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Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden


 

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Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las matemáticas de la ingeniería debido a que muchas leyes y relaciones físicas se expresan matemáticamente mediante esas ecuaciones. Consideraremos  en estas páginas varios problemas físicos y geométricos que conducen a ecuaciones diferenciales y los métodos estándar más importantes para resolverlas. En general, estos métodos se relacionan con la integración.

Pondremos atención particular a la deducción de las ecuaciones diferenciales a partir de situaciones físicas dadas. Esta transición, del problema físico al "modelo matemático" correspondiente, tiene gran importancia práctica y se ilustrará por medio de ejemplos típicos.

Veremos aquí las más sencillas de estas ecuaciones, llamadas ecuaciones de primer orden.

Conceptos e ideas básicos

A continuación se definirán y explicarán los conceptos básicos que tienen importancia en relación con las ecuaciones diferenciales y se ilustrarán estos conceptos mediante ejemplos. Luego, se considerarán dos problemas prácticos sencillos tomados de la física y la geometría. Esto proporcionará una primera idea de las características y utilidad de las ecuaciones diferenciales y de su aplicación.

Por ecuación diferencial ordinaria se entiende una relación que contiene una o varias derivadas de una función no especificada y de x, con respecto a x; la relación también puede contener a la propia y, funciones dadas de x y constantes. Por ejemplo,

son ecuaciones diferenciales ordinarias.

El término ordinaria la distingue de una ecuación diferencial parcial, la cual contiene derivadas parciales de una función no especificada de dos o más variables independientes. Por ejemplo,

es una ecuación diferencial parcial. En éstas páginas sólo se considerarán ecuaciones diferenciales ordinarias.

Se dice que una ecuación diferencial ordinaria es de orden n, si la máxima derivada de y en esa ecuación es la n-ésima derivada de y con respecto a x.

La noción de orden de una ecuación diferencial conduce a una clasificación útil de las ecuaciones en ecuaciones de primer orden, segundo orden, etcétera. Por tanto, (1) es una ecuación de primer orden, (2) es de segundo orden y (3) es de tercer orden.

Se considerarán aquí las ecuaciones de primer orden.

Una función

es una solución de una ecuación diferencial de primer orden dada en algún intervalo, digamos a < x < b (quizás infinito) si está definida y es diferenciable en todo el intervalo y es tal que la ecuación se transforma en una identidad cuando se remplazan g y g', en lugar de y y y', respectivamente.

Por ejemplo, la función

 

e, introduciendo g y g', se ve que la ecuación se reduce a la identidad

En ocasiones, la solución de una ecuación diferencial será una función implícita, es decir, estará dada implícitamente en la forma

entonces se conoce como solución implícita, en contraste a la solución explícita, (4).

Por ejemplo,

es una solución implícita de la ecuación diferencial

en el intervalo -1 < x < 1, tal como el estudiante puede verificar.

La tarea principal de la teoría de las ecuaciones diferenciales es hallar todas las soluciones de una ecuación diferencial dada e investigar sus propiedades.

Se estudiarán varios métodos estándar que se desarrollaron con ese objeto.

Una ecuación diferencial puede tener muchas soluciones. Ilustremos este hecho por medio de los ejemplos siguientes.

Ejemplo 1. Cada una de las funciones

es una solución de la ecuación diferencial (1),

 

y, con base en el cálculo, se sabe que cualquier solución de la ecuación es de la forma

donde c es una constante. Si se considera c como arbitraria, entonces (5) representa la totalidad de las soluciones de la ecuación (ver figura 1).

Ejemplo 2, El estudiante puede verificar que cada una de las funciones

es una solución de la ecuación diferencial

                       y' =y

para toda x. Posteriormente se verá que cualquier solución de esta ecuación es de la forma

donde c es una constante. De donde, la fórmula (7), con c arbitraria, representa la totalidad de las soluciones de la ecuación (ver figura 2).

Estos ejemplos ilustran que una ecuación diferencial puede tener (y, en general, tendrá) más de una solución, incluso un número infinito de soluciones, que pueden representarse mediante una sola fórmula que contiene una constante arbitraria c. Se acostumbra llamar solución general de la ecuación diferencial correspondiente, a esa función que contiene una constante arbitraria (Nota : En algunos casos es posible que tenga que restringirse el conjunto de valores para la constante, a fm de evitar las expresiones imaginarias u otras degeneraciones). Si se asigna un valor definido a esa constante, entonces la solución así obtenida se llama solución particular.

Así, (7) es una solución general de la ecuación y' = y y las (6) son soluciones particulares.

Hay algunos casos pueden haber más soluciones de una ecuación dada que no pueden obtenerse asignando un valor definido a la constante arbitraria en la solución general; entonces una solución de este tipo se conoce como solución singular de la ecuación.

Por ejemplo, la ecuación

que representa una familia de rectas donde cada una corresponde a un valor definido de c. Una solución más es

y como esta solución no puede obtenerse asignando un valor definido a c en la solución general, es una solución singular. Obviamente, cada solución particular representa una tangente a la parábola representada por la solución singular (figura 3).

