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Números Reales


 

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LOS NÚMEROS REALES

En la presente sección haremos una presentación relativamente informal de los números reales.

Si bien sabemos, una teoría matemática debe desarrollarse rigurosamente, no es esa la situación cuando esa teoría es enseñada, sobre todo en los niveles elementales. Con esto no queremos decir que el rigor lógico deba ser abandonado por completo sino que, en lo relativo a la enseñanza; rigor significa fundamentalmente honestidad y claridad. Claridad en la presentación de los temas: definiciones y teoremas deben ser enunciados con precisión. Y honestidad en cuanto a poner de manifiesto explícitamente los momentos en que se presentan resultados sin una adecuada fundamentación.

Desde épocas muy remotas y especialmente con el avance de la integración del hombre en sociedad, surgió la necesidad de contar y medir. Contar cuantos objetos hay en una colección; medir longitudes, volúmenes, pesos, etc.

Los llamados números naturales 1, 2, 3, 4, ....., dieron una respuesta adecuada al problema de contar, pero no así al de medir. Esto se debe a que para medir es necesario contar con una gradación continua de magnitudes, y los números naturales presentan una gradación discreta. Con esto queremos decir, por ejemplo, que si habiendo elegido una unidad de longitud queremos medir la longitud de un objeto que mide más de dos unidades pero menos de tres, los números naturales no nos alcanzan para resolver adecuadamente el problema. Surgió así la idea de extender el concepto de número, con el objetivo de llegar a disponer de un "continuo" de números.

El primer paso en esta dirección lo constituyen las fracciones. Como recordaremos, estas son introducidas como cocientes a/b de números naturales. Este es un gran paso en la dirección adecuada pero, como veremos pronto, no resuelve totalmente el problema.

Números naturales y fracciones eran conocidos desde tiempos muy remotos: símbolos numéricos han sido encontrados en las cavernas del hombre prehistórico, tanto en Europa como en Asia y Africa, y hay indicios para pensar que la numeración precedió al lenguaje escrito. Posteriormente, en los primeros siglos de nuestra era, surgieron en la India la idea del 0 y la de los números negativos. Llegamos así a los números enteros, que son los naturales, el cero y los negativos de los naturales.

Pero volvamos a las fracciones. Podemos extender la idea primitiva de fracción para abarcar también fracciones negativas, las que pueden definirse como cocientes a/b de números enteros con denominador no nulo.

Ahora bien: hay fracciones que representan el mismo número. Por ejemplo 1/2, 2/4, 3/6, 53/106, etc. Ocurre esto, es decir, dos fracciones a/b y c/d representan el mismo número, cuando ad = bc. Es muy fácil ver por qué esto es así. Tomemos por ejemplo 1/2 y 53/106,

Este razonamiento es general: podemos probar que "si ad = bc, b≠0, d ≠ 0, entonces a/b = c/d"

EJERCICIOS

1. Analizar los pasos de la demostración anterior, poniendo de manifiesto las definiciones, axiomas y teoremas utilizados. ¿Es necesario suponer que a, b, c y d son números enteros?

Suele decirse que dos fracciones relacionadas entre sí de esta manera son equivalentes y representan el mismo número racional. En particular, si b es un número entero negativo, es decir es el negativo de un número natural n:

Esto quiere decir que todo cociente de enteros con denominador no nulo puede escribirse como un cociente de enteros con denominador natural. En adelante, para evitar ambigüedades, adoptaremos siempre esta última forma.

Los números racionales son entonces los cocientes de números enteros con denominador natural, considerando equivalentes a dos cocientes a/b y c/d si ad = bc. Todo esto puede ser formalizado mediante el concepto de cociente por una relación de equivalencia, pero no lo haremos aquí.

Resumiendo, tenemos hasta ahora los números naturales

1, 2, 3, 4, 5, .......

números enteros

...... , - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, .....

y números racionales, que son aquellos que pueden escribirse como cocientes de enteros con denominador natural.

Es costumbre, que adoptaremos también aquí, simbolizar con las letras N, Z y Q a los conjuntos de números naturales, enteros y racionales respectivamente. Observemos que

donde la última inclusión resulta del hecho de que cualquier número entero a puede identificarse con el racional a/1.

Como el lector de ésta página sin duda sabrá, puede hacerse una representación geométrica muy útil de los números racionales de la siguiente manera: en una recta, que por comodidad suele dibujarse horizontalmente, se eligen dos puntos diferentes. Al de la izquierda se le asigna el número 0 y al otro el 1.

A partir de esto, y tomando la longitud del segmento que une los dos puntos como unidad podemos asignar puntos a cada número de manera "natural".

Veamos algunos ejemplos.

Esta idea nos permite tener una imagen geométrica muy sugestiva y útil de los números racionales. En particular, nuestro objetivo de alcanzar un "continuo" de números sería equivalente a tener un número para cada punto de la recta. ¿Lo hemos logrado? En primer lugar, observemos lo siguiente: los puntos correspondientes a los números enteros aparecen "muy separados" en la recta.

Para los números racionales parece no ser así. Más precisamente: si a/b y c/d son números racionales, que

significa por definición que ad < bc.

Veamos que, si éste es el caso, el número racional

(es decir el promedio de los números dados) está entre ambos números, o sea

Dejamos la otra parte de la demostración a cargo del lector como ejercicio.

EJERCICIOS

2. Analizar los pasos de la demostración anterior, explicitando los axiomas, definiciones o teoremas usados.

3. Completar la demostración anterior.

Lo que hemos demostrado es entonces que dados dos números racionales cualesquiera siempre hay otro racional entre ellos. Intuitivamente esto significa que los puntos correspondientes a números racionales están muy "apretados" en la recta, por lo que esta propiedad recibe el nombre de densidad de los números racionales.

Esto parecería indicar que a todo punto de la recta corresponde algún número racional, pero como veremos esto no es así. Comencemos por realizar una construcción geométrica: en el punto de la recta correspondiente al número 1, tracemos un segmento vertical de longitud 1, y cerremos un triángulo rectángulo uniendo el extremo de este segmento con el punto de la recta correspondiente al 0.

Los catetos de este triángulo rectángulo miden 1 por construcción y en consecuencia, por el teorema de Pitágoras

donde hemos llamado h a la longitud de la hipotenusa. Esta mide entonces

Si ahora trasladamos esta longitud a la recta, haciendo por ejemplo centro en 0 con un compás y trazando un arco que una el vértice superior del triángulo con la recta

obtenemos un punto en la misma que, por construcción, corresponde al número

¿Es éste un número racional? Veamos que no.

Teorema 1

No existe ningún número racional cuyo cuadrado sea 2.

Demostración:

Demostraremos el teorema por reducción al absurdo: a partir de suponer que existe tal número racional llegaremos a una contradicción. Supongamos que existe entonces un número racional a/b cuyo cuadrado es 2:

(a/b)2 = 2

Podemos suponer que a y b no tienen factores comunes, ya que si los tuvieran, podríamos simplificarlos.

Como (a/b)2 = a2/b2, la igualdad anterior puede escribirse:

a2 = 2b2

Esto significa que a2 es un número par y en consecuencia a también lo es es decir a = 2p, con p entero. Entonces

Pero esto quiere decir que b2 es un número par, y en consecuencia b también lo es. Esto contradice el hecho de que a y b no tenían factores comunes, con lo que concluye la demostración.

El resultado que acabamos de probar, interpretado geométricamente, nos muestra que hay puntos de la recta a los que no corresponde ningún número racional. Dicho en términos intuitivos: la "recta racional" tiene "huecos". ¿Podemos asignar algún tipo de número a estos huecos? Para responder a esta pregunta miraremos a los números racionales desde otro punto de vista: su representaóón decimal.

¿En qué consiste esta representación decimal?

Consideremos, para comenzar, la representación decimal de los números naturales.

Los antiguos sistemas de numeración, sumerio, egipcio, fenicio, griego, romano, etc., si bien resultaban relativamente aptos para registrar cantidades, no lo eran de ninguna manera para operar con ellas. Trate el lector por ejemplo de efectuar una multiplicación o una división utilizando números romanos y se convencerá de la validez de esta afirmación. Esto fue causa de la enorme dificultad y lentitud con que la aritmética fue desarrollándose a lo largo de los siglos, y la razón por la cual el hombre experto en el cálculo era considerado poseedor de poderes sobrenaturales.

Reproduciremos a continuación una ilustrativa anécdota citada por Tobias Dantzig en su muy interesante libro: "El Número, lenguaje de la Ciencia":

"Hay una anécdota de un mercader alemán del siglo XV, que aún cuando no la puedo autenticar, es tan característica de la situación existente entonces que no puedo resistir a la tentación de contarla. El mercader tenía un hijo al cual deseaba dar una sólida educación comercial. Llamó a un eminente profesor de la universidad para preguntarle a dónde debía mandar a su hijo. El profesor contestó que si los conocimientos del joven debían limitarse a la adición y sustracción, probablemente en una universidad alemana podría obtener esta instrucción; pero que si quería que llegara hasta la multiplicación y la división, como estas habían sido muy estudiadas en Italia, solamente en ese país pensaba él que podría aprenderlas."

 

En los primeros siglos de nuestra era había sido descubierto en la India el principio de numeración de posición que consiste en asignar a cada símbolo, además de su significado propio, un significado dependiente de la posición que ocupa el símbolo dentro de la escritura. Este principio logró superar en gran medida las limitaciones de los antiguos sistemas de numeración, y permitió desarrollar reglas de cálculo claras y relativamente sencillas. Las dificultades mencionadas por Dantzig no se deben probablemente entonces tanto a las limitaciones propias de los sistemas como a la extrema lentitud con que estas ideas se difundieron por el mundo. Veamos un ilustrativo relato de Charles Dickens sobre la historia del Parlamento Inglés:

"Hace algunos siglos, una forma salvaje de llevar las cuentas mediante palos marcados fue introducida en la Tesorería Real, y las cuentas se llevaron más o menos como Robinson Crusoe llevaba su calendario en la isla desierta. Una multitud de contadores, tenedores de libros y actuarios habían nacido y muerto, y todavía la rutina oficial se aferraba a esos palos enmuescados como si fueran los pilares de la Constitución; las cuentas de la Tesorería seguían haciéndose sobre unas astillas de madera de olmo llamadas "tallies". En el reinado de Jorge III fue hecha una encuesta por algún espíritu revolucionario, el cual pensó que, dada la existencia de plumas, tinta, papel, pizarras y lápices, no había ninguna razón para perseverar en esta costumbre anticuada y sí para adoptar algún sistema más moderno. Pero la burocracia se obstinó en su rutina, y los palos no fueron suprimidos hasta 1826. En 1834 se advirtió que existían grandes cantidades de esos palos, y se planteó la cuestión sobre lo que había que hacer con esos viejos restos de madera podrida, usados y comidos por los gusanos. Se los alojó en Westminster, y una persona inteligente pensó que lo mejor que se podría hacer era dístribuirlos a los pobres del vecindario para leña. Sin embargo, jamás habían sido últiles para nada y la rutina oficial requería que tampoco debían serlo nunca, por lo que fue dada la orden de quemarlos secretamente. Sucedió que los quemaron en una estufa de la Cámara de los Lores; la estufa, repleta de estas absurdas maderas prendió fuego a las vigas del recinto y el incendio se propagó a la Cámara de los Comunes; los dos palacios quedaron reducidos a cenizas; se convocó a los arquitectos para construir otros y hasta ahora llevamos gastados dos millones."

El sistema de numeración de posición, que utilizamos actualmente y conocemos desde la escuela primaria, utiliza sólo 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, llamados dígitos, y nos dice que cada dígito tiene un valor diferente según la posición que ocupe en el número. Así, hay lugares para las unidades, las decenas, las centenas, etc. Por ejemplo, cuando escribimos

34528

estamos representando en esta forma abreviada el número

3 x 10000 + 4 x 1000 + 5 x 100 + 2 x 10 + 8 =

= 3 x 104 + 4 x 103 + 5 x 102 + 2 x 101 + 8 x 100

Este sistema de numeración, en base 10, recibe el nombre de decimal. No es el único sistema de posición en uso: también es muy usado en la actualidad, sobre todo en computación, el sistema binario, en base 2, que utiliza sólo dos símbolos: 0 y 1.

EJERCICIOS

4. Trate de justificar las reglas usuales para realizar las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de números naturales.

