Números racionales e irracionales
Los números reales e imaginarios constituyen el sistema
numérico del álgebra. Los números imaginarios
se explican en páginas mas adelante en este curso.
Los números reales son racionales o irracionales. Un número real es un número que puede ser escrito en forma decimal. Son números reales:
3; 3727; -4; 7, 12; 8, 131313... ; 1, 101101110...
En los dos ejemplos últimos, los puntos suspensivos significan que siguen infinitas cifras de acuerdo con una ley que, en general debe quedar clara al observar las cifras ya escritas. Así, en el primer cado, siguen las cifras 1,3,1,3, etc …, indefinidamente, y en el segundo, seguirán unos, un cero, cinco unos, un cero, seis unos, un cero, etc….
La
palabra RACIONAL viene del vocablo "razón".
Un número es racional si puede expresarse como cociente,
o raíz, o por dos números enteros. Los números
racionales incluyen números como 2/7, números
enteros y radicales, si el signo radical puede eliminarse.
Su expresión decimal posee o bien un número finito de cifras (y, por tanto, incluyen a los números enteros) o bien es periódica, es decir, existe una cifra o un grupo de cifras que a partir de un lugar se repiten de forma indefinida.
Son racionales : 2; 3; 1; 8,71616 …; -1,67777…
Se utiliza el símbolo  para indicar el período, si lo hay.
Por ejemplo, el tercero de los números de la anterior relación se
escribirá 
Todas las fracciones de números enteros son números racionales; así :
Así mismo, todo número decimal con un número finito de cifras o con un período es la expresión decimal de una fracción (llamada fracción generatriz del número decimal).
Hemos dicho ya que los números reales son todos los números decimales. Los números reales que tienen un número infinito de cifras y no poseen período alguno de llaman irracionales.
Todo número racional puede expresarse como el cociente
de dos enteros en muchas formas. Por ejemplo,
Un número IRRACIONAL es un número
real que no puede expresarse como la relación de dos
enteros, 
son ejemplos de números irracionales.
Un ejemplo de tales números es el ya citado 1,101101110…
Es fácil demostrar que las raíces de números enteros que no son “exactas” son números irracionales. También el famoso número π (pi), de la geometría, es un número irracional.
Todo número entero es racional. Su denominador es
1. Por ejemplo, 8 es igual a 8/1, que es el cociente de dos
enteros. Un número como  es racional puesto que puede expresarse como el cociente de
dos enteros en la forma 4/1.
Expresión decimal de un número racional: Si efectuamos el cociente indicado en una fracción podemos obtener tres tipos distintos de números decimales:
- Exactos: Tienen una cantidad finita de cifras decimales. Ejemplo: 21/16=1,3125
- Periódicos puros: Tienen una cantidad ilimitada de cifras decimales. Hay un grupo (periodo) que se repite desde la primera cifra decimal. Ejemplos:
89/111 = 0,801801801..., 38/3 = 12,666666...
– Periódico mixto: Tienen una cantidad ilimitada de cifras decimales y hay un grupo (periodo) que se repite, pero las primeras cifras decimales (anteperiodo) no forman parte del periodo. Ejemplos:
17/60 = 0,283333... Anteperiodo: 28 Periodo: 3 103381/49500 = 2,08850505050... Anteperiodo: 088 Periodo: 50
Fracción generatriz de una expresión decimal exacta o periódica: Si el número es decimal exacto, el numerador será el número sin coma decimal y el denominador un 1 seguido de tantos ceros como decimales tengamos. Ejemplos:
Si el número es periódico, llamamos E a las cifras de la parte entera, A a las cifras del anteperiodo y P a las cifras del periodo. El numerador será EAP – EA; el denominador tendrá tantos 9 como cifras tenga el periodo y tantos 0 como cifras tenga el anteperiodo. (Si el número es periódico puro, el numerador será EA – E y el denominador consistirá sólo en tantos 9 como cifras tenga el periodo). Ejemplos:
Números irracionales: Números que no pueden representarse mediante una fracción sino tan solo mediante una expresión decimal infinita no periódica. Ejemplos:
Racionalización de denominadores
Expresiones tales como 
poseen números irracionales en el denominador. Si los
denominadores se convierten a decimales, como en
el proceso de calcular una fracción se
transforma en un engorroso ejercicio de división. Tal
fracción puede calcularse rápidamente transformando
primero el denominador a número racional. Convertir
una fracción con un número irracional en su
denominador a una fracción equivalente con un número
racional en el denominador se llama RACIONALIZACIÓN
DEL DENOMINADOR.
