Números complejos

EL SISTEMA NUMERICO REAL

El sistema numérico, como nosotros lo conocemos, es el resultado de una evolución gradual, tal como lo indica la siguiente descripción.

1. Los números naturales, 1, 2, 3, 4, ... , o enteros positivos, fueron usados primero para contar. Los símbolos han cambiado con las épocas, pues los romanos, por ejemplo, utilizaban I, II, III, IV, .... La suma a + b y el producto a·b o ab de dos números naturales a y b son también números naturales, lo cual se suele expresar diciendo que el conjunto de los números naturales es cerrado respecto de las operaciones de adición, multiplicación, o que cumple la propiedad de clausura con relación a estas operaciones.

2. Los enteros negativos y el cero, denotados por -1, -2, -3, . .. y 0, respectivamente, que permiten resolver ecuaciones como x + b = a con a y b naturales, llevan a la operación de sustracción o inversa de la adición, que se escribe x = a - b.

El conjunto de los enteros positivos y negativos con el cero se llama el conjunto de los enteros y es cerrado bajo las operaciones de adición, multiplicación y sustracción.

3. Los números racionales o fracciones, tales como 3/4, -8/3, ... permiten resolver ecuaciones de la forma bx = a para enteros cualesquiera a y b, con b ≠ 0, los cuales conducen a la operación de división o inversa de la multiplícación, que se representa como x = a/b ó a + b (llamado el cociente de a y b) donde a es el numerador y b el denominador.

El conjunto de los enteros es un subconjunto de los números racionales, puesto que los enteros corresponden a los números racionales con b = 1.

El conjunto de números racionales es cerrado bajo las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división, excluyendo la división por cero.

4. Los números irracionales, tales como √2 = 1,41423 . .. y π = 3,14159 ... son números que no son racionales, es decir, no pueden ser expresados como a/b, donde a y b son enteros y b ≠ 0.

El conjunto de números racionales e irracionales es llamado el conjunto de los números reales. Se supone que el estudiante está ya familiarizado con las diversas operaciones con números reales.

REPRESENTACION GRÁFICA DE LOS NUMEROS REALES

Los números reales pueden representarse por puntos de una recta llamada eje real, como se ve en la figura 1. El punto correspondiente a cero, se llama el origen.

Recíprocamente, para cada punto sobre la recta hay uno y solamente un número real. Si un punto A correspondiente a un número real a está ubicado a la derecha de un punto B correspondiente a un número real b, decimos que a es mayor que b o que b es menor que a y escribimos respectivamente a > b o b < a.

El conjunto de todos los valores de x, tal que a < x < b se llama un intervalo abierto sobre el eje real, mientras que a ≤ x ≤ b, el cual incluye los extremos a y b, se llama un intervalo cerrado. El símbolo x, que puede representar a cualquier elemento del conjunto de números reales, es llamado una variable real.

El valor absoluto de un número real a, denotado por |a| es igual a a si a > 0, a -a si a < 0 y a 0 si a = 0. La distancia entre dos puntos a y b sobre el eje real es |a - b|.

EL SISTEMA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

No existe un númeró real x que satisfaga la ecuación polinómica x² + 1 = 0. Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario introducir los números complejos.

Podemos considerar un número complejo como una expresión de la forma a + bi, donde a y b son números reales, e i, denominada la unidad imaginaria, con la propiedad de que i² = -1. Si z = a + bi, a se llama la parte real de z y b la parte imaginaria de z y se denotan por Re {z} e Im {z}, respectivamente. El símbolo z, que puede representar cualquier elemento del conjunto de números complejos, es llamado una variable compleja.

Dos números complejos a + bi y c + di son iguales si y solamente si a = c y b = d. Podemos considerar los números reales como el subconjunto del conjunto de los números complejos con b = 0. En este caso por ejemplo, los números complejos 0 + 0i y -3 + 0i representan los números reales 0 y -3 respectivamente. Si a = 0, el número complejo 0 + bi o bi se llama un número imaginario puro.

El conjugado complejo, o conjugado simplemente, de un número complejo a + bi es a -bi. El conjugado complejo de un número complejo z se indica frecuentemente por z o z*.

OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS COMPLEJOS

Al efectuar operaciones con números complejos, podemos proceder como en el álgebra de números reales, remplazando i² por -1.

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto o módulo de un número complejo a + bi está definido como

|a + bi| = √a² + b²

Si Z₁, Z₂, Z₃, ... , Z_m son números complejos, son válidas las siguientes propiedades.

FUNDAMENTOS AXIOMÁTICOS DEL SISTEMA DE NUMEROS COMPLEJOS

Desde un punto de vista estrictamente lógico, es conveniente definir un número complejo como una pareja ordenada (a, b) de números reales a y b sometida a ciertas definiciones operacionales que resultan ser equivalentes a las anteriores. Estas definiciones se dan a continuación, donde todas las letras representan números reales:

A. Igualdad (a, b) = (c, d) si y solamente si a = c, b = d

B. Suma (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

C. Producto (a, b) . (c, d) = (ac -bd, ad + bc)

                           m(a, b) = (ma, mb)

De aquí, podemos demostrar que (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) y asociamos esto con a + bi donde i es realmente el símbolo (0, 1) con la propiedad de que i² = (0, 1) (0, 1) = (-1, 0) (el cual se puede considerar equivalente al número real -1) y (1, 0) se puede considerar equivalente al número real 1. La pareja ordenada (0, 0) corresponde al número real 0.

De lo anterior, podemos probar que si z₁, z₂, z₃ pertenece al conjunto S de números complejos, entonces

1. z₁ + z₂ y z₁z₂ pertenece a S                                   ley de clausura

2. z₁ + z₂ = z₂ + z₁                                    ley conmutativa de la adición

3. z₁ + (z₂ + z₃) = (z₁ + z₂) + z₃               ley asociativa de la adición

4. z₁z₂ = z₂z₁                                          ley conmutativa de la multiplicación

5. z₁(z₂z₃) = (z₁z₂)z₃                               ley asociativa de la multiplicación

6. z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃                               ley distributiva

7. z₁ + 0 = 0 + z₁ = z₁,   1.z₁ = z₁.1 = z₁, 0 es llamado el elemento neutro o idéntico de la adición, y 1 es llamado el elemento neutro o idéntico de la multiplicación.

8. Para cualquier número complejo z₁ ≠0, existe un número único z en S tal que z + z₁ =0; z se llama el opuesto (o recíproco) de z₁ con respecto a la adición y es denotado por -z₁

9. Para cualquier z₁ ≠0, existe un número único z en S tal que z₁z = zz₁ = 1; z se llama el inverso (o recíproco) de z₁ con respecto a la multiplicación y es denotado por z₁^-1 o 1/z₁.

En general, cualquier conjunto, tal como S, cuyos elementos satisfagan las propiedades anteriores, se dice que es un cuerpo.

REPRESENTACION GRÁFICA DE NUMEROS COMPLEJOS

Si se eligen ejes reales sobre dos rectas perpendiculares X'OX y Y'OY (los ejes x y y respectivamente), como en la figura 2, podemos situar cualquier punto del plano determinado por estas rectas mediante a pareja ordenada de números reales (x, y) o coordenadas cartesianas del punto. En la figura 2 se indican ejemplos de localización de los puntos P, Q, R, S y T en esta forma.

Como un número complejo x + iy se puede considerar como una pareja ordenada de números reales, podemos representar estos números por puntos en un plano xy, llamado el plano complejo o diagrama de Argand. El número complejo representado por P, por ejemplo, se puede entonces leer como (3, 4) o 3 + 4i. Así, a cada número complejo corresponde uno y solamente un punto en el plano y recíprocamente a cada punto en el plano corresponde uno y solamente un número complejo. A causa de esto, a menudo mencionamos al número complejo z como al punto z. Algunas veces nos referimos a las ejes x y y como a los ejes real e imaginario respectivamente y al plano complejo como al plano z. La distancia entre dos puntos z₁ = x₁ + iy₁ y z₂ = x₂ + iy₂ en el plano complejo está dada por

FORMA POLAR DE NUMEROS COMPLEJOS

Si P es un punto en el plano complejo correspondiente al número complejo (x, y) o x + iy, entonces vemos que, según la figura 3,

x = r cos Θ,    y = r sen Θ

donde

se llama el módulo o valor absoluto de z = x + iy (denotado por mod z ó |z|); y Θ, llamado amplitud o argumento de z = x + iy (denotado por arg z), es el ángulo que forma la recta OP con el eje positivo x.