 

Las soluciones singulares rara vez se encuentran en los problemas de ingeniería. Se debe notar que en algunas publicaciones matemáticas, la noción de solución general significa una fórmula que incluye todas las soluciones de una ecuación, es decir, tanto las particulares como las singulares, No adoptaremos aquí esta definición por dos razones. Primero que nada, frecuentemente es bastante difícil probar que una fórmula particular incluye todas las soluciones y, por tanto, esa definición de solución general en realidad no tiene utilidad desde el punto de vista práctico. Además, se verá que una clase grande y muy importante de ecuaciones (las llamadas ecuaciones diferenciales lineales) no tienen soluciones singulares y nuestra definición de solución general fácilmente puede generalizarse hacia las ecuaciones de orden superior de manera que la noción resultante incluya todas las soluciones de una ecuación diferencial que sea lineal.

Se verá que las condiciones bajo las cuales una ecuación diferencial dada tiene soluciones, son bastante generales. Pero debe notarse que existen ecuaciones sencillas que no tienen soluciones en lo absoluto y otras que no tienen una solución general. Por ejemplo, la ecuación

               y'2 = -1

no tiene solución para y real, como es obvio; la ecuación

                     |y'|  + |y|  = 0

no tiene solución general, porque su única solución es

y ≡ 0.

Las ecuaciones diferenciales tienen una gran importancia en la ingeniería, porque muchas leyes y relaciones físicas se obtienen matemáticamente en forma de ecuaciones diferenciales.

Consideremos un ejemplo físico sencillo que ilustrará los pasos típicos que conducen de la situación física a su planteamiento y solución matemáticos. Esta puede ser la forma más fácil de obtener una primera idea de la naturaleza y propósito de las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones.

Ejemplo 3. (Radiactividad, decaimiento exponencial). Los experimentos demuestran que una substancia radiactiva se descompone a una rapidez proporcional a la cantidad existente de dicha substancia. Empezando con una cantidad dada de substancia que hay en cierto instante, por ejemplo, 2 gramos en el tiempo t =0, ¿qué puede decirse acerca de la cantidad de substancia que habrá en un instante posterior?

Primer paso (Descripción matemática del proceso físico mediante una ecuación diferencial).

Denotemos por y(t) la cantidad de substancia que todavía haya en el instante t. La rapidez de cambio es dy/dt. De acuerdo con la ley que regula el proceso de radiación, dy/dt es proporcional a y. De donde,

donde k es una constante física definida cuyo valor numérico se conoce para varias substancias radiactivas. (Por ejemplo, en el caso del radio, k ≈ -1.4 • 10-11 seg -1.) Evidentemente, como la cantidad de substancia es positiva y decrece con el tiempo, dy/dt es negativa y, por tanto, también lo es k. Se puede apreciar que el proceso físico en cuestión se describe matemáticamente por medio de una ecuación diferencial lineal ordinaria de primer orden. Siempre que una ley física esté relacionada con una rapidez de cambio de una función, como la velocidad, aceleración, etc., conducirá a una ecuación diferencial. Por esta razón, frecuentemente se encuentran ecuaciones diferenciales en los problemas físicos y de ingeniería.

Segundo paso (Resolver la ecuación diferencial). En esta primera etapa de nuestro estudio, no tenemos a nuestra disposición método matemático alguno para resolver (9). Sin embargo, se ve que si (9) tiene una solución y(t), su derivada debe ser proporcional a y. Recuérdese, de lo aprendido en cálculo, que las funciones exponenciales tienen esta propiedad. En efecto, una solución de (9) para toda t es la función ekt o, más generalmente,

donde c es cualquier constante, como puede verificarse fácilmente substituyendo (10) en (9). Dado que (10) contiene una constante arbitraria, es una solución general de la ecuación de primer orden (9). [Se verá que (10) incluye todas las soluciones de (9), es decir, (9) no tiene soluciones singulares.]

Tercer paso (Determinación de una solución particular). Es evidente que este proceso físico tiene un comportamiento único y, por tanto, puede esperarse que usando olguna información adicional podrá seleccionarse un valor numérico definido de c en (10), de modo que la solución particular resultante describirá el proceso apropiadamente.

La cantidad de substancia y(t) que todavía quede en el instante t dependerá de la cantidad inicial de substancia dada. Esta cantidad es de 2 gramos en t = 0. De aquí que tiene que especificarse el valor de c de modo que y = 2 cuando t = 0. Introduciendo esta condición inicial.

en (10), se obtiene

Esta solución particular de (9) caracteriza la cantidad de substancia que aún haya en cualquier instante t ≥ 0. La constante física k es negativa y y(t) decrece, como se muestra en la figura 4.

Figura 4. Radiactividad. (Decaimiento exponencial).

Cuarto paso (Comprobación). De (12) se tiene

La función (12) satisface la ecuación (9) así como la condición inicial (11).

El estudiante nunca debe olvidar el importante paso final que le muestra si la función es (o no es) la solución del problema.

Ilustremos qué problemas geométricos también pueden conducir a ecuaciones diferenciales.

Ejemplo 4. Hallar la curva que pasa por el punto (1, 1) en el plano xy y que tiene en cada uno de sus puntos la pendiente -y/x. Evidentemente, la función que representa la curva deseada debe ser una solución de la ecuación diferencial

En otra página se aprenderá a resolver una ecuación así. Por el momento, el estudiante puede verificar que

es una solución de (13) para cualquier valor de la constante c. Algunas de las curvas correspondientes se muestran en la figura 5. Ahora bien, debe tenerse y = 1 cuando x =1, Y esto conduce a c =1. De aquí que la solución del problema es la hipérbola

Figura 5. Soluciones de y' = -y/x.

 

 

 

 


 


 

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