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Funciones definidas por gráficas. Funciones de segundo grado o cuadráticas. Ejemplos


 

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FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES DEFINIDAS POR GRÁFICAS. Dada una función se determina su gráfica y recíprocamente, dada la gráfica queda definida la función.

Así, por ejemplo, dada la gráfica, se observa que pasa por el origen.

En consecuencia:

a x=0 → y=0

Si se elige un valor de x cualquiera, por ejemplo x= 2 se observa que el y que le corresponde es 6.

Elegido otro valor cualquiera de la abscisa, por ejemplo x = 1, se observa que le corresponde y = 3, o sea:

Por lo tanto, en este caso la función definida por la gráfica es: y = 3x.

En algunos casos, los datos obtenidos de observaciones dan un número de pares ordenados de x y y que determinan sendos puntos en el plano. Supongamos que para un caso se obtiene la distribución de puntos que se indica en la figura de la izquierda siguiente .

 

La distribución de los mismos permite dibujar una curva que es la que más se aproxima a todos ellos. En este caso sería parecida a la que se dibuja en color en la figura.

Esta gráfica define una función y cuando se quiere determinar aproximadamente para un valor de x el correspondiente de y, se marca ese valor de x en el eje de abscisas, según se observa en la figura de la derecha, se levanta la perpendicular hasta que corte a la curva y la ordenada correspondiente que se lee en el eje de las y da el valor aproximado de y.

Así, si se quiere obtener el valor que corresponde a xo se traza la perpendicular al eje de abscisas por xo , que corta a la curva en P; el yo correspondiente se lee en el eje de ordenadas.

FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS. Son aquellas funciones cuyo segundo miembro es una expresión polinómica de 2º grado en x.

En el 1er. ejemplo el polinomio es completo pues figura el término de 2º grado, el de 1er. grado y un término independiente.

En el 2º ejemplo figura solamente el término de 2º grado, o sea faltan el término de 1er. grado y el independiente.

En el 3er. ejemplo, falta el término independiente.

En el 4º ejemplo, falta el término de 1er. grado.

A continuación se hacen las gráficas de las diferentes funciones de 2º grado correspondientes a cada uno de los casos.

EJEMPLO 1º :

Representar gráficamente la función:

y =x2

Se observa:

PRIMERO. Que la curva pasa por el origen, que es, en este caso, el punto de menor ordenada de la curva; por eso se dice que en ese punto la función tiene un mínimo.

SEGUNDO. Que la curva es simétrica con respecto al eje de ordenadas, porque a valores de x, iguales en valor absoluto pero de signo distinto, corresponden iguales valores positivos de y.

TERCERO. Que la función crece indefinidamente a medida que crecen los valores absolutos de x.

EJEMPLO 2º :

Representar gráficamente la función:

En este ejemplo, como en el anterior, la y se anula para x = 0, por lo tanto la curva pasa por el origen. También para valores opuestos de x corresponden iguales valores de y pero negativos, porque en este caso (1/2)x2 está precedido por el signo menos; luego la curva es simétrica con respecto al eje de las y, está en el semiplano inferior con respecto al eje de las x y la concavidad está dirigida hacia abajo.

En este ejemplo el origen es el punto de mayor ordenada, por lo cual se dice que en ese punto la función alcanza un máximo.

Cada una de las curvas obtenidas en los dos ejemplos anteriores, así como la representación gráfica de toda función cuadrática, recibe el nombre de parábola; el punto en que la función alcanza el máximo o el mínimo se llama vértice de la parábola; en los dos casos anteriores el vértice es el origen.

EJEMPLO 3º:

Representar gráficamente la función:

y = x2 - 2x

En este caso, el vértice de la parábola es el punto M, de abscisa x = 1, donde la función alcanza el valor mínimo.

La parábola es simétrica con respecto a la recta e, que pasa por el vértice M, y es paralela al eje de ordenadas. Esta recta e se llama eje de la parábola.

En las dos primeras parábolas el eje de las mismas coincide con el eje de ordenadas.

EJEMPLO 4º

Representar gráficamente la función:

y = x2 + 2

El vértice de la parábola es el punto M, sobre el eje de ordenadas para x = 0 y y= 2; en él la función alcanza el mínimo.

 

EJEMPLO 5º:

Representar gráficamente la función:

y = 2x2 + 4x - 7

En este caso el vértice de la parábola es el punto M de abscisa x =-1, donde la función alcanza el valor mínimo.

El eje de la parábola corta entonces al eje de abscisas en el punto de abscisa x =-1

EJEMPLO 6º : Representar gráficamente la función:

y= -3x2 + 12x - 5

En este caso, el vértice de la parábola es el punto M, de abscisa x = 2, donde la función alcanza el valor máximo.

El eje de la parábola corta, pues, al eje de abscisas en el punto de abscisa x = 2.

OBSERVACIONES. De las representaciones gráficas anteriores se deduce que, cuando el término de segundo grado es positivo, la función tiene un mínimo, y cuando es negativo, la función alcanza un máximo.

En algunos casos se observa que la parábola corta al eje de las x en dos puntos; ellos corresponden a los valores de la ordenada y iguales a cero. El punto medio del segmento determinado por las intersecciones de la parábola con el eje de las x, da la abscisa del vértice de la parábola, es decir, el valor de x, correspondiente al máximo o mínimo de la función.

Así, en el ejemplo y= x2 -2x (EJEMPLO 3º) que se acaba de mencionar, la parábola corta al eje de abscisas en x = 0 y x = 2; el punto medio entre ellas, del eje de abscisas, es:

En los ejemplos dados también se han obtenido parábolas tangentes al eje de las x; como la parábola que corresponde a y= x2 y

y otras que no tienen ningún punto común con el eje de abscisas: así, la parábola correspondiente a y = x2 +2.

 

 


 


 

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