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Radicales. Adición, sustracción, multiplicación y división de radicales.


 

 


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Operaciones con radicales. Combinación de radicales. Adición y sustracción. Multiplicación y división. Simplificación de radicales. Práctica de problemas.

Una expresión tal como , que presenta un signo radical, se refiere como un RADICAL.

Hemos trabajado antes con radicales en la forma de exponentes fraccionarios, pero también suele ser necesario trabajar con ellos en la forma radical. La palabra "radical" deriva del vocablo latino "radix", que significa "raíz". La voz "raíz" se usa con mucha frecuencia en matemáticas modernas para referirse a la base de un sistema numérico, tal como la base 2 en el sistema binario. Sin embargo, la palabra "radical” conserva su significado original de "raíz".

El símbolo radical parecería ser una distorsión de la letra inicial "r" de la palabra "radix". Con el prolongado uso la r perdió gradualmente su significado como letra y se transformó en el símbolo que usamos. El vínculo ayuda a especificar con exactitud cuáles de las letras y números que siguen al símbolo radical pertenecen en realidad a la expresión radical.

El número bajo el signo radical es el RADICANDO. El índice de la raíz (excepto en el caso de una raíz cuadrada) se coloca en la abertura del símbolo radical.. El índice nos dice qué raíz se pretende extraer del radicando. Por ejemplo, : el radicando es 32 y el índice de la raíz es 5. La quinta raíz de 32 es lo que se busca.

En se pretende la raíz cuadrada de 50. Cuando el índice es 2 no se escribe pero se sobreentiende.

Si podemos determinar una raíz cuadrada de un número nos es posible siempre determinar dos de ellas. Recuerde (3)2 es 9 y (- 3)2 es también 9. Asimismo, (4)2 y (-4)2 son ambos igualmente 16 y (5)2 y (- 5)2 son ambos 25. lnversamente, . y  es +5 ó -5.

Cuando deseamos indicar un número que puede ser simultáneamente positivo o negativo usamos el símbolo  ±  que se lee "más menos". Entonces ± 3 significa "más menos 3". En general cuando un número está colocado bajo signo radical sólo se necesita su raíz positiva y, a no ser que se especifique otra cosa, es la única raíz a determinar.

Combinación de radicales

Un número escrito al frente de otro número y que actúa como multiplicador se llama un COEFICIENTE. La expresión 5x significa 5 por x; ay significa a por y, y 7 significa 7 por . En estos ejemplos 5 es el coeficiente de x; a es el coeficiente de y; 7 es el coeficiente de . Los radicales que poseen el mismo índice y el mismo radicando son SIMILARES. Los radicales similares pueden tener diferentes coeficientes al frente del signo radical.

Por ejemplo, 3 , y 1/5 son radicales similares. Cuando un coeficiente no está escrito se sobreentiende que es 1. Entonces el coeficiente de es 1. La regla para sumar radicales en la misma que se estableció para sumar números denominados: sumar solarnente las unidades del mismo tipo. Por ejemplo, podemos sumar 2 y 4 porque las "unidades" en cada uno de estos números son las mismas (). Por idéntico razonamiento no podemos sumar 2 y 4 debido a que no son radicales semejantes.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Si está indicada la adición o sustracción de radicales semejantes los radicales se combinan sumando y restando sus coeficientes y colocando su resultado al frente del radical. Sumar 3 y 5es similar a sumar 3 tuercas y 5 tuercas. Los siguientes ejemplos ilustran la adición y sustracción de expresiones con radicales semejantes:

El ejemplo 4 muestra un caso que a veces es confuso. La suma de los coeficientes -5, -2 y 7 es cero. Por tanto, el coeficiente de la respuesta debería ser cero, como sigue:

Entonces, la respuesta final es cero, puesto que cero multiplicado por cualquier cantidad es cero.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Realizar las operaciones indicadas:

Respuestas:

MULTIPLICACION Y DIVISIÓN

Si un radical se escribe inmediatamente después de otro radical se entiende que se multiplican. A veces se coloca un punto entre los radicales, pero no siempre. Entonces, ó   significan multiplicación.

Cuando se indica la multiplicación o división de radicales varios radicales que tengan el mismo índice pueden combinarse en un solo radical, si se lo desea. Los que poseen el mismo índice se dice que son RADICALES DEL MISMO ORDEN. Por ejemplo, es un radical de segundo orden. Los radicales y son del mismo orden.

Si los radicales son del mismo orden los radicandos pueden multiplicarse o dividirse y colocarse bajo un solo símbolo radical. Por ejemplo, multiplicada por  es lo mismo que  ; además, es lo mismo que  . Si aparecen coeficientes en los radicales éstos también deben unirse en la multiplicación o división. Esto queda ilustrado en los siguientes ejemplos:

Es importante observar que lo que hemos dicho acerca de la multiplicación y división no se aplica a la adición. Un error típico es tratar la expresión     como si fuera equivalente a  . Estas expresiones no son equivalentes, ya que 3 + 2 no es equivalente a .

Factoreo de radicales. - Un radical puede desglosarse en dos o más radicales del mismo orden si es posible factorear el radicando. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos:

Simplificación de radicales

Algunos radicales pueden convertirse a una forma equivalente más fácil de emplear. Un radical está en su forma más simple cuando no puede extraerse ningún factor de él, cuando no hay fracción bajo el signo radical y cuando el índice de la raíz no puede reducirse. Es posible extraer un factor del radical si éste aparece un número de veces igual al índice de la raíz. Los ejemplos que siguen ilustran esto:

Sacar un factor que aparece un número de veces igual al índice de la raíz es equivalente a separar un radical en dos radicales tales que uno de los radicandos es una potencia perfecta. El signo radical puede eliminarse del número que es un cuadrado, cubo, cuarta potencia perfecta, etcétera. La raíz extraída se transforma en el coeficiente del radical remanente.

Para poder simplificar radicales con facilidad conviene conocer los cuadrados de los números enteros hasta 25 y algunos de las potencias más pequeñas de los números 2, 3, 4, 5 y 6. La tabla 7-1 muestra algunas potencias de los números usadas a menudo.

Tabla 7-1. Potencias de los números.

Refiriéndonos a la tabla 7-1 (A) vemos que la serie de números

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

comprende todos los cuadrados perfectos de 1 a 100, inclusive. Si alguno de estos números aparece bajo el símbolo de una raíz cuadrada el signo radical puede eliminarse de inmediato.

Lo cual se ilustra así:

Un radicando tal como 75, que tiene un cuadrado perfecto (25) como factor, puede simplificarse de este modo:

Este procedimiento se ilustra de nuevo en los siguientes problemas:

Por referencia a la cuarta potencia perfecta en la tabla 7-1 podemos simplificar un radical tal como . Observando que 405 posee a 81 como factor, que es una cuarta potencia perfecta, tenemos lo siguiente:

Según se demostró para los exponentes fraccionarios, es equivalente a dividir el exponente de una potencia por el índice de la raíz. Si un factor del radicando tiene un exponente que no es múltiplo del índice de la raíz el factor podrá separarse de modo que un exponente sea divisible por el índice, como en

Consideremos además

Si el radicando es un número grande, no siempre son evidentes las potencias perfectas que son factores. En tales casos el radicando puede separarse en factores primos. Por ejemplo,

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Simplificar los radicales y reducir a los términos de menor valor:

 

 

 


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