Logaritmos y regla de cálculo

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Los logaritmos constituyen una forma especializada en el empleo de los exponentes. Por medio de los logaritmos pueden simplificarse enormemente los cálculos con grandes grupos de datos. Por ejemplo, cuando se usan logaritmos el proceso de la multiplicación se sustituye por la simple adición y la división es reemplazada por la sustracción. La elevación a potencia mediante logaritmos se hace por simple multiplicación, una extracción de raíz se reduce a una división.

DEFINICIONES

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Sea la expresión y =a^m. Si se conocen a y m, y se denomina potencia enésima de a, m es el exponente y a la base. Si se fijan y y m, a es una raíz emésima de y.

Por último, conocidos y y a, se dice que m es el logaritmo de y en la base a. (El logaritmo de un número es, pues, el exponente de una potencia al que debe elevarse la base para obtener dicho número). Sea 125 = 5³; 3 es el logaritmo de 125 en la base 5; por ser 729=9³ es 3 el logaritmo de 729 en la base 9; de ello se concluye que un mismo número puede ser el logaritmo de potencias diferentes si cambia la base. Se abrevia logaritmo escribiendo log; cuando la base es el número 10 (logaritmos vulgares o decimales o de Briggs) se pondrá log₁₀a, aunque se omitirá dicha base cuando no haya lugar a dudas. Otro número que también es base de logaritmos es el número irracional trascendente denominado e y cuyo valor es 2,7182 8182 8459 .. : tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

Los logaritmos de base e se denominan naturales, hiperbólicos, y también de Neper. Su escritura se abrevia poniendo log_ea y a veces l_na y también con la o en a. En cuestiones especiales se usan otras bases.

El conjunto de logaritmos de una misma base se denomina sistema de logaritmos en dicha base.

La base de todo sistema de logaritmos es siempre un número positivo mayor que 1.

En cualquier sistema de logaritmos se verifican ciertas relaciones fundamentales que es conveniente destacar:

1. El logaritmo de un número, cuando existe, es único. (En el campo real.)

2. El cero carece de logaritmo; si una variable positiva tiende a cero, los respectivos logaritmos tienden a infinito.

3. El logaritmo de la base es 1.

4. El logaritmo de 1 es cero.

5. Los números negativos carecen de logaritmo.

6. Los logaritmos de los números mayores que 1 son positivos y los de los menores que 1 son negativos.

7. La misma relación de igualdad o de desigualdad que hay entre dos o más números existe entre sus logaritmos en un mismo sistema.

8. El logaritmo del producto de varios factores es la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.

9. El logaritmo de un cociente es la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el del divisor.

10. El logaritmo de una potencia es el producto entre exponente y el logaritmo de la base.

11. El logaritmo de la raíz enésima de un número es el cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

12. El logaritmo del inverso multiplicativo de un número es el opuesto del logaritmo de dicho número.

13. .El logaritmo de una suma o de una diferencia no es la suma o diferencia de los logaritmos de los términos de una u otra, respectivamente.

14. A partir de un cierto valor se verifica que si dos números difieren muy poco, también sus logaritmos difieren muy poco entre sí. Esta propiedad es muy importante porque permite la interpolación lineal.

Los logaritmos verifican las siguientes propiedades :

En la expresión 2³ = 8, el número 2 es la base (no confundir con la base del sistema numérico) y 3 es el exponente que debe usarse con la base para obtener el número 8. El exponente 3 es el logaritmo de 8 cuando la base es 2. Esta relación se establece por lo general como sigue: El logaritmo de 8 en base 2 es 3. En general, el logaritