Los logaritmos constituyen una
forma especializada en el empleo de los exponentes. Por medio
de los logaritmos pueden simplificarse enormemente los cálculos
con grandes grupos de datos. Por ejemplo, cuando se usan logaritmos
el proceso de la multiplicación se sustituye por la
simple adición y la división es reemplazada
por la sustracción. La elevación a potencia
mediante logaritmos se hace por simple multiplicación,
una extracción de raíz se reduce a una división.
DEFINICIONES
Sea la expresión y =am. Si se conocen a y m, y se denomina potencia enésima de a, m es el exponente y a la base. Si se fijan y y m, a es una raíz emésima de y.
Por último, conocidos y y a, se dice que m es el logaritmo de y en la base a. (El logaritmo de un número es, pues, el exponente de una potencia al que debe elevarse la base para obtener dicho número). Sea 125 = 53; 3 es el logaritmo de 125 en la base 5; por ser 729=93 es 3 el logaritmo de 729 en la base 9; de ello se concluye que un mismo número puede ser el logaritmo de potencias diferentes si cambia la base. Se abrevia logaritmo escribiendo log; cuando la base es el número 10 (logaritmos vulgares o decimales o de Briggs) se pondrá log10a, aunque se omitirá dicha base cuando no haya lugar a dudas. Otro número que también es base de logaritmos es el número irracional trascendente denominado e y cuyo valor es 2,7182 8182 8459 .. : tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
Los logaritmos de base e se denominan naturales, hiperbólicos, y también de
Neper. Su escritura se abrevia poniendo logea y a veces lna y también con la
o en a. En cuestiones especiales se usan otras bases.
El conjunto de logaritmos de una misma base se denomina sistema de logaritmos en dicha base.
La base de todo sistema de logaritmos es siempre un número positivo mayor que 1.
En cualquier sistema de logaritmos se verifican ciertas relaciones fundamentales que es conveniente destacar:
1. El logaritmo de un número, cuando existe, es único. (En el campo real.)
2. El cero carece de logaritmo; si una variable positiva tiende a cero, los respectivos logaritmos tienden a infinito.
3. El logaritmo de la base es 1.
4. El logaritmo de 1 es cero.
5. Los números negativos carecen de logaritmo.
6. Los logaritmos de los números mayores que 1 son positivos y los de los menores que 1 son negativos.
7. La misma relación de igualdad o de desigualdad que hay entre dos o más números existe entre sus logaritmos en un mismo sistema.
8. El logaritmo del producto de varios factores es la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.
9. El logaritmo de un cociente es la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el del divisor.
10. El logaritmo de una potencia es el producto entre exponente y el logaritmo de la base.
11. El logaritmo de la raíz enésima de un número es el cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.
12. El logaritmo del inverso multiplicativo de un número es el opuesto del logaritmo de dicho número.
13. .El logaritmo de una suma o de una diferencia no es la suma o diferencia de los logaritmos de los términos de una u otra, respectivamente.
14. A partir de un cierto valor se verifica que si dos números difieren muy poco, también sus logaritmos difieren muy poco entre sí. Esta propiedad es muy importante porque permite la interpolación lineal.
En la expresión 23 = 8, el número
2 es la base (no confundir con la base del sistema numérico)
y 3 es el exponente que debe usarse con la base para obtener
el número 8. El exponente 3 es el logaritmo de 8 cuando
la base es 2. Esta relación se establece por lo general
como sigue: El logaritmo de 8 en base 2 es 3. En general,
el logaritmo de un número N con respecto a determinada
base es el exponente que debe usarse con la base para obtener
N. La tabla 8-1 ilustra esto.
Tabla 8-1. Logaritmos con diversas bases
La tabla 8-1 muestra que la relación logarítmica
se expresa igualmente bien en cualquiera de las dos formas;
éstas son la forma exponencial y la forma logarítmica.
Observe, en la tabla 8-1, que la base de una expresión
logarítmica se indica colocando un subíndice
debajo y a la derecha de la abreviatura "log". Note
además que la palabra "logaritmo" se abrevia
sin usar punto.
