Números racionales e irracionales
Los números reales e imaginarios constituyen el sistema
numérico del álgebra. Los números imaginarios
se explican en páginas mas adelante en este curso.
Los números reales son racionales o irracionales. La
palabra RACIONAL viene del vocablo "razón".
Un número es racional si puede expresarse como cociente,
o raíz, o por dos números enteros. Los números
racionales incluyen números como 2/7, números
enteros y radicales, si el signo radical puede eliminarse.
Todo número entero es racional. Su denominador es
1. Por ejemplo, 8 es igual a 8/1, que es el cociente de dos
enteros. Un número como 
es racional puesto que puede expresarse como el cociente de
dos enteros en la forma 4/1. Los siguientes son también
ejemplos de números racionales:
Todo número racional puede expresarse como el cociente
de dos enteros en muchas formas. Por ejemplo,
Un número IRRACIONAL es un número
real que no puede expresarse como la relación de dos
enteros, 
son ejemplos de números irracionales.
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Expresiones tales como 
poseen números irracionales en el denominador. Si los
denominadores se convierten a decimales, como en
el proceso de calcular una fracción se
transforma en un engorroso ejercicio de división. Tal
fracción puede calcularse rápidamente transformando
primero el denominador a número racional. Convertir
una fracción con un número irracional en su
denominador a una fracción equivalente con un número
racional en el denominador se llama RACIONALIZACIÓN
DEL DENOMINADOR.
Multiplicando una fracción por 1 no
se altera el valor de ésta. Visto que todo número
dividido por sí mismo es igual a 1 tenemos, por ejemplo,
que
Si el numerador y denominador de 
se multiplican ambos por  ,
se obtiene otra fracción del mismo valor. El resultado
es
El denominador de la nueva fracción equivalente
es 2, que es racional. El valor decimal de la fracción
es
Para racionalizar el denominador en 
multiplicamos numerador y denominador por  .
Resulta:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Racionalizar el denominador en cada una de las siguientes:
CALCULO DE RADICALES
Toda expresión radical posee un equivalente decimal
que puede ser exacto si el radicando es un número racional.
Si el radicando no es racional la raíz se expresará
como una aproximación decimal pero nunca será
exacta. Puede emplearse un procedimiento similar a la división
larga para calcular la raíz cuadrada y la raíz
cúbica, y las raíces superiores pueden calcularse
por métodos basados en logaritmos y en matemáticas
superiores. Las tablas de potencias y raíces se han
calculado para utilizar en aquellos campos científicos
en los cuales es necesario trabajar a menudo con raíces.
Proceso de la raíz cuadrada
El proceso aritmético para calcular la raíz
cuadrada se esboza en los siguientes párrafos
1. Comenzando en la coma decimal se separa el número
en grupos de dos dígitos, desplazandose a la derecha
y a la izquierda de la coma decimal. De aquí podrá
quedar un dígito impar a la izquierda o a la derecha
del número o a ambos lados. Por ejemplo, supongamos
que el numero cuya raíz cuadrada buscamos es 9025.
El número separado como se lo especificó sería:
2. Determinar el número más grande cuyo cuadro
está contenido en el grupo de la izquierda (90). Este
número es 9, ya que el cuadrado de 9 es 81. Escribir
9 encima del primer grupo. Elevar este número (9) al
cuadrado, colocar su cuadrado en el grupo de la izquierda
y restar como sigue:
Bajar el siguiente grupo (25) y colocarlo al
lado de 9 como se indica. "Éste es el nuevo dividendo
(925).
3. Multiplicando el primer dígito en
la raíz (9) por 20 se obtiene 180 como divisor de prueba.
Este divisor de prueba está contenido en el nuevo dividendo
(925) cinco veces; entonces, el segundo dígito de la
raíz parece ser 5. Sin embargo, este número
debe sumarse al divisor de prueba para obtener un "verdadero
divisor". Si el verdadero divisor es demasiado grande
para usarlo con el dígito del segundo cociente este
dígito se reducirá en 1. El procedimiento para
el paso 3 se ilustra como sigue:
El número 180 resultante de la multiplicación
de 9 por 20 se escribe como un divisor de prueba al lado del
nuevo dividendo (925), como se indica. Se escribe el dígito
del cociente (5) y se ajusta el divisor de prueba, que se
transforma en 185. El cociente de prueba (180) se tacha.
4. El verdadero divisor (185) se multiplica
por el segundo dígito (5) y el producto se coloca debajo
del nuevo dividendo (925). Este paso se indica en la ilustración
para,el paso 3. Cuando se resta el producto del nuevo dividendo
en el paso 4 la diferencia es cero; entonces, en este caso,
la raíz es exacta.
5. En algunos problemas la diferencia no es
cero después que todos los dígitos del número
original se han usado para formar nuevos dividendos. Tales
problemas podrían resolverse agregando ceros a la derecha
del número original, como se efectúa en una
división larga. No obstante, en el proceso de la raíz
cuadrada los ceros deben agregarse en grupos de dos.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Determinar la raíz cuadrada de cada uno de los siguientes
números:
|
. 
