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Adición, sustracción, multiplicación y división en el conjunto de los números complejos


 

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NÚMEROS COMPLEJOS

En el conjunto de los números reales no es posible obtener las raíces de índice par y radicando negativo. Así, cuando se conocen únicamente los números reales, no tiene interpretación, por ejemplo, √-2, pues no hay ningún número tal que elevado al cuadrado dé por resultado el número -25. Para resolver estas operaciones se amplía el conjunto de los números réales, introduciendo nuevos números llamados imaginarios.

Estos nuevos números no se definen arbitrariamente, sino de modo tal que las operaciones con ellos gocen de las mismas propiedades que las correspondientes operaciones con números reales.

Entre los números imaginarios se define la unidad imaginaria que se designa con la letra i, y tal que su cuadrado es igual a -1 , es decir:

i2 = -1

Obsérvese que admitida esta definición y la permanencia de las propiedades ya estudiadas se puede atribuir un significado a las raíces cuadradas de radicando negativo, por ejemplo:

Los números complejos. Así como un par de números enteros a y b dados en ese orden, y siendo b = 0, determinan el número fraccionario a/b del cual el primer número, a, es el numerador y el segundo, b, es el denominador; análogamente, un par de números reales a y b, dados en ese orden, definen un número complejo que se representa (a/b) o bien (a;b), del cual el primer número, a, se llama componente real, y el segundo número, b, componente imaginaria.

Así, por ejemplo, en los números complejos:

(2/3)

la componente real es 2 y la componente imaginaria es 3.

El conjunto de los números reales y el de los imaginarios constituyen el conjunto de los números complejos, es decir:

Conjunto de números reales ∪ Conjunto de números imaginarios = Conjunto de números complejos.

El conjunto de los números complejos se designa por C.

El cuadro siguiente resume los números hasta ahora estudiados:

Los números reales pueden considerarse como un caso particular de números complejos de componente imaginaria cero. Así, el número 9 puede representarse como el número complejo que tiene componente real 9 y componente imaginaria 0 es decir:

9=(9;0)

Del mismo modo, la unidad real 1 se representa por el complejo de componente real 1 y componente imaginario 0, es decir:

 

Se llama número imaginario el número complejo cuya componente real, es cero.

Así, son números imaginarios:

Entre estos números, el que tiene por componente imaginaria la unidad es el llamado unidad imaginaria. Luego, la unidad imaginaria i es el número complejo (0; 1), que tiene la componente real 0 y la componente imaginaria 1.

Los números imaginarios se representan por su componente imaginaria seguida de la unidad i, es decir:

IGUALDAD O EQUIVALENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS. Como todo número complejo tiene dos componentes, la real y la imaginaria, se admite como definición, que un número complejo es igual o equivalente a otro cuando su componente real y su componente imaginaria son, respectivamente, iguales a las del otro.

En simbolos:

Esta igualdad de números complejos goza, como toda igualdad, de los caracteres idéntico o reflejo, recíproco o simétrico y transitivo.

Suma de números complejos. Se llama suma de dos o más números complejos al complejo que tiene como componente real la suma de las componentes reales y como componente imaginaria la suma de las componentes imaginarias de los números sumandos.

En símbolos:

Como el resultado de la suma de dos números complejos es otro número complejo, la suma de complejos es una ley de composición interna, o bien es una operación cerrada, es decir, cumple la ley del cierre o de la clausura.

Un caso particular de la suma de complejos es aquel en que uno de los sumandos es un número real y el otro es un número imaginario; por ejemplo, sea sumar el número real (a; 0) con el imaginario (0; b).

Aplicando la definición de suma de complejos se tiene:

Luego, puede definirse:

La suma de un número real y de uno imaginario es el número complejo que tiene por componente real el número real y por componente imaginaria la del imaginario.

o sea:

pero como:

Aplicando el carácter simétrico a la igualdad [2] se tiene:

es decir, que todo número complejo puede representarse como el binomio de su componente real más el imaginario que determina su componente imaginaria. Esta nueva forma de representación de los números complejos se llama binómica o cartesiana.

EJEMPLO:

Representar en forma binómica o cartesiana cada uno de los siguientes números complejos:

Teniendo en cuenta la definición de suma de complejos y la representación de éstos en forma binómica, es inmediato que:

Complejos conjugados. Dos números complejos se dicen conjugados cuando tienen las componentes reales iguales y las componentes imaginarias de igual valor absoluto pero de distinto signo.

