 3, etc. En el sistema binario, se comienza con el 0 y le sigue el 1; el próximo valor habrá de ser de dos cifras y al igual que en el decimal se tomará el 1º significativo, el 1,y se juntará con el 0 y el 1, dando lugar al 10 y al 11 (2 y 3 en decimal); luego, y puesto que se han agotado las combinaciones diferentes con dos números, se tomará la primera cifra significativa, el 1, y detrás se irán colocando dos cifras más ordenadamente, de menor a mayor, para dar origen a los números de 3 cifras que se citan a continuación:

La conversión de binario a decimal ha quedado expuesta anteriormente, pues se obtiene como consecuencia de la propia formación del sistema. Así, por ejemplo, el número binario 1111 pasará a su equivalente decimal:

Ahora se exponen los dos métodos que existen para convertir un número decimal en binario:

"Método A": Teniendo a la vista las sucesivas potencias de 2, que identifican el valor de los dígitos en cada posición de un número binario, como se representa en la figura

siguiente :

Fig. Pesos de las sucesivas posiciones de los números binarios.

Para transformar un número decimal, como el 49, en binario, se escogen las potencias cuya suma den el número elegido, que en este ejemplo serán:

25 + 24 + 20 =32 + 16 + 1 = 49,

con lo que 49 quedará codificado en sistema binario, de la forma siguiente:

4910 = 1100012

Sólo existe una combinación de potencias de dos para cada número decimal y con este método de trasposición se trata de encontrar cuál es dicha combinación.

"Método B": Consiste en realizar un proceso de divisiones sucesivas del número decimal por la base binaria 2. El resto de cada división se guarda y se convierte en una parte del número binario. Por ejemplo el número 175 decimal se convierte en binario de la siguiente forma:

El número binario equivalente al 175 se forma tomando el último cociente (1) y poniendo detrás de él ordenadamente todos los restos que se han ido produciendo, del último al primero:

17510 = 101011112

Actividad resuelta 1.2

¿Cuál es el valor binario del número decimal 2510? Solución:

También es interesante conocer las potencias negativas de 2, que servirán para representar la parte fraccionaria de un número:

Para pasar a sistema binario la parte fraccionaria de un número decimal, se multiplica sucesivamente por 2 dicha parte, indicando el peso correspondiente la cifra significativa (1 ó 0) que queda delante de la coma, hasta que se anule completamente la parte fraccionaria. Así, por ejemplo, la conversión del número decimal fraccionario 0,250 se realiza de la siguiente forma:

Es decir, se colocan las partes enteras de los productos como parte fraccionaria, desde el primero hasta el último.

En algunas aplicaciones es también interesante distinguir los números positivos de los negativos, reservando un bit de signo, previo a los que determinan el valor absoluto y que consiste generalmente en dedicar el bit 0 a los números positivos y el 1 a los negativos.

COMA FIJA Y COMA FLOTANTE

En la mayor parte de los casos se usa en la representación de los números fraccionarios la coma fija, teniendo que ser el programador quien vigile el tratamiento de datos para conocer la posición de la coma, ya que generalmente la máquina trata a todos los números como enteros. Por ejemplo, en un sistema en el que la coma fija corresponda a números con tres decimales, el número 123,3 se transformará en 123,300 y ha de ser el programador el que desplace los dígitos para que la coma quede siempre en el mismo sitio.

Para evitar las equivocaciones que suele ocasionar el sistema de coma fija, se usa el de coma flotante, con el cual se representan los números de forma exponencial, tomando como base del exponente la del sistema de numeración, que en el caso del binario sería 2 y en el del decimal 10. Por ejemplo, el número -27.000.00010 , teniendo en cuenta que es igual a -27 x 106 , se escribe comenzando por un bit que determina el signo y que en este caso, por ser negativo, será 1; a continuación, se pone el exponente al que hay que elevar la base 10 y, finalmente, la "mantisa" (nombre que se da por su parecido con los logaritmos), que es la parte entera por la que hay que multiplicar lo anterior. Si se usa una longitud de palabra de 8 dígitos, los dos primeros se reservan a signo y exponente y los 6 últimos a cifra adecuada, como se indica:

ARITMETICA BINARIA

Aunque las reglas en este sistema son similares al decimal, al existir sólo dos números (0 y 1) son mucho más simples. Las reglas fundamentales de las cuatro operaciones básicas se resumen en la figura siguiente.

Fig. Resumen de las reglas de las operaciones básicas en binario.

A continuación se proponen algunos ejemplos de operaciones aritméticas en código binario:

 

Sistema octal y hexadecimal

El sistema octal (base 8) y hexadecimal (base 16) se pueden considerar como "binario abreviado", ya que la conversión de estos a binario y viceversa es prácticamente inmediata a simple vista, por lo que han sido utilizados para representar de manera compacta información binaria en los sistemas digitales.

Sistema octal

La conversión de un número octal en un número binario se realiza de forma sencilla e inmediata, para ello hay que sustituir cada dígito octal por la cadena equivalente de tres bits binarios, tal como se muestra en la Tabla 2.

OCTAL BINARIO
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111

Tabla2. Correspondencias entre números octales y cadenas de tres bits binarios.

Actividad resuelta 1.3 .

¿Cuál es el número binario del número octal 4578?

Solución: Consultando en la Tabla 2 de equivalencias

Actividad resuelta 1.4

¿Cuál es el número octal del número binario 10101112?

Solución: Se agrupan los bits de tres en tres comenzando por el bit menos significativo. Como en nuestro ejemplo el número de bits no es múltiplo de tres, se añaden a la izquierda del bit más significativo lo ceros necesarios para completar un grupo de tres.

Sistema hexadecimal

El código hexadecimal posee una base 16 y consta de 10 dígitos numéricos y 5 alfabéticos. En la Tabla 3 se muestran las equivalencias entre los diferentes códigos de nu meración

DECIMAL HEXADECIMAL BINARIO
0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0111
8 8 1000
9 9 1001
10 A 1010
11 B 1011
12 C 1100
13 D 1101
14 E 1110
15 F 1111

Tabla 3. Correspondencias entre números hexadecimales y cadenas de cuatro bits binarios.

Actividad resuelta 1.5

¿Cuál es el número binario del número hexadecimal 28D16?

Solución: Consultando en la Tabla 3 de equivalencias

Actividad resuelta 1.6

¿Cuál es el número hexadecimal del número binario 101101001002?

Solución: Se agrupan los bits de cuatro en cuatro comenzando por el bit menos significativo. Como en nuestro ejemplo el número de bits no es múltiplo de cuatro, se añaden a la izquierda del bit más significativo los ceros necesarios para completar un grupo de cuatro.

 

 

 


 


 

Juega El Gordo Lotto
Ordena tu Ticket Ahora
 

Juega Powerball
Ordena tu Ticket Ahora

Juega California Super Lotto
Ordena tu Ticket Ahora

Juega Florida Lotto
Ordena tu Ticket Ahora
 

 


  •  

 

 


Si esta información te resulta útil, compártela :

 

 

INICIO : Curso de Matemáticas. Elementos Básicos. Álgebra. Geometría.

 


 

Volver arriba