La equivalencia de las formas logarítmica y exponencial
se usa para dar a la definición fundamental de logaritmo
una forma más útil como sigue:
En palabras, esta definición se establece como sigue:
Si la base b elevada a la potencia x es igual a N, entonces
x es el logaritmo del número N en base b.
Tabla 8-2. -Tablas exponencial y logarítmica para
la base 2
Uno de los muchos empleos de los logaritmos se ilustra en
un ejemplo en el cual la base es 2. La tabla 8-2 muestra las
potencias de 2 de 0 a 20. Supongamos que deseamos usar los
logaritmos para multiplicar los números 512 y 256,
como sigue:
Se ve que el problema de la multiplicación se reduce
a la simple adición de los exponentes 9 y 8 y a la
determinación de la potencia correspondiente en la
tabla.
La tabla 8-2 (A) indica la base 2 en la forma exponencial
con sus potencias correspondientes. El cálculo en trabajos
logarítmicos no requiere que se compute la forma exponencial.
Todo lo que se necesita es que se sumen los exponentes apropiados
y se disponga de una tabla en la cual pueda observarse el
número correspondiente al nuevo exponente después
de la adición. Por tanto, la tabla 8-2 (B) es adecuada
para nuestro propósito. Resolviendo el problema anterior
por medio de esta tabla tenemos lo siguiente:
En consecuencia, el número que buscamos
es uno de la tabla cuyo logaritmo es 17. Este número
es 131.072. En el ejemplo que hemos usado determinamos los
exponentes sumándolos directamente, ya que se trataba
de un problema de multiplicación, y buscando la potencia
correspondiente.
Esto evita el paso innecesario de escribir cada
vez la base 2.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Emplee los logaritmos de la tabla 8-2 para efectuar las siguientes
multiplicaciones:
LOGARITMOS NATURAL Y COMÚN
Muchos fenómenos naturales, como relaciones de crecimiento
y descenso, son descritos más fácilmente en
términos de fórmulas logarítmicas o exponenciales.
Además, la representación geométrica
del crecimiento de ciertas semillas (por ejemplo, las semillas
de girasol) es una espiral logarítmica. Estos hechos
explican el nombre de "logaritmos naturales". Los
logaritmos naturales usan la base e, que es un número
irracional aproximadamente igual a 2,71828. Este sistema se
llama a veces sistema de logaritmos Neperianos, en honor de
John Napier, a quien se acredita la invención de los
logaritmos.
Para distinguir logaritmos naturales de otros sistemas logarítmicos
se usa ln. Cuando aparece ln,
la base se sobreentiende que es e y no hay necesidad de indicarla.
Por ejemplo, tanto loge 45
como ln 45 significan el logaritmo natural
de 45.
LOGARITMOS COMUNES
Según se ha demostrado en los párrafos anteriores,
todo número puede utilizarse como base para un sistema
de logaritmos. La selección de una base es un criterio
de conveniencia. En 1617 Briggs determinó que la base
10 posee muchas ventajas no obtenibles en cálculos
comunes con otras bases. La selección de 10 como base
resultó ser tan satisfactoria que en la actualidad
se la emplea casi exclusivamente para los cálculos
comunes. Los logaritmos con 10 como base son llamados LOGARITMOS
COMUNES.
Cuando se utiliza 10 como base no es necesario indicarlo
al escribir los logaritmos. Por ejemplo,
log 100 = 2
se sobreentiende que significa lo mismo que
log10 100 = 2
Si la base es distinta de 10 se debe especificarla empleando
el subíndice a la derecha debajo de la abreviatura
"log". Conforme se hizo notar en la explicación
anterior de los logaritmos naturales, el empleo de la abreviación
distintiva "ln" elimina la necesidad
de un subíndice cuando la base es e.
Resulta relativamente fácil convertir logaritmos
comunes a logaritmos naturales o viceversa, si es necesario.
Se notará luego que cada sistema tiene sus ventajas
peculiares, pero para la mayor parte del trabajo diario el
sistema común es el que se usa con más frecuencia.
