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Números Irracionales


 

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NÚMEROS IRRACIONALES

Son los números que no pueden representarse mediante una fracción sino tan solo mediante una expresión decimal infinita no periódica.

Como hemos visto los números racionales se pueden expresar como números decimales periódicos. Además se ha observado que todo número decimal periódico se puede expresar como fracción, por lo tanto como número racional.

Llamaremos número irracional a todo número decimal no periódico.
Por ejemplo
      1,121121112...
Algunos números irracionales surgen del estudio de cuestiones geométricas. Así, al medir el cociente de la longitud de una circunferencia por el diámetro de la misma, aparece el número π

Ejemplos:

Los números racionales e irracionales forman los números reales. El conjunto de estos números se designa por la letra R.

Temas relacionados : Operaciones con radicales. Combinación de radicales. Adición y sustracción. Multiplicación y división. Simplificación de radicales. Práctica de problemas.

Racionalización de denominadores

Expresiones tales como poseen números irracionales en el denominador. Si los denominadores se convierten a decimales, como en

el proceso de calcular una fracción se transforma en un engorroso ejercicio de división. Tal fracción puede calcularse rápidamente transformando primero el denominador a número racional. Convertir una fracción con un número irracional en su denominador a una fracción equivalente con un número racional en el denominador se llama RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR.

Multiplicando una fracción por 1 no se altera el valor de ésta. Visto que todo número dividido por sí mismo es igual a 1 tenemos, por ejemplo, que

Si el numerador y denominador de se multiplican ambos por  , se obtiene otra fracción del mismo valor. El resultado es

El denominador de la nueva fracción equivalente es 2, que es racional. El valor decimal de la fracción es

Para racionalizar el denominador en  multiplicamos numerador y denominador por  . Resulta:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Problema 1-

Encuentra un número racional del tipo n/5 (n natural) que tenga expresión decimal periódica.

Resolución:

Comprensión del problema

Suele ser fructífero empezar experimentando:

 Fíjate que todas las pruebas que se han hecho han proporcionado decimales finitos. Ciertamente esto no conlleva que siempre haya de ocurrir así. Sin embargo, no deja de ser sospechoso que, con un enunciado tan sencillo, no aparezca ningún indicio de solución.

Has de pensar que, en algunos casos, te encontrará con problemas sin solución, con lo cual la resolución consistirá precisamente en demostrar que tal solución no existe.

Elaboración y ejecución de un plan.

De acuerdo con la anterior reflexión, intentamos demostrar que no hay ninguna solución al problema. Has de pensar que estamos trabajando en el sistema decimal y que la forma mas cómoda de realizar una división por 5 es multiplicar por 2 y dividir por 10. Por ejemplo:

Sabemos,  además, que para dividir por 10 basta correr la coma un lugar a la izquierda, todo lo cual evidencia que al dividir un número entero cualquiera por 5 jamás podrá aparecer un número periódico.

( Siempre n/5 = 2n/10, número con una cifra decimal como máximo )

Problema 2-

Racionalizar el denominador en cada una de las siguientes:

Problema 3 -

  1. ¿Es posible encontrar un entero n de tal forma que n/2 sea un decimal periódico? Razona la respuesta.
  2. ¿En qué condiciones se puede asegurar que el número racional n/3 (n natural) tiene expresión decimal periódica?

En este caso, ¿cuáles son los posibles períodos?

Indicación: Haz uso de la división entera en el grupo de los número naturales. Esto te permitirá expresar n/3 como suma de un entero y un racional. Si los piensas, verás que son muy pocos los casos que tienes que examinar.

Solución: Los períodos posibles son

Aproximaciones por exceso y por defecto de un número decimal: Cuando tenemos infinitas cifras decimales, debemos "truncar" el número y manejar sólo unas cuantas. Ejemplos: π= 3,14159265...

  • Aproximación por defecto con cuatro decimales: 3,1415
  • Aproximación por exceso con cuatro decimales: 3,1416
  • Redondeo con cuatro decimales: 3,1416 (es la aproximación más cercana al número verdadero) 26/7 = 3,7142857142...
  • Aproximación por defecto con dos decimales: 3,71
  • Aproximación por exceso con dos decimales: 3,72
  • Redondeo con dos decimales: 3,71

Error absoluto: Diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado. Como el error tiene a su vez infinitas cifras decimales se dan cotas del mismo, mediante aproximaciones por exceso con una sola cifra significativa. Tomando los ejemplos anteriores:

  • π: Redondeo: 3,1416 Error abs.: 0,00000735... Cota de error: 0,000008
  • 26/7: Redondeo: 3,71 Error abs.: 0,004285... Cota de error: 0,005

Error relativo: Cociente entre el error absoluto y el número decimal exacto. En la práctica se toma la cota de error y el número redondeado. Tomando los ejemplos anteriores:

  • Error relativo en π: 0,000008/3,1416 = 0,00000255
  • Error relativo en 26/7: 0,005/3,71 = 0,00135

Operaciones con números aproximados: Ejemplo: Multiplicamos π y 26/7.

