CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)

 


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Potencias de números complejos. Raíz cuadrada de números complejos. Representación geométrica o gráfica de los números complejos. Sistema de ejes cartesianos. Forma polar o trigonométrica.


 

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Potencias de números complejos. Primeramente conviene calcular las sucesivas potencias de la unidad imaginaria, i.

Como ya se dijo, en las operaciones con estos números se conservan las definiciones y propiedades de que gozan cuando se aplican a números reales, resulta que, como la potencia cero de todo número no nulo es igual a 1, es:

i0 = 1

Además, por carácter idéntico:

  i=i

y, según se ha visto:

  i2 = -1

A i3 se la puede considerar como el producto i2. i; sustituyendo i2 por su valor -1, se tiene:

  i3 = i2 . i = (-1)i = -i, o sea: i3 = -i.

A i4 se la puede considerar como el producto i2 . i2; sustituyendo estas potencias por sus valores, se tiene:

  i4 = i2 . i2=(-1)(-1)=1, o sea: i4 = 1.

A i5 se la puede considerar como el producto i4. i; pero i4 = 1,

luego: i5 = i4 . i = 1 . i = i , o sea: i5 = i

Del mismo modo i6 se la puede considerar como el producto i4. i2, pero: i4 = 1 e i2 = -1, luego:

  i6 = i4. i2 = 1(-1)= -1, o sea: i6 = -1

 

y así siguiendo, resultan las sucesivas potencias de i.

A continuación se indican las 13 primeras potencias de i.

Se observa que a partir de la cuarta potencia comienzan a repetirse los valores ordenadamente.

A continuación se consideran las potencias de un número complejo cualquiera. Dando a un número complejo la forma binómica (a +b i), el cuadrado, el cubo y, en general, la potencia enésima del mismo se obtienen respectivamente como el cuadrado, cubo o potencia enésima de un binomio. El resultado es siempre otro número complejo, al que se llega reemplazando i2, i3, etc., por sus valores y reduciendo los términos semejantes.

reemplazando i2 por su valor -1; e i3 por su valor -i, y simplificando, se tiene:

Raíz cuadrada de números complejos. Hemos visto que las raíces de índice par de números negativos carecen de sentido en el conjunto de los números reales, y se ha visto también en el ejemplo, √ -36, cómo los números complejos resuelven este problema, pues las raíces cuadradas de -36 son los números imaginarios 6i y -6i. En general en el conjunto de los números complejos un número negativo admite dos raíces cuadradas, que son números imaginarios de igual valor absoluto y distinto signo, que se obtienen multiplicando por la unidad imaginaria i las raíces cuadradas del valor absoluto del número dado.

Representación geométrica o gráfica de los números complejos.

REFERIDA A EJES CARTESIANOS. Según se ha visto, la recta está completamente cubierta por los números reales, pues a cada punto de la recta le corresponde un número real, que es su abscisa al origen; por lo tanto, los números complejos no se pueden representar sobre la recta. Para representarlos es preciso recurrir a los puntos del plano haciendo las siguientes consideraciones:

Todo punto del plano referido a un sistema de ejes cartesianos está determinado por sus dos coordenadas: la abscisa y la ordenada.

Así, el punto P tiene las coordenadas (5; 3); el punto Q tiene abscisa 0 y ordenada 4; el punto R tiene coordenadas (-2 ; -1); el punto S tiene coordenadas (4; -2); el punto T tiene abscisa 6 y ordenada 0.

Ahora bien, a cada punto del plano se le hace corresponder el número complejo que tiene por componente real su abscisa y por componente imaginaria su ordenada.

Así:

al punto P le corresponde el número complejo (5;3) = (5+3i)

al punto Q le corresponde el número complejo (0;4) = 4i

al punto R le corresponde el número complejo (-2;-1) = (-2-i)

al punto S le corresponde el número complejo (4/-2) = (4-2i)

al punto T le corresponde el número complejo (6;0) = 6.

RECÍPROCAMENTE:

A cada complejo le corresponde el punto del plano cuya abscisa es la componente real y su ordenada la componente imaginaria.

Así: al número complejo (-3 ; 2) =-3 +2i le corresponde el punto A de abscisa -3 y ordenada 2.

 

Es inmediato que todo número imaginario que tiene componente real 0, tiene el punto que le corresponde sobre el eje de las ordenadas.

Así al número (0; 3) = 3i le corresponde el punto B; al número (0; -2) =-2i le corresponde el punto C. Todos los números reales, que son los complejos que tienen componente imaginaria 0, están representados en el eje de las x.

Por ejemplo, al número (5; 0) = 5 le corresponde el punto D.

En particular, a la unidad real 1 = (1 ; 0) le corresponde el punto U y a la unidad imaginaria (0; 1) = i le corresponde el punto I.

Existe, pues, una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de los números complejos. Cada punto se llama afijo del número complejo que representa.

FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA. Según se acaba de ver, al complejo de componentes a; b le corresponde el punto P de abscisa a y ordenada b.

Si se considera el vector que tiene por origen el origen 0 de coordenadas, y por extremo el punto P , es decir, OP, el módulo de este vector se llama módulo del complejo (a; b).

En general, se lo designa con la letra ρ, es decir:

módulo de (a; b) = ρ

y es inmediato que:

El ángulo que forma dicho vector con el semieje positivo de las x en el sentido que indica la flecha (contrario al de las agujas del reloj), en este caso ω, se llama argumento del número complejo (a; b).

Se tiene que:

Sumando miembro a miembro [1] y [2], se tiene:

Sacando ρ factor común en el 2º miembro, resulta:

Esta nueva forma de escribir un número complejo se llama forma módulo argumental o polar o trigonométrico.

EJEMPLO:

Escribir en forma polar el número complejo √3 + i

En este caso:

   a=√3 y b=1

por lo tanto:

 

 

 


 


 

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