Matemáticas: Potencias de números complejos. Raíz cuadrada de números complejos.

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Potencias de números complejos. Raíz cuadrada de números complejos. Representación geométrica o gráfica de los números complejos. Sistema de ejes cartesianos. Forma polar o trigonométrica. Operaciones fundamentales con números complejos.

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Ver temas previos : Adición, sustracción, multiplicación y división en el conjunto de los números complejos

Potencias de números complejos. Primeramente conviene calcular las sucesivas potencias de la unidad imaginaria, i.

Como ya se dijo, en las operaciones con estos números se conservan las definiciones y propiedades de que gozan cuando se aplican a números reales, resulta que, como la potencia cero de todo número no nulo es igual a 1, es:

i⁰ = 1

Además, por carácter idéntico:

i=i

y, según se ha visto:

i² = -1

A i³ se la puede considerar como el producto i². i; sustituyendo i² por su valor -1, se tiene:

i³ = i² . i = (-1)i = -i, o sea: i³ = -i.

A i⁴ se la puede considerar como el producto i² . i²; sustituyendo estas potencias por sus valores, se tiene:

i⁴ = i² . i²=(-1)(-1)=1, o sea: i⁴ = 1.

A i⁵ se la puede considerar como el producto i⁴. i; pero i⁴ = 1,

luego: i⁵ = i⁴ . i = 1 . i = i , o sea: i⁵ = i

Del mismo modo i⁶ se la puede considerar como el producto i⁴. i², pero: i⁴ = 1 e i² = -1, luego:

i⁶ = i⁴. i² = 1(-1)= -1, o sea: i⁶ = -1

y así siguiendo, resultan las sucesivas potencias de i.

A continuación se indican las 13 primeras potencias de i.

Se observa que a partir de la cuarta potencia comienzan a repetirse los valores ordenadamente.

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A continuación se consideran las potencias de un número complejo cualquiera. Dando a un número complejo la forma binómica (a +b i), el cuadrado, el cubo y, en general, la potencia enésima del mismo se obtienen respectivamente como el cuadrado, cubo o potencia enésima de un binomio. El resultado es siempre otro número complejo, al que se llega reemplazando i², i³, etc., por sus valores y reduciendo los términos semejantes.

reemplazando i² por su valor -1; e i³ por su valor -i, y simplificando, se tiene:

Raíz cuadrada de números complejos. Hemos visto que las raíces de índice par de números negativos carecen de sentido en el conjunto de los números reales, y se ha visto también en el ejemplo, √ -36, cómo los números complejos resuelven este problema, pues las raíces cuadradas de -36 son los números imaginarios 6i y -6i. En general en el conjunto de los números complejos un número negativo admite dos raíces cuadradas, que son números imaginarios de igual valor absoluto y distinto signo, que se obtienen multiplicando por la unidad imaginaria i las raíces cuadradas del valor absoluto del número dado.

Representación geométrica o gráfica de los números complejos.

REFERIDA A EJES CARTESIANOS. Según se ha visto, la recta está completamente cubierta por los números reales, pues a cada punto de la recta le corresponde un número real, que es su abscisa al origen; por lo tanto, los números complejos no se pueden representar sobre la recta. Para representarlos es preciso recurrir a los puntos del plano haciendo las siguientes consideraciones:

Todo punto del plano referido a un sistema de ejes cartesianos está determinado por sus dos coordenadas: la abscisa y la ordenada.

Así, el punto P tiene las coordenadas (5; 3); el punto Q tiene abscisa 0 y ordenada 4; el punto R tiene coordenadas (-2 ; -1); el punto S tiene coordenadas (4; -2); el punto T tiene abscisa 6 y ordenada 0.

Ahora bien, a cada punto del plano se le hace corresponder el número complejo que tiene por componente real su abscisa y por componente imaginaria su ordenada.

Así:

al punto P le corresponde el número complejo (5;3) = (5+3i)

al punto Q le corresponde el número complejo (0;4) = 4i

al punto R le corresponde el número complejo (-2;-1) = (-2-i)

al punto S le corresponde el número complejo (4/-2) = (4-2i)

al punto T le corresponde el número complejo (6;0) = 6.

RECÍPROCAMENTE:

A cada complejo le corresponde el punto del plano cuya abscisa es la componente real y su ordenada la componente imaginaria.

Así: al número complejo (-3 ; 2) =-3 +2i le corresponde el punto A de abscisa -3 y ordenada 2.