Primero tomamos aproximaciones con el mismo número de cifras decimales, por ejemplo tres:

  • Defecto π=3,141 26/7 = 3,714
  • Exceso π=3,142 26/7 = 3,715
  • Redondeo π=3,142 26/7 = 3,714

Multiplicamos los valores redondeados: 3,142 * 3,714 = 11,669388

Multiplicamos los valores por defecto y por exceso

  • 3,141 * 3, 714 = 11,665674
  • 3,142 * 3.715 = 11,67253

Hallamos la diferencia: 11,67253 – 11,665674 = 0,006856 y redondeamos 0,007

Esta será la cota del error absoluto. La primera cifra significativa es la tercera.

Redondeamos ahora el valor obtenido como producto con tres decimales: 11,669 RESULTADO: π. 26/7 = 11,669 ; COTA DE ERROR: 0,007

CALCULO DE RADICALES

Toda expresión radical posee un equivalente decimal que puede ser exacto si el radicando es un número racional. Si el radicando no es racional la raíz se expresará como una aproximación decimal pero nunca será exacta. Puede emplearse un procedimiento similar a la división larga para calcular la raíz cuadrada y la raíz cúbica, y las raíces superiores pueden calcularse por métodos basados en logaritmos y en matemáticas superiores. Las tablas de potencias y raíces se han calculado para utilizar en aquellos campos científicos en los cuales es necesario trabajar a menudo con raíces.

Proceso de la raíz cuadrada

El proceso aritmético para calcular la raíz cuadrada se esboza en los siguientes párrafos

1. Comenzando en la coma decimal se separa el número en grupos de dos dígitos, desplazandose a la derecha y a la izquierda de la coma decimal. De aquí podrá quedar un dígito impar a la izquierda o a la derecha del número o a ambos lados. Por ejemplo, supongamos que el numero cuya raíz cuadrada buscamos es 9025. El número separado como se lo especificó sería:

2. Determinar el número más grande cuyo cuadro está contenido en el grupo de la izquierda (90). Este número es 9, ya que el cuadrado de 9 es 81. Escribir 9 encima del primer grupo. Elevar este número (9) al cuadrado, colocar su cuadrado en el grupo de la izquierda y restar como sigue:

Bajar el siguiente grupo (25) y colocarlo al lado de 9 como se indica. "Éste es el nuevo dividendo (925).

3. Multiplicando el primer dígito en la raíz (9) por 20 se obtiene 180 como divisor de prueba. Este divisor de prueba está contenido en el nuevo dividendo (925) cinco veces; entonces, el segundo dígito de la raíz parece ser 5. Sin embargo, este número debe sumarse al divisor de prueba para obtener un "verdadero divisor". Si el verdadero divisor es demasiado grande para usarlo con el dígito del segundo cociente este dígito se reducirá en 1. El procedimiento para el paso 3 se ilustra como sigue:

El número 180 resultante de la multiplicación de 9 por 20 se escribe como un divisor de prueba al lado del nuevo dividendo (925), como se indica. Se escribe el dígito del cociente (5) y se ajusta el divisor de prueba, que se transforma en 185. El cociente de prueba (180) se tacha.

4. El verdadero divisor (185) se multiplica por el segundo dígito (5) y el producto se coloca debajo del nuevo dividendo (925). Este paso se indica en la ilustración para,el paso 3. Cuando se resta el producto del nuevo dividendo en el paso 4 la diferencia es cero; entonces, en este caso, la raíz es exacta.

5. En algunos problemas la diferencia no es cero después que todos los dígitos del número original se han usado para formar nuevos dividendos. Tales problemas podrían resolverse agregando ceros a la derecha del número original, como se efectúa en una división larga. No obstante, en el proceso de la raíz cuadrada los ceros deben agregarse en grupos de dos.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Determinar la raíz cuadrada de cada uno de los siguientes números:

Resuelve con ayuda de la calculadora y aproxima el resultado a las milésimas:

 

 

 


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