FUNCIONES ELEMENTALES

Revisión del concepto de función.

Este segundo elemento se llama imagen del primero o asociado del primero mediante esa función.

Simbólicamente:

Si x es un elemento del primer conjunto y su elemento imagen en el segundo, mediante la función f se expresa:

y = f(x) ⇒ x →  y = f(x)

• Temas relacionados :
• Funciones. Gráficas. Ecuación de una línea.
• Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

EJEMPLO 1º :

Si se tiene un conjunto de personas y se le hace corresponder a cada una su fecha de nacimiento, se tiene una función, porque a cada persona le corresponde una sola fecha de nacimiento; bien puede ocurrir que dos o más personas tengan la misma fecha de nacimiento, pero esto no interesa; lo que importa es que a cada persona le corresponde una sola fecha.

EJEMPLO 2º :

Si se considera el conjunto de todos los niños alumnos de una escuela y el conjunto de todos los hombres de la ciudad en que está la escuela y se establece la relación "hijo de" entre el conjunto de niños y el de esos hombres; hay niños a quienes les corresponde un hombre de la ciudad que es su padre, pero sólo uno. Por lo tanto, esta relación es una función, no importa cómo puede ocurrir, que a más de un niño de esa escuela le corresponda el mismo padre y que haya algunos niños a quienes no les corresponda ningún hombre en esa relación, ya sea porque su padre ha muerto o porque no vive en esa ciudad.

EJEMPLO 3º :

Si se establece la relación "cubo de" entre el conjunto

A = {1; 27 ; 125}

y el conjunto

B = {1; 3; 5}

dicha relación es una función pues a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno solo en el segundo, que es divisor de aquél.

La correspondencia es:

• 1 → 1
• 27 → 3
• 125 →5

En cambio, la relación "madre de" no es una función porque una madre puede tener varios hijos.

La función puede estar definida entre los elementos de un conjunto.

Los siguientes gráficos, donde se aplican los diagramas de Venn, son ejemplos de funciones o aplicaciones.

Los dos primeros establecen una función entre los elementos de conjuntos distintos; el último entre los elementos de un mismo conjunto.

Obsérvese que en todos los casos a cada elemento le corresponde uno solo, que se indica con la flecha.

Cuando la función está definida entre los elementos de un conjunto de números la función se llama numérica.

Así, la relación "mitad de", en el conjunto de los números naturales es una función numérica tal que cada número natural tiene como imagen otro número natural, del cual es mitad.

En particular, cuando una función está definida en el conjunto de los números reales, como a cada número real le corresponde otro número real mediante esa función, se llama función real de variable real.

Así,

es una función, pues a cada valor de x le corresponde un número real que es su raíz cúbica.

En cambio, si en el conjunto de los números reales se establece una relación tal que: y = √x , ésta no es una función numérica pues para cada valor de x le corresponden dos valores de y. En efecto:

Para x = 25 corresponde y = √25, pero hay dos números +5 y -5 que son raíces de 25. Luego, al mismo número 9 le corresponden dos elementos en la relación; por lo tanto no es función.

En cambio, si al radical lo precede el signo + sí es una función: y =+ √x es una función pues entonces al valor x = 25 le corresponde el único valor y =5.

DOMINIO. Si se establece la relación R entre los conjuntos A y B, se llama dominio de la relación R al conjunto formado por los elementos de A que son primeras componentes de los pares ordenados de esa relación.

Al dominio se lo suele llamar también campo de definición o campo existencial.

CONTRADOMINIO o CODOMINIO. Se llama contradominio o codominio de una relación establecida entre los conjuntos A y B, al conjunto formado por los elementos de B que son segundas componente de los pares ordenados de esa relación.

EJEMPLO 1º :

En el ejemplo "hijo de" entre los alumnos de una escuela y los hombres de la ciudad donde está la escuela, el dominio está constituido por todos los alumnos de esa escuela que tienen su padre vivo y que habitan en esa ciudad; el contradominio está constituido por los hombres de esa ciudad que tienen un hijo en esa escuela.

EJEMPLO 2º :

En el ejemplo "cubo de", el dominio es todo el conjunto A = {1 ; 27 ; 125} Y el contradominio es también todo el conjunto B = {1; 3; 5}.

FUNCIONES DADAS POR ECUACIONES. Si en el conjunto de los números reales se establece una función tal que a cada número se le hace corresponder el triplo del mismo más uno, esta función se indica:

y = 3x + 1

Si se pasan todos los términos al primer miembro se obtiene:

y - 3x + 1 = 0

que es una ecuación con dos incógnitas: x y y.

Si en el conjunto de los números reales se establece la función tal que a cada número le corresponde el cuadrado del primero menos el triplo del mismo, más 2, la operación simbólica de esta función es:

y = x² - 3x + 2

Luego:

y - x² + 3x - 2 = 0

que es una ecuación con dos incógnitas: x y y.

Por esta razón se dice que estas dos funciones están expresadas por ecuaciones.

TABLAS DE FUNCIONES. Según se sabe, para las funciones es cómoda la disposición práctica según una tabla o cuadro de valores,

       [1]

FUNCIONES DEFINIDAS POR TABLAS. En ciertos casos el conocimiento de la tabla de valores define la función.

Así, si se tiene este cuadro de valores, es inmediato que la función que define esta tabla de valores es:

GRÁFICAS DE FUNCIONES. Adoptado un par de ejes cartesianos, si se determinan los puntos que tienen por abscisa los elementos del dominio y por ordenadas los respectivos elementos del contradominio, el conjunto de todos estos puntos constituye la gráfica de la función.

Así, en la función:

y = 2x + 1

de acuerdo con el cuadro de valores correspondientes que figura en la arriba en [1], se determinan los puntos:

T(0;1) ; P(1;3)

Q(2;5) ; U(3;7)

R(4;9) ; S(-1;-1)

V(-2;-3) ; W(-3;-5)

La unión de todos ellos da la gráfica de la función, que en este caso es la recta que se destaca en color.

Como ya se ha visto, todas las funciones de este tipo en que el segundo miembro es una constante multiplicada por x más un número, tiene por gráfica una recta.

Ver : Funciones definidas por gráficas. Funciones de segundo grado o cuadráticas. Ejemplos