Multiplicando una fracción por 1 no
se altera el valor de ésta. Visto que todo número
dividido por sí mismo es igual a 1 tenemos, por ejemplo,
que
Si el numerador y denominador de 
se multiplican ambos por  ,
se obtiene otra fracción del mismo valor. El resultado
es
El denominador de la nueva fracción equivalente
es 2, que es racional. El valor decimal de la fracción
es
Para racionalizar el denominador en 
multiplicamos numerador y denominador por  .
Resulta:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Problema 1-
Encuentra un número racional del tipo n/5 (n natural) que tenga expresión decimal periódica.
Resolución:
Comprensión del problema
Suele ser fructífero empezar experimentando:
Fíjate que todas las pruebas que se han hecho han proporcionado decimales finitos. Ciertamente esto no conlleva que siempre haya de ocurrir así. Sin embargo, no deja de ser sospechoso que, con un enunciado tan sencillo, no aparezca ningún indicio de solución.
Has de pensar que, en algunos casos, te encontrará con problemas sin solución, con lo cual la resolución consistirá precisamente en demostrar que tal solución no existe.
Elaboración y ejecución de un plan.
De acuerdo con la anterior reflexión, intentamos demostrar que no hay ninguna solución al problema. Has de pensar que estamos trabajando en el sistema decimal y que la forma mas cómoda de realizar una división por 5 es multiplicar por 2 y dividir por 10. Por ejemplo:
Sabemos, además, que para dividir por 10 basta correr la coma un lugar a la izquierda, todo lo cual evidencia que al dividir un número entero cualquiera por 5 jamás podrá aparecer un número periódico.
( Siempre n/5 = 2n/10, número con una cifra decimal como máximo )
Problema 2-
Racionalizar el denominador en cada una de las siguientes:
Problema 3 -
- ¿Es posible encontrar un entero n de tal forma que n/2 sea un decimal periódico? Razona la respuesta.
- ¿En qué condiciones se puede asegurar que el número racional n/3 (n natural) tiene expresión decimal periódica?
En este caso, ¿cuáles son los posibles períodos?
Indicación: Haz uso de la división entera en el grupo de los número naturales. Esto te permitirá expresar n/3 como suma de un entero y un racional. Si los piensas, verás que son muy pocos los casos que tienes que examinar.
Solución: Los períodos posibles son 
Aproximaciones por exceso y por defecto de un número decimal: Cuando tenemos infinitas cifras decimales, debemos "truncar" el número y manejar sólo unas cuantas. Ejemplos: π= 3,14159265...
- Aproximación por defecto con cuatro decimales: 3,1415
- Aproximación por exceso con cuatro decimales: 3,1416
- Redondeo con cuatro decimales: 3,1416 (es la aproximación más cercana al número verdadero) 26/7 = 3,7142857142...
- Aproximación por defecto con dos decimales: 3,71
- Aproximación por exceso con dos decimales: 3,72
- Redondeo con dos decimales: 3,71
Error absoluto: Diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado. Como el error tiene a su vez infinitas cifras decimales se dan cotas del mismo, mediante aproximaciones por exceso con una sola cifra significativa. Tomando los ejemplos anteriores:
- π: Redondeo: 3,1416 Error abs.: 0,00000735... Cota de error: 0,000008
- 26/7: Redondeo: 3,71 Error abs.: 0,004285... Cota de error: 0,005
Error relativo: Cociente entre el error absoluto y el número decimal exacto. En la práctica se toma la cota de error y el número redondeado. Tomando los ejemplos anteriores:
- Error relativo en π: 0,000008/3,1416 = 0,00000255
- Error relativo en 26/7: 0,005/3,71 = 0,00135
Operaciones con números aproximados: Ejemplo: Multiplicamos π y 26/7.