Una relación simple vincula los dos sistemas. Si
puede obtenerse el logaritmo común de un número,
multiplicando por 2,3026 se obtiene el logaritmo natural del
número. Por ejemplo,
log 1,60 = 0,2041
ln 1,60 = 2,3026 x 0,2041 = 0,4700
Entonces, el logaritmo natural de 1,60 es 0,4700,
corregido a 4 dígitos significativos.
Inversamente, multiplicando el logaritmo natural
por 0,4343 se obtiene el logaritmo común de un número.
Como debía esperarse, el factor de conversión
0,4343 es el recíproco de 2,3026. Esto se muestra como
sigue:
1 / 2,3026 = 0,4343
Tabla 8-3. Notaciones exponenciales y logarítmicas
correspondientes usando base 10.
LOGARITMOS ENTEROS POSITIVOS
Se evidencia rápidamente la derivación
de logaritmos enteros positivos. Por ejemplo, vemos en la
tabla 8-3 (B) que el logaritmo de 10 es 1.
El número 1 es simplemente el exponente
de la base 10 que produce 10. Esto se muestra en la tabla
8-3 (A), opuesto a la ecuación logarítmica.
Similarmente,
LOGARITIMOS FRACCIONARIOS POSITIVOS
Refiriéndonos a la tabla 8-3, observe
que el logaritmo de 1 es 0 y el logaritmo de 10 es 1. Entonces,
el logaritmo de un número entre 1 y 10 se encuentra
entre 0 y 1. Una forma fácil de verificar esto es considerar
algunos números entre 1 y 10 que son potencias de 10;
el exponente en cada caso será el logaritmo que buscamos.
Sin duda, las únicas potencias de 10 que producen números
entre 1 y 10 son las potencias fraccionarias,
EJEMPLO
101/2 = 3,1623 (aprox)
100,5 = 3,1623
Por tanto, log 3,1623 = 0,5.
En la tabla se indican otros ejemplos para 103/2,
105/2 y 107/2.
Advierta que el número que representa 103/2,
31,623, se encuentra bastante lógicamente
entre los números que representan 101
y 102 - es decir, entre 10
y 100. Note también que 105/2
aparece entre 102 y 103,
y 107/2 se encuentra entre 103
y 104.
LOGARITMOS NEGATIVOS
La tabla 8-3 nos muestra que en el sistema
de logaritmos puede incluirse potencias negativas de 10. Recordamos
que 10-1 significa 1/10,
o la fracción decimal 0,1. ¿Cuál es el
logaritmo de 0,1 ?
SOLUCION:
10-1 = 0,1; log 0,1 = -1
Asimismo,
10-2 = 0,0l; log 0,01 = -2
LOGARITMOS NEGATIVOS FRACCIONARIOS
Observe en la tabla 8-3 que los exponentes fraccionarios
negativos no presentan nuevos problemas en la notación
logarítmica. Por ejemplo, 10-1/2
significa 
¿Cuál es el logaritmo de 0,31623?
Solución:
La tabla 8-3 muestra los logaritmos para los
números 0,0001 a 10.000. Advierta que hay solamente
8 logaritmos enteros en el rango total. Excluyendo el logaritmo
cero, los logaritmos para todos los otros números del
rango son fraccionales o contienen una parte fraccional. Alrededor
del afio 1628 se calcularon los logaritmos para todos los
enteros de 1 a 100.000. Prácticamente todos estos logaritmos
contienen una parte fraccional. Se recordará que
determinar el logaritmo de un número no es nada más
que expresar un número como una potencia de 10.
La tabla 8-4 muestra los números 1 a 10 expresados
como potencias de 10. La mayoría de los exponentes
que comprenden los logaritmos se determinan por métodos
que escapan a los propósitos de este sitio. Sin embargo,
no es necesario conocer el proceso empleado para obtener los
logaritmos para poder usarlos.
Tabla 8-4. Números de 1 a 10 expresados
como potencias de 10
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