Se deduce que

z = x + iy = r(cos Θ + i sen Θ) (1)

llamada la forma polar del número complejo, y r y Θ se llaman coordenadas polares. Algunas veces es conveniente escribir la abreviatura cis Θ por cos Θ + i sen Θ.

Para cualquier número complejo z ≠0 corresponde solamente un valor de Θ en 0 ≤Θ ≤ 2Π. No obstante, cualquier otro intervalo de longitud 2Π, por ejemplo -Π< Θ ≤ 2Π, se puede emplear. Cualquier elección particular, tomada anticipadamente, se llama la parte principal y el valor de Θ se llama su valor principal.

EL TEOREMA DE DE MOIVRE

Si z₁ = x₁ + iy₁ = r₁ (cos Θ₁ + i sen Θ₁) y z₂ = x₂ + iy₂ = r₂ (cos Θ₂ + i sen Θ₂), demostrar que

Una generalización de (2) conduce a

z₁z₂ ... z_n = r₁r₂ ... r_n {cos (Θ₁+Θ₂+ ... + Θ_n) + isen(Θ₁+Θ₂+ ... + Θ_n)} (4)

Y si z₁= z₂ =  ... = z_n = z, la expresión anterior queda

zⁿ= {r(cos Θ+i sen Θ)}ⁿ = rⁿ(cos nΘ+i sen nΘ)                                      (5)

que se llama frecuentemente el teorema de De Moivre.

RAlCES DE NUMEROS COMPLEJOS

Un número w es llamado una raíz n-ésima de un número complejo z si wⁿ = z, y escribimos w = z^1/n. Del teorema de De Moivre, podemos demostrar que si n es un entero positivo,

de lo cual se deduce que hay n valores diferentes para z^1/n, esto es, n diferentes raíces n-ésimas de z, si z≠ 0.

FORMULA DE EULER

Al suponer que el desarrollo de la serie infinita e^x = 1 + x + x2 /2! + x3 /3! + ... del cálculo elemental se aplica cuando x = iΘ, podemos llegar al resultado

e^iΘ= cosΘ + i senΘ                                 e = 2,71828. . .                             (7)

llamada la fórmula de Euler. Es más conveniente, no obstante, tomar simplemente (7) como una definición de e^iΘ. En general, definimos

e^z = e^x+iy = e^xe^iy = e^x (cosy +i seny)

En el caso especial en que y = 0, se reduce a e^x.

Se puede ver que en términos de (7) el teorema de De Moivre se reduce esencialmente a (e^iΘ)ⁿ = e^inΘ

ECUACIONES POLINOMICAS

A menudo en la práctica necesitamos resolver ecuaciones polinómicas de la forma

donde a₀ ≠0, a₁, ... , a_n son números complejos dados y n es un entero positivo llamado el grado de la ecuación. Tales soluciones se llaman ceros del polinomio de la izquierda de (9) o raíces de la ecuación.

Un teorema muy importante, llamado el teorema fundamental del álgebra establece que cada ecuación polinómica de la forma (9) tiene por lo menos una raíz compleja. Según esto, podemos demostrar que tiene en realidad n raíces complejas, algunas de las cuales o todas podrían ser idénticas.

Si z₁, z₂, ... z_n son las n raíces, (9) se puede escribir como

                   (10)

llamada la forma factorizada de la ecuación polinómica. Recíprocamente, si podemos escribir (9) en la forma (10), es fácil determinar las raíces.

LAS RAICES n-ésimas DE LA UNIDAD

Las soluciones de la ecuación zⁿ = 1, donde n es un entero positivo, se llaman las raíces n-ésimas de la unidad y están dadas por

Si hacemos

las n raíces son 1, ω, ω², ... , ω^n-1. Geométricamente, representan los n vértices de un polígono regular de n lados inscritos en una circunferencia de radio unidad con centro en el origen. Esta circunferencia tiene como ecuación |z| = 1 y es llamada la circunferencia unidad.+

INTERPRETACION VECTORIAL DE NUMEROS COMPLEJOS

Un número complejo z = x + iy se puede considerar como un vector OP cuyo punto inicial es el origen O y cuyo punto final P es el punto (x, y), como en la figura 4.