Es inmediato que todo número imaginario que tiene componente real 0, tiene el punto que le corresponde sobre el eje de las ordenadas.

Así al número (0; 3) = 3i le corresponde el punto B; al número (0; -2) =-2i le corresponde el punto C. Todos los números reales, que son los complejos que tienen componente imaginaria 0, están representados en el eje de las x.

Por ejemplo, al número (5; 0) = 5 le corresponde el punto D.

En particular, a la unidad real 1 = (1 ; 0) le corresponde el punto U y a la unidad imaginaria (0; 1) = i le corresponde el punto I.

Existe, pues, una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de los números complejos. Cada punto se llama afijo del número complejo que representa.

FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA. Según se acaba de ver, al complejo de componentes a; b le corresponde el punto P de abscisa a y ordenada b.

Si se considera el vector que tiene por origen el origen 0 de coordenadas, y por extremo el punto P , es decir, OP, el módulo de este vector se llama módulo del complejo (a; b).

En general, se lo designa con la letra ρ, es decir:

módulo de (a; b) = ρ

y es inmediato que:

El ángulo que forma dicho vector con el semieje positivo de las x en el sentido que indica la flecha (contrario al de las agujas del reloj), en este caso ω, se llama argumento del número complejo (a; b).

Se tiene que:

Sumando miembro a miembro [1] y [2], se tiene:

Sacando ρ factor común en el 2º miembro, resulta:

Esta nueva forma de escribir un número complejo se llama forma módulo argumental o polar o trigonométrico.

EJEMPLO:

Escribir en forma polar el número complejo √3 + i

En este caso:

a=√3 y b=1

por lo tanto:

OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS COMPLEJOS

1. Efectuar cada una de las operaciones indicadas

(a) (3 + 2i) + (-7 -i) =3-7 + 2i -i = -4 + i

(b) (-7 -i) + (3 + 2i) = -7 + 3 -i + 2i = -4 + i

Los resultados (a) y (b) ilustran la ley conmutativa de la adición.

(c) (8 - 6i) - (2i - 7) = 8 - 6i - 2i + 7 = 15 - 8i

(d) (5 + 3i)+ {(-1 + 2i) + (7-5i)} = (5 + 3i) + {-1+2i+7 -5i} = (5 + 3i) + (6 - 3i) = 11

(e) {(5 + 3i) + (-1+2i)} + (7 - 5i) = {5 + 3i -1 + 2i} + (7 - 5i) = (4 + 5i) + (7 - 5i) = 11

Los resultados (d) y (e) ilustran la ley asociativa de la adición.

(f) (2 - 3i)(4+ 2i) = 2(4+ 2i) - 3i(4+ 2i) = 8+ 4i - 12i - 6i² = 8 + 4i -12i + 6 = 14 - 8i

(g) (4 + 2i)(2 - 3i) = 4(2 - 3i) + 2i(2-3i) = 8 -12i + 4i - 6i² = 8 - 12i + 4i + 6 = 14-8i

Los resultados (f) y (g) ilustran la ley conmutativa de la multiplicación.

(h) (2 - i) {(-3 + 2i)(5 -4i)} = (2 - i){-15 + 12i + 10i -8i²} = (2-i)(-7 + 22i) =-14 + 44i + 7i -22i² = 8+ 51i

(i) {(2 - i)(-3 + 2i)}(5 - 4i) = {-6+ 4i +3i -2i²}(5 - 4i) = (-4+7i)(5-4i) = -20 + 16i +35i -28i² = 8+ 51i

Los resultados (h) e (i) ilustran la ley asociativa de la multiplicación.

(j) (-1 + 2i){(7 - 5i) + (-3 + 4i)} = (-1 + 2i)(4 - i) = -4 + i + 8i -2i² = -2 + 9i

Otro método. (-1 + 2i){(7 - 5i) + (-3+ 4i)} = (-1 + 2i)(7 -5i) + (-1 + 2i)(-3 + 4i)

={-7+ 5i + 14i -10i²} + {3 - 4i -6i-t-i²}

= (3+ 19i) + (-5 -10i)

= -2 + 9i

Este resultado ilustra la ley distributiva.

Otro método. Por definición, (3 -2i) / (-1 + i) es el número a + bi, donde a y b son reales, tal que (-1 + i)(a + bi) = -a - b + (a -b)i =3 - 2i. Entonces -a -b = 3, a -b = -2 y se resuelven simultáneamente, a = -5/2, b = -1/2 o a + bi = -5/2 -i/2.