Una expresión tal como
 ,
que presenta un signo radical, se refiere como un RADICAL.
Hemos trabajado antes con radicales en la forma de exponentes
fraccionarios, pero también suele ser necesario trabajar
con ellos en la forma radical. La palabra "radical"
deriva del vocablo latino "radix", que significa
"raíz". La voz "raíz" se
usa con mucha frecuencia en matemáticas modernas para
referirse a la base de un sistema numérico, tal como
la base 2 en el sistema binario. Sin embargo, la palabra "radical”
conserva su significado original de "raíz".
El símbolo radical 
parecería ser una distorsión de la letra inicial
"r" de la palabra "radix". Con el prolongado
uso la r perdió gradualmente su significado como letra
y se transformó en el símbolo que usamos. El
vínculo ayuda a especificar con exactitud cuáles
de las letras y números que siguen al símbolo
radical pertenecen en realidad a la expresión radical.
El número bajo el signo radical es el RADICANDO. El
índice de la raíz (excepto en el caso de una
raíz cuadrada) se coloca en la abertura del símbolo
radical.. El índice nos dice qué raíz
se pretende extraer del radicando. Por ejemplo, 
: el radicando es 32 y el índice de la raíz
es 5. La quinta raíz de 32 es lo que se busca.
En 
se pretende la raíz cuadrada de 50. Cuando el índice
es 2 no se escribe pero se sobreentiende.
Si podemos determinar una raíz cuadrada de un número
nos es posible siempre determinar dos de ellas. Recuerde (3)2
es 9 y (- 3)2 es también 9. Asimismo, (4)2
y (-4)2 son ambos igualmente 16 y (5)2
y (- 5)2 son ambos 25. lnversamente,  .
y 
es +5 ó -5.
Cuando deseamos indicar un número que puede ser simultáneamente
positivo o negativo usamos el símbolo ±
que se lee "más menos". Entonces ±
3 significa "más menos 3". En general cuando
un número está colocado bajo signo radical sólo
se necesita su raíz positiva y, a no ser que se especifique
otra cosa, es la única raíz a determinar.
Combinación de radicales
Un número escrito al frente de otro número
y que actúa como multiplicador se llama un COEFICIENTE.
La expresión 5x significa 5 por x; ay significa a por
y, y 7
significa 7 por .
En estos ejemplos 5 es el coeficiente de x; a es el coeficiente
de y; 7 es el coeficiente de .
Los radicales que poseen el mismo índice y el mismo
radicando son SIMILARES. Los radicales similares pueden tener
diferentes coeficientes al frente del signo radical.
Por ejemplo, 3 ,
y 1/5
son radicales similares. Cuando un coeficiente no está
escrito se sobreentiende que es 1. Entonces el coeficiente
de
es 1. La regla para sumar radicales en la misma que se estableció
para sumar números denominados: sumar solarnente las
unidades del mismo tipo. Por ejemplo, podemos sumar 2
y 4
porque las "unidades" en cada uno de estos números
son las mismas ().
Por idéntico razonamiento no podemos sumar 2
y 4
debido a que no son radicales semejantes.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Si está indicada la adición o sustracción
de radicales semejantes los radicales se combinan sumando
y restando sus coeficientes y colocando su resultado al frente
del radical. Sumar 3
y 5es
similar a sumar 3 tuercas y 5 tuercas. Los siguientes ejemplos
ilustran la adición y sustracción de expresiones
con radicales semejantes:
El ejemplo 4 muestra un caso que a veces es confuso. La suma
de los coeficientes -5, -2 y 7 es cero. Por tanto, el coeficiente
de la respuesta debería ser cero, como sigue:
Entonces, la respuesta final es cero, puesto que cero multiplicado
por cualquier cantidad es cero.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Realizar las operaciones indicadas:
Respuestas:
MULTIPLICACION Y DIVISIÓN
Si un radical se escribe inmediatamente después de
otro radical se entiende que se multiplican. A veces se coloca
un punto entre los radicales, pero no siempre. Entonces, 
ó 
significan multiplicación.
Cuando se indica la multiplicación o división
de radicales varios radicales que tengan el mismo índice
pueden combinarse en un solo radical, si se lo desea. Los
que poseen el mismo índice se dice que son RADICALES
DEL MISMO ORDEN. Por ejemplo,
es un radical de segundo orden. Los radicales
y
son del mismo orden.
Si los radicales son del mismo orden los radicandos pueden
multiplicarse o dividirse y colocarse bajo un solo símbolo
radical. Por ejemplo,
multiplicada por
es lo mismo que 
; además, 
es lo mismo que 
. Si aparecen coeficientes en los radicales éstos también
deben unirse en la multiplicación o división.
Esto queda ilustrado en los siguientes ejemplos:
Es importante observar que lo que hemos dicho acerca de la
multiplicación y división no se aplica a la
adición. Un error típico es tratar la expresión
como si fuera equivalente a  .
Estas expresiones no son equivalentes, ya que 3 + 2 no es
equivalente a  .
Factoreo de radicales. - Un radical puede desglosarse en
dos o más radicales del mismo orden si es posible factorear
el radicando. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos:
Simplificación de radicales
Algunos radicales pueden convertirse a una forma equivalente
más fácil de emplear. Un radical está
en su forma más simple cuando no puede extraerse ningún
factor de él, cuando no hay fracción bajo el
signo radical y cuando el índice de la raíz
no puede reducirse. Es posible extraer un factor del radical
si éste aparece un número de veces igual al
índice de la raíz. Los ejemplos que siguen ilustran
esto:
Sacar un factor que aparece un número de veces igual
al índice de la raíz es equivalente a separar
un radical en dos radicales tales que uno de los radicandos
es una potencia perfecta. El signo radical puede eliminarse
del número que es un cuadrado, cubo, cuarta potencia
perfecta, etcétera. La raíz extraída
se transforma en el coeficiente del radical remanente.
Para poder simplificar radicales con facilidad conviene
conocer los cuadrados de los números enteros hasta
25 y algunos de las potencias más pequeñas de
los números 2, 3, 4, 5 y 6. La tabla 7-1 muestra algunas
potencias de los números usadas a menudo.
Tabla 7-1. Potencias de los números.
Refiriéndonos a la tabla 7-1 (A) vemos que la serie
de números
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
comprende todos los cuadrados perfectos de 1 a 100, inclusive.
Si alguno de estos números aparece bajo el símbolo
de una raíz cuadrada el signo radical puede eliminarse
de inmediato.
Lo cual se ilustra así:
Un radicando tal como 75, que tiene un cuadrado
perfecto (25) como factor, puede simplificarse de este modo:
Este procedimiento se ilustra de nuevo en los
siguientes problemas:
Por referencia a la cuarta potencia perfecta
en la tabla 7-1 podemos simplificar un radical tal como 
. Observando que 405 posee a 81 como factor, que es una cuarta
potencia perfecta, tenemos lo siguiente:
Según se demostró para los exponentes
fraccionarios, es equivalente a dividir el exponente de una
potencia por el índice de la raíz. Si un factor
del radicando tiene un exponente que no es múltiplo
del índice de la raíz el factor podrá
separarse de modo que un exponente sea divisible por el índice,
como en
Consideremos además
Si el radicando es un número grande,
no siempre son evidentes las potencias perfectas que son factores.
En tales casos el radicando puede separarse en factores primos.
Por ejemplo,
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Simplificar los radicales y reducir a los términos
de menor valor:
|
. 