Algunas veces llamamos OP = x + iy el vector posición de P. Dos vectores que tienen la misma longitud o magnitud y dirección, pero con puntos iniciales diferentes, tal como OP y AB en la figura 4, se consideran iguales. Por tanto, escribimos

OP = AB = x + iy

La suma de números complejos corresponde a la ley del paralelogramo para la suma de vectores (Fig. 5). En este caso, para sumar el número complejo z₁ y z₂ completamos el paralelogramo OABC cuyos lados OA y OC corresponden a z₁ y z₂ . La diagonal OB de este paralelogramo corresponde a z₁+ z₂

REPRESENTACIÓN ESFÉRICA DE NÚMEROS COMPLEJOS. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA

Sea Ψ (figura 6) el plano complejo y considérese una esfera unidad ζ (de radio uno) tangente a Ψ en z = 0. El diámetro NS es perpendicular a Ψ y llamamos a los puntos N y S los polos norte y sur de ζ. Para cualquier punto A sobre Ψ podemos construir una recta NA que corta ζ en el punto A'. En este caso, a cada punto del plano complejo Ψ corresponde uno y solamente un punto de la esfera ζ, y podemos representar cualquier número complejo por un punto sobre la esfera. Para terminar, decimos que el punto N corresponde al punto en el "infinito" del plano. El conjunto de todos los puntos del plano, incluyendo el punto en el infinito, recibe los nombres de plano complejo entero, el plano entero z o el plano complejo extendido.

El método explicado anteriormente para aplicar el plano sobre la esfera, se denomina proyección estereográfica. La esfera se llama generalmente la esfera de Riemann.

PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL

Sean z₁ = x₁ + iy₁ y z₂ = x₂ + iy₂ dos números complejos (vectores). El producto escalar (también llamado el producto interno) de z₁y z₂ está definido por

donde Θ es el ángulo entre z₁ y z₂ que está entre 0 y Π.

El producto vectorial de z₁ y z₂ está definido por

Claramente,

Si z₁ y z₂ son distintos de cero, entonces

1. Una condición necesaria y suficiente para que z₁ y z₂ sean perpendiculares es que z₁ o z₂= 0.

2. Una condición necesaria y suficiente para que z₁ y z₂ sean paralelos es que z₁ X z₂ = 0.

3. La magnitud de la proyección de z₁ sobre z₂ es |z₁o z₂| / |z₂|.

4. El área de un paralelogramo de lados z₁ y z₂ es |z₁X z₂|.

COORDENADAS CONJUGADAS COMPLEJAS

Un punto en el plano complejo se puede localizar por sus coordenadas rectangulares (x, y) o por sus coordenadas polares (r, Θ). Existen muchas otras posibilidades, una de las cuales utiliza el hecho de que

Las coordenadas (z, z) que localizan un punto, se llaman coordenadas conjugadas complejas o, abreviadamente, coordenadas conjugadas del punto.

CONJUNTOS DE PUNTOS

Cualquier colección de puntos en el plano complejo se denomina un conjunto (bidimensional) de puntos, y cada punto es un miembro o elemento del conjunto. Las definiciones fundamentales siguientes son dadas aquí por referencia.

1. Vecindades. Una vecindad de radio delta; o δ, de un punto z_o es el conjunto de todos los puntos z tales que |z - z_o| < δ donde δ es cualquier número positivo dado. Una vecindad reducida δ de z_o es una vecindad de z_o en la que el punto z_o se omite, es decir, 0 < |z - z_o| < δ.

2. Puntos límites. Un punto z_o se llama un punto límite o punto de acumulación de un conjunto S si cada vecindad δ reducida de z_o contiene puntos de S. Puesto que δ puede ser cualquier número positivo, se deduce que S debe tener infinitos puntos. Obsérvese que z_o puede pertenecer o no al conjunto S.