Primero tomamos aproximaciones con el mismo número de cifras decimales, por ejemplo tres:
- Defecto π=3,141 26/7 = 3,714
- Exceso π=3,142 26/7 = 3,715
- Redondeo π=3,142 26/7 = 3,714
Multiplicamos los valores redondeados: 3,142 * 3,714 = 11,669388
Multiplicamos los valores por defecto y por exceso
- 3,141 * 3, 714 = 11,665674
- 3,142 * 3.715 = 11,67253
Hallamos la diferencia: 11,67253 – 11,665674 = 0,006856 y redondeamos 0,007
Esta será la cota del error absoluto. La primera cifra significativa es la tercera.
Redondeamos ahora el valor obtenido como producto con tres decimales: 11,669 RESULTADO: π. 26/7 = 11,669 ; COTA DE ERROR: 0,007
CALCULO DE RADICALES
Toda expresión radical posee un equivalente decimal
que puede ser exacto si el radicando es un número racional.
Si el radicando no es racional la raíz se expresará
como una aproximación decimal pero nunca será
exacta. Puede emplearse un procedimiento similar a la división
larga para calcular la raíz cuadrada y la raíz
cúbica, y las raíces superiores pueden calcularse
por métodos basados en logaritmos y en matemáticas
superiores. Las tablas de potencias y raíces se han
calculado para utilizar en aquellos campos científicos
en los cuales es necesario trabajar a menudo con raíces.
Proceso de la raíz cuadrada
El proceso aritmético para calcular la raíz
cuadrada se esboza en los siguientes párrafos
1. Comenzando en la coma decimal se separa el número
en grupos de dos dígitos, desplazandose a la derecha
y a la izquierda de la coma decimal. De aquí podrá
quedar un dígito impar a la izquierda o a la derecha
del número o a ambos lados. Por ejemplo, supongamos
que el numero cuya raíz cuadrada buscamos es 9025.
El número separado como se lo especificó sería:
2. Determinar el número más grande cuyo cuadro
está contenido en el grupo de la izquierda (90). Este
número es 9, ya que el cuadrado de 9 es 81. Escribir
9 encima del primer grupo. Elevar este número (9) al
cuadrado, colocar su cuadrado en el grupo de la izquierda
y restar como sigue:
Bajar el siguiente grupo (25) y colocarlo al
lado de 9 como se indica. "Éste es el nuevo dividendo
(925).
3. Multiplicando el primer dígito en
la raíz (9) por 20 se obtiene 180 como divisor de prueba.
Este divisor de prueba está contenido en el nuevo dividendo
(925) cinco veces; entonces, el segundo dígito de la
raíz parece ser 5. Sin embargo, este número
debe sumarse al divisor de prueba para obtener un "verdadero
divisor". Si el verdadero divisor es demasiado grande
para usarlo con el dígito del segundo cociente este
dígito se reducirá en 1. El procedimiento para
el paso 3 se ilustra como sigue:
El número 180 resultante de la multiplicación
de 9 por 20 se escribe como un divisor de prueba al lado del
nuevo dividendo (925), como se indica. Se escribe el dígito
del cociente (5) y se ajusta el divisor de prueba, que se
transforma en 185. El cociente de prueba (180) se tacha.
4. El verdadero divisor (185) se multiplica
por el segundo dígito (5) y el producto se coloca debajo
del nuevo dividendo (925). Este paso se indica en la ilustración
para,el paso 3. Cuando se resta el producto del nuevo dividendo
en el paso 4 la diferencia es cero; entonces, en este caso,
la raíz es exacta.
5. En algunos problemas la diferencia no es
cero después que todos los dígitos del número
original se han usado para formar nuevos dividendos. Tales
problemas podrían resolverse agregando ceros a la derecha
del número original, como se efectúa en una
división larga. No obstante, en el proceso de la raíz
cuadrada los ceros deben agregarse en grupos de dos.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Determinar la raíz cuadrada de cada uno de los siguientes
números:
|
. 
