CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)


   

 

Exponentes y radicales. Números racionales e irracionales.


 

 


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NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

Los números reales e imaginarios constituyen el sistema numérico del álgebra. Los números imaginarios se explican en páginas mas adelante en este curso. Los números reales son racionales o irracionales. Un número real es un número que puede ser escrito en forma decimal. Son números reales:

3; 3727; -4; 7, 12; 8, 131313... ; 1, 101101110...

En los dos ejemplos últimos, los puntos suspensivos significan que siguen infinitas cifras de acuerdo con una ley que, en general debe quedar clara al observar las cifras ya escritas. Así, en el primer cado, siguen las cifras 1,3,1,3, etc …, indefinidamente, y en el segundo, seguirán unos, un cero, cinco unos, un cero, seis unos, un cero, etc….

La palabra RACIONAL viene del vocablo "razón". Un número es racional si puede expresarse como cociente, o raíz, o por dos números enteros. Los números racionales incluyen números como 2/7, números enteros y radicales, si el signo radical puede eliminarse.

Se denomina expresión decimal de un número racional a la forma decimal que se obtiene al dividir el numerador por el denominador.

Su expresión decimal posee o bien un número finito de cifras (y, por tanto, incluyen a los números enteros) o bien es periódica, es decir, existe una cifra o un grupo de cifras que a partir de un lugar se repiten de forma indefinida.

Son racionales : 2; 3; 1;  8,71616 …; -1,67777…

Se utiliza el símbolo   para indicar el período, si lo hay. Por ejemplo, el tercero de los números de la anterior relación se escribirá

Todas las fracciones de números enteros son números racionales; así :

Así mismo, todo número decimal con un número finito de cifras o con un período es la expresión decimal de una fracción (llamada fracción generatriz del número decimal).

Hemos dicho ya que los números reales son todos los números decimales. Los números reales que tienen un número infinito de cifras y no poseen período alguno de llaman irracionales.

 

Todo número RACIONAL puede expresarse como el cociente de dos enteros en muchas formas. Por ejemplo,

De otra manera, un número racional es un número que se puede escribir como el cociente de dos enteros, donde el entero en el denominador es distinto de cero:

Al número m / n también se le denomina fracción, a los números m y n se les denomina el numerador y el denominador de la fracción.

Cada número entero n se puede considerar como número racional pues n = n/1  , por lo tanto el conjunto de números enteros está contenido dentro del conjunto de los números racionales. Al conjunto de los números racionales lo denominaremos por el símbolo Q.

Los siguientes son números racionales:
1/2, -5/4, -5, 6, 100/40, 4/100, 0/1 = 0, -30/40.

El origen del concepto de número irracional se encuentra siempre en la intuición geométrica y en la necesidad de la misma Geometría.

Pitágoras fue el primero en señalarlo de forma parecida a la siguiente: Si se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitud  l, la longitud de la hipotenusa es igual a √2,  y éste no es un número racional. Si escribimos √2 = a/b  donde a y b son números enteros primos entre sí, fácilmente se llega a una contradicción con resultados conocidos de la divisibilidad de números enteros. Tan notable descubrimiento bien merecía el sacrificio de 100 bueyes con que fue celebrado por Pitágoras.

Los matemáticos griegos posteriores estudiaron además de estos irracionales sencillos, otros cada vez mas complicados; encontrándose, en Euclides, tipos como    y otros semejantes. En general, se puede decir que los griegos se limitaron esencialmente a trabajar con los irracionales que se obtienen por aplicación repetida de la extracción de raíces cuadradas y que por ello se podrían construir con la regla y el compás, pero nunca llegaron a tener la idea general de número irracional.