5. Analice el siguiente "método rústico ruso de multiplicación", ejemplificado multiplicando 19 por 37: debajo de 19 escribimos el cociente 9 que resulta de la división de 9 por 2; bajo este 9 escribimos el cociente 4 de su división por 2, etc,

hasta que se alcanza necesariamente el 1 (¿por qué?). En una columna paralela a estos números escribimos, enfrentados a los mismos, el otro factor, 37, su duplo 74, el duplo del mismo, 148, etc. Desechamos los números de la segunda columna enfrentados a números pares de la primera: en el ejemplo 148 y 296, que por esa razón aparecen entre paréntesis, y sumamos los restantes, la suma, 703, es el producto de 19 por 37. Efectúe otros productos con este método, generalice el procedimiento y trate de justificarlo.

6. Teniendo una fila de platos ante mí, tomo una cantidad de porotos y la divido en dos partes iguales. Coloco una de estas partes en el primer plato y la otra en una caja, poniendo el posible poroto restante frente al primer plato. Tomo ahora la pila de porotos que está en este plato, la divido en dos partes iguales, coloco una de ellas en el segundo plato y la otra en la caja, poniendo el posible poroto restante frente al segundo plato. Continúo este proceso hasta que todos los porotos están en la caja o frente a los platos, quedándome entonces 1 poroto frente a los platos 1, 2, 5 y 6 y todos los demás en la caja. ¿De cuántos porotos partí?

7. Método rápido para elevar al cuadrado un número terminado en 5: omita el 5 y multiplique el número que queda por su siguiente, colocando 25 a continuación del resultado obtenido. Por ejemplo, para calcular 752 multiplique 7 por 8, y al resultado, 56, agréguele a continuación 25, obteniendo 5625, que es el cuadrado buscado. Pruebe el método con otros ejemplos, analícelo y procure justificarlo.

8. ¿Funcionan métodos análogos a los del ejercicio 7 con otros números? ¿Por qué?

9. Piense un dígito distinto de cero, multiplíquelo por 5, réstele 4, duplique el resultado, súmele cualquier dígito, súmele 8. ¿Qué relación hay entre el resultado y los dígitos elegidos? Trate de justificar.

10. Invente un proceso similar al del ejercio 9.

11. Enuncie los criterios de divisibilidad de números naturales por 2, 3, 4, 5 y 9 y trate de justificarlos.

Volvamos ahora a los números racionales. Por definición, un número racional puede pensarse como un cociente a/b donde a es un entero y b es natural. En algunos casos este cociente es entero. Por ejemplo

4/2 = 2      -27/3 = -9        56/7 = 8        13/1 = 13

Esto ocurre, evidentemente, cuando a es múltiplo de b. Pero como el lector de estas páginas sabrá, cuando ese no es el caso la división puede aún efectuarse, aunque su resultado no es exacto. Más precisamente, podemos enunciar el siguiente.

Teorema 2

Sean a ∈ Z, b ∈ N. Entonces existen números enteros q y r tales que

a=b.q+r                                                                            (1)

y

0 ≤ r < b                                                                           (2)

Más aún, estos números q y r son únicos (lo cual quiere decir que no existen enteros q' y r', distintos de q y r, que cumplan (1) y (2).

Los números q y r se llaman cociente y resto, respectivamente, de la división de a por b, en tanto que a se llama dividendo y b divisor.

No daremos la demostración de este teorema, por requerir conocimientos que no hemos desarrollado. Pero veamos algunos ejemplos: sean a = 345, b = 7. Entonces.

EJERCICIOS

12. Encontrar el cociente y el resto de dividir a por b en los casos:

a) a = 1328, b = 5

b) a = -1328, b = 5

c) a = 336, b = 6

d) a = 0, b = 7

13. Demostrar que todo número entero es par o impar.

14. Verificar que, en la justificación de las conjeturas de los ejercicios 32 y 33 de la página debió utilizarse el Teorema 2.

Es fácil convencerse intuitivamente de la validez del teorema que acabamos de enunciar. En efecto, consideremos los números de la forma b.p, con p entero. Los puntos que representan a estos números están igualmente espaciados en la recta, cada uno de ellos a distancia b del anterior y del siguiente

 

y está claro que, cualquiera sea a , a estará comprendido en uno sólo de los segmentos determinados por puntos b.p sucesivos, conviniendo en que si a coincide con uno de esos puntos, lo consideramos incluido en el segmento que queda a su derecha. Si llamamos q al valor de p correspondiente al extremo inferior del segmento tendremos entonces

b.q ≤ a < b.(q + 1)

lo que geométricamente significa que el punto correspondiente a a está comprendido entre los puntos correspondientes a b.q y b.(q + 1) respectivamente pudiendo eventualmente coincidir con b.q. Como la distancia entre b.q y b.(q + 1) es b, la distancia entre a y b.q es menor que b (y mayor o igual que 0).