3. Conjuntos cerrados. Un conjunto S se dice que es cerrado si cada punto límite de S pertenece a S, esto es, si S contiene todos sus puntos límites. Por ejemplo, el conjunto de todos los z tales que |z| ≤ 1 es un conjunto cerrado.

4. Conjuntos acotados. Un conjunto S se dice que es acotado si podemos encontrar una constante M tal que |z|< M para cada punto z en S. Un conjunto ilimitado es un conjunto que no es acotado. Un conjunto que es acotado y cerrado se llama, algunas veces, compacto.

5. Puntos interior, exterior y frontera. Un punto z_o se llama un punto interior de un conjunto S si podemos encontrar una vecindad de z_o cuyos puntos pertenecen todos a S. Si cada vecindad δ de z_o contiene puntos pertenecientes a S y también puntos no pertenecientes a S, entonces z_o se llama un punto frontera. Si un punto no es punto interior ni punto frontera de un conjunto S, es un punto exterior de S.

6. Conjuntos abiertos. Un conjunto abierto es un conjunto que consiste solamente de puntos interiores. Por ejemplo, el conjunto de puntos z tales que |z|< 1 es un conjunto abierto.

7. Conjuntos conexos. Un conjunto abierto S es conexo si cualquier par de puntos del conjunto pueden ser unidos por un camino formado por segmentos de recta (esto es, un camino poligonal) contenidos en S.

8. Regiones abiertas o dominios. Un conjunto abierto conexo es llamado una región abierta o dominio.

9. Clausura de un conjunto. Si a un conjunto S agregamos todos los puntos límite de S, el nuevo conjunto se llama la clausura de S y es un conjunto cerrado.

10. Regiones cerradas. La clausura de una región abierta o dominio se llama una región cerrada.

11. Regiones. Si a una región abierta o dominio agregamos alguno, todos o ninguno de sus puntos límites, obtenemos un conjunto llamado una región. Si se agregan todos los puntos límites, la región está cerrada; si ninguno es agregado, la región está abierta. En estas páginas, siempre que usamos la palabra región sin especificarla, queremos significar región abierta o dominio.

12. Unión e intersección de conjuntos. Un conjunto consistente de todos los puntos pertenecientes al conjunto S₁ o al conjunto S₂ o a ambos conjuntos S₁ y S₂ se llama la unión de S₁ y S₂ y se denota por S₁+ S₂ó S₁∪ S₂.

Un conjunto consistente de todos los puntos pertenecientes a ambos conjuntos S₁ y S₂ se llama la intersección de S₁ y S₂ y se denota por S₁S₂ ó S₁ ∩ S₂.

13. Complemento de un conjunto. Un conjunto que consiste de todos los puntos que no pertenecen a S, se llama el complemento de S y se representa por S.

14. Conjuntos vacíos y subconjuntos. Es conveniente considerar un conjunto sin puntos. Este conjunto se llama el conjunto vacío y se denota por Ø. Si dos conjuntos S₁ y S₂ no tienen puntos en común (caso en el cual se denominan conjuntos disjuntos), podemos escribir S₁ ∩ S₂ = Ø.

Cualquier conjunto formado por elección de alguno, todos o ninguno de los puntos de un conjunto S se llama un subconjunto de S. Si excluimos el caso en que todos los puntos de S son escogidos, el conjunto se denomina un subconjunto propio de S.

15. Numerabilidad de un conjunto. Si los miembros o elementos de un conjunto se pueden colocar punto por punto en correspondencia con los números naturales 1, 2, 3, ... , el conjunto es llamado numerable o enumerable; de lo contrario es no numerable o no-enumerable.

Los siguientes son dos teoremas importantes sobre conjuntos de puntos:

1. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Todo conjunto infinito acotado tiene por lo menos un punto de acumulación.

2. Teorema de Heine-Borel. Sea S un conjunto compacto tal que cada punto está contenido en uno o más de los conjuntos abiertos A₁, A₂, ... (los cuales forman lo que llamaremos un recubrimiento de S). Entonces existe un número finito de los conjuntos A₁, A₂, ..., que cubren a S.