Esta hizo su aparición al final del siglo XVI, como consecuencia de la introducción de los números decimales, cuyo uso se generalizó ya antes con motivo de la formación de la tabla de logaritmos. Cuando se transforma un quebrado ordinario en número decimal, pueden obtenerse, aparte de números decimales limitados, otros ilimitados que son necesariamente periódicos. Ahora bien, nada hay que impida considerar un número decimal aperiódico, esto es un número decimal cuyas cifras se suceden sin obedecer a ley alguna determinada y sin parar; cualquiera lo consideraría como un número determinado, aunque naturalmente, no racional. Con esto se tiene ya el concepto de número irracional, espontánea creación, en cierto modo, del proceso aritmético que lleva consigo la fracción decimal. Históricamente acontece así, que el cálculo obligó a que se introdujeran los nuevos conceptos y, sin que se pensase gran cosa sobre su esencia y fundamento, se operaba con ellos, afirmando su existencia, sobre todo al reconocer repetidamente su extraordinaria utilidad.

Sólo al llegar al año 60 del siglo XIX se vio la necesidad de formular aritméticamente, de manera precisa, los fundamentos de los números irracionales. Weierstrass fue el primero que abrió camino en estas investigaciones a través de las lecciones que explicaba en la Universidad de Berlín. En el año 1872 G. Cantor, fundador de la teoría de conjuntos, dió en Universidad de Hall una teoría general de dichos números. De forma simultánea pero independiente, Dedekind hizo otro tanto en la Universidad de Brunswick.

Felix Klein (1849- 1923)

Un número IRRACIONAL es un número real que no puede expresarse como la relación de dos enteros, son ejemplos de números irracionales.

Un ejemplo de tales números es el ya citado 1,101101110…

Es fácil demostrar que las raíces de números enteros que no son “exactas” son números irracionales. También el famoso número π (pi), de la geometría, es un número irracional.

Todo número entero es racional. Su denominador es 1. Por ejemplo, 8 es igual a 8/1, que es el cociente de dos enteros. Un número como es racional puesto que puede expresarse como el cociente de dos enteros en la forma 4/1.

Temas relacionados : Operaciones con radicales. Adición y sustracción. Multiplicación y división. Simplificación de radicales. Práctica de problemas.

Calcula la raíz cuadrada exacta:

Expresión decimal de un número racional: Si efectuamos el cociente indicado en una fracción podemos obtener tres tipos distintos de números decimales:

- Exactos: Tienen una cantidad finita de cifras decimales. Ejemplo: 21/16=1,3125

- Periódicos puros: Tienen una cantidad ilimitada de cifras decimales. Hay un grupo (periodo) que se repite desde la primera cifra decimal. Ejemplos:

89/111 = 0,801801801..., 38/3 = 12,666666...

Periódico mixto: Tienen una cantidad ilimitada de cifras decimales y hay un grupo (periodo) que se repite, pero las primeras cifras decimales (anteperiodo) no forman parte del periodo. Ejemplos:

17/60 = 0,283333... Anteperiodo: 28 Periodo: 3 103381/49500 = 2,08850505050... Anteperiodo: 088 Periodo: 50

Fracción generatriz de una expresión decimal exacta o periódica: Si el número es decimal exacto, el numerador será el número sin coma decimal y el denominador un 1 seguido de tantos ceros como decimales tengamos. Ejemplos:

Si el número es periódico, llamamos E a las cifras de la parte entera, A a las cifras del anteperiodo y P a las cifras del periodo. El numerador será EAP – EA; el denominador tendrá tantos 9 como cifras tenga el periodo y tantos 0 como cifras tenga el anteperiodo. (Si el número es periódico puro, el numerador será EA – E y el denominador consistirá sólo en tantos 9 como cifras tenga el periodo). Ejemplos:

Ejemplo

Encontrar la forma fraccionaria del los números racionales 0,245; 0,38383838.. y  0,234323232...

Solución

Como 1000*0,245 = 245, entonces 245/ 1000= 0,245.
Sea q = 0,383838, entonces 100*q = 38, 383838.., luego 100*q - q=38,
así  99*q = 38, por lo tanto q = 38/99.
Sea u = 0,234323232.. entonces 100000* q = 23432,323232.. y
1000*q = 234,323232.. , luego 100000* q – 1000* q = 23198, así 99000*q = 23198, por lo tanto

q = 23198 / 99000

Así, todos los números racionales pueden ser representados por un número infinito de fracciones (cociente de números enteros).