Pero la distancia entre a y b.q está dada por la diferencia entre los dos números, entonces si llamamos r a esa diferencia

r = a - b.q

tenemos, resumiendo

a = b.q + r

con

0 ≤ r < b   

La igualdad (1) y las desigualdades (2) pueden escribirse en la forma

a/b = q + r/b                                                                   (1 ')

0 ≤ r/b <1                                                                        (2')

las que nos muestran que el cociente q es el mayor entero que es menor o igual que a/b, ya que la diferencia entre a/b y q es r/b, que es menor que 1.

Por esta razón q recibe el nombre de parte entera del número racional a/b, mientras r/b se llama parte decimal de a/b.

Como el lector de estas páginas sabrá, cuando la división entre a y b no es exacta, es decir cuando el resto no es cero, el proceso de división puede ser continuado "bajando un cero, poniendo coma en el cociente y prosiguiendo la división".

Por ejemplo

¿Qué significa esto? "Bajar un cero" es agregar un cero al resto, es decir, multiplicarlo por 10. Pero para no alterar la operación debemos también dividirlo por 10, obteniendo en el primer ejemplo

Es decir que hemos agregado al cociente 7 "décimos" y tenemos un nuevo resto 2. Repitiendo el proceso de multiplicar y dividir por 10 este resto obtenemos

con lo que en este caso la cuenta ha terminado, ya que el último resto obtenido es cero.

Hemos obtenido como cociente

( 7 son los "décimos", 5 los "centésimos") lo que abreviamos 4,75 y llamamamos representación decimal del número racional 19/4.

El mismo proceso en el caso de la otra operación es:

es decir que en este caso el cociente que vamos obteniendo es

pero a diferencia del ejemplo anterior, el proceso no terminó aquí, pues obtuvimos un nuevo resto no nulo.

Geométricamente, este proceso tiene el siguiente significado (para el segundo ejemplo considerado): el primer paso de la división nos dice que 345/7 está situado entre 49 y 50.

El segundo paso consiste en dividir el segmento entre 49 y 50 en 10 partes iguales, encontrando que 345/7 cae en el tercer sub-segmento, es decir entre 49 + 2/10 y 49 + 3/10

luego dividimos el segmento entre 49 + 2/10 = 49,2 y 49 + 3/10 = 49,3 en diez partes iguales, encontrando que 345/7 cae entre 49,2 + 8/100 y 49,2 + 9/100 (como dividimos en 10 un segmento que medía 1/10 los nuevos sub-segmentos miden 1/100)

y así sucesívamente.

¿Terminará el proceso en algún momento? Evidentemente lo hará si en algún paso obtenemos un resto cero, en caso contrario podrá continuarse indefinidamente. Ahora bien, como los sucesivos restos deben siempre satisfacer la condición (2), es decir

0 ≤ r < b                                                                           (2)

vemos que, en caso de no obtener ninguno nulo, podremos a lo sumo obtener b - 1 restos diferentes. Es decir que, al cabo de a lo sumo b pasos encontraremos un resto que ya apareció anteriormente. Al efectuar el paso de la división correspondiente a ese resto obtendremos en el cociente el mismo dígito obtenido anteriormente (con el otro resto), y todo el proceso irá repitiéndose.

Veamos nuevamente el ejemplo:

Esto es lo que se llama una expresión decimal periódica: a partir de una cifra, un conjunto de dígitos se repite indefinidamente. Este conjunto de dígitos se llama período.

EJERCICIOS

15. Obtener la representación decimal de los números racionales

a)313/5

b) 11/13

c)2/15

d)212/999

16. Comparar los períodos de 1/7, 2/7, 3/7, 4/7,5/7  y 6/7.

Evídentemente el razonamiento anterior tíene validez general, lo que nos permite afirmar que

Todo número racional a/b admite una representación decimal y esta representación decimal es finita (si alguno de los restos de dividir a por b es cero) o periódica (si todos los restos son distintos de cero).

En el caso periódico es habitual indicar este hecho poniendo un segmento sobre el periodo. Por ejemplo:

345/7 = 49,285714

 

 

 

 


 


 

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