Así, por ejemplo, son números complejos conjugados:

pues, tienen la misma componente real 4 y las componentes imaginarias de igual valor absoluto 5, pero en uno con signo más y en el otro con signo menos. También son números complejos conjugados:

y en general, teniendo en cuenta que si a y b son las componentes de uno de los números, las del conjugado deben ser a y -b, dos complejos conjugados quedan representados mediante la notación.

SUMA DE COMPLEJOS CONJUGADOS. Sean dos números complejos conjugados, en general:

De acuerdo con la definición de suma de complejos, se tiene que:

 

es decir, que:

La suma de dos complejos conjugados da por resultado un número real que es el duplo de la componente real.

Resta de números complejos. Siendo la resta la operación inversa de la suma, y teniendo en cuenta la definición de suma de complejos, resulta que:

La diferencia entre dos números complejos es el complejo que tiene por componentes real e imaginaria, respectivamente, la diferencia entre las componentes reales y entre las componentes imaginarias del minuendo y sustraendo.

En símbolos:

RESTA DE COMPLEJOS CONJUGADOS. Sea restar del complejo a + bi su complejo conjugado a - bi.

Se tiene:

El resultado es un número imaginario cuya componente es el duplo de la componente imaginaria del minuendo.

EJEMPLO 1º:

EJEMPLO 2º:

Multiplicación de números complejos. Antes de considerar la multiplicación de dos números complejos, en general, es preciso recordar que la unidad imaginaria i se define de modo tal que su cuadrado es igual a -1, es decir:

   i2 =-1

Sea multiplicar dos complejos cualesquiera dados en forma binómica, por ejemplo: (a +bi) y (a +di). Como la multiplicación de números complejos goza de las mismas propiedades que la multiplicaciónde números reales, multiplicar estos complejos se reduce a multiplicar dos binomios sumas; luego, habrá que multiplicar cada término del primero por cada término del segundo y sumar los productos parciales, es decir:

Aplicando la propiedad conmutativa y asociativa:

es decir, que el producto es un complejo de componente real (a c -b d) y de componente imaginaria (b c +a d). Cuando se trata de multiplicar dos números complejos conviene siempre expresar los números en forma binómica y multiplicar los dos binomios como se procedió en el ejemplo literal anterior.

EJEMPLO 1º :

EJEMPLO 2º :

Multiplicar

Dando forma binómica a estos números, se tiene:

EJEMPLO 3º :

Multiplicar

En estos casos en que uno de los factores tiene una componente cero, se halla el producto aplicando la multiplicación de una suma por un número.

PRODUCTO DE COMPLEJOS CONJUGADOS. Dados los complejos conjugados (a + bi) y (a - bi), para hallar su producto se procede así:

luego, sustituyendo en [1]

Es decir, que:

El producto de dos complejos conjugados es igual a la suma de los cuadrados de las dos componentes.

 

División de números complejos. Sea, por ejemplo, tener que efectuar la división:

Para evitar el número imaginario en el divisor, se multiplican dividendo y divisor por el complejo conjugado del divisor, en este caso por (c - di), luego:

y como los factores del denominador son complejos conjugados, su producto es:

Luego, sustituyendo en [1] el dividendo y el divisor por los valores hallados, se tiene:

El procedimiento seguido es general, es decir, que:

Para dividir dos números complejos se multiplican el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor y luego se efectúan las operaciones indicadas.

EJEMPLO 1º:

El conjugado del divisor es 4 -3i; luego, se multiplican por él, dividendo y divisor:

EJEMPLO 2º ,

Sea efectuar:

En este caso, el conjugado del divisor es 2-i; luego, multiplicando por él, dividendo y divisor, se tiene:

EJEMPLO 3º:

Sea efectuar:

En este caso, el divisor es un número imaginario, es decir, de componente real 0; luego, su conjugado será ese mismo imaginario cambiado de signo, o sea: +4i.

Luego:

y, simplificando por 2, resulta:

Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división en el conjunto de los números complejos da siempre como resultado un número complejo; por lo tanto, al igual de lo que se dijo para la suma, éstas también son operaciones cerradas o, en otros términos, son leyes de composición interna.

 

 

 


 


 

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