Por ejemplo:

Usualmente, los números racionales se suelen escribir de la forma a l b. donde a y b no tienen ningún factor común. Por ejemplo :

Este tipo de fracciones (como 2/5) se les llama irreducibles, es decir una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador no pueden dividirse a la vez por un mismo número distinto de 1dando resto cero.

Calcular, por tanteo, con una cifra decimal:

PROBLEMAS CON NÚMEROS DECIMALES

¿Cuánto pesa una porción de queso que nos ha costado 5,88 $, sabiendo que el queso se vende a 12,25 $ el kilo?

5,88 : 12,25 = 0,48 kg = 480 g

Un kilo y seiscientos gramos de cerezas cuesta 6 $. ¿A cómo se vende el kilo de cerezas?

6 : 1,6 = 3,75 $/kg

Francisco pide en la carnicería tres filetes que, una vez cortados, pesan 708 gramos. ¿Cuánto debe pagar si un kilo de filetes cuesta 9,35 $?

9,35 × 0,708 = 6,6198 -- > 6,62

Debe pagar 6,62 $.

Julián tiene 13 años y mide 1,72 m. A los 8 años medía 1,57 m. ¿Cuál ha sido el crecimiento medio por año?

(1,72 – 1,57) : (13 – 8) = 0,15 : 5 = 0,03

Ha crecido una media de 3 cm por año.

Un especulador compra una parcela rectangular de 62,50 m de largo y 23,80 m de ancho, a 45,5 $/m2, y un año después la vende a 59,80 $/m2. Si durante ese tiempo le ha ocasionado unos gastos de 5 327,46 $, ¿qué ganancia obtiene en el negocio?

Superficie parcela → 62,50 × 23,80 = 1 487,5 m2
Diferencia (coste venta – coste compra) → 1 487,5 · (59,8 – 45,5) = 1 487,5 · 14,3 = 21 271,25 $
Ganancia = Beneficio – Gastos = 21 271,25 – 5 327,46 = 15 943,79 $

Roberto va al mercado con 62,81 $ y compra 2,6 kg de uvas a 1,80 $/kg, 0,58 kg de plátanos a 2,15 $/kg, una merluza que pesa 850 g y está a 11,45 $/kg, y un pollo de kilo y cuarto a 5,95 $/kg. ¿Cuánto dinero le sobra?

Manzanas → 2,6 · 1,80    

=   4,68$
Plátanos → 0,58 · 2,15  =   1,25$
Merluza → 0,850 · 11,45  =   9,73$
Pollo → 1,25 · 5,95  =   7,44$
TOTAL GASTO --------->   = 23,10 $
Resto sobrante: 62,81 – 23,10 = 39,71 $

Se desea pintar una valla de 147,8 m de larga y 1,8 de altura. Un kilo de pintura cuesta 7,35 $ y cubre 1,20 m2 de valla. Calcula el presupuesto para la pintura.

Superficie a pintar → 147,8 · 1,8 = 266,04 m2
Kilos de pintura necesarios → 266,04 : 1,20 = 221,7 kg
Coste de la pintura → 221,7 · 7,35 = 1 629,495 1 629,50 $
El presupuesto asciende a 1 629,50 $

Una furgoneta transporta 250 docenas de huevos que cuestan a 0,98$ la docena. En una curva se vuelca una caja y se rompen 60 huevos. ¿Cuánto hay que aumentar el precio de la docena para que la mercancía siga valiendo lo mismo?

Coste de la mercancía → 250 · 0,98 = 245 $
60 huevos = 60 : 12 = 5 docenas
Docenas restantes → 250 – 5 = 245 docenas
Las 245 docenas restantes deben venderse por 245 $, es decir, a 1 $ la docena.
Por tanto, el precio de la docena se ha de aumentar en (1 – 0,98 = 0,02) dos céntimos de pesos.

 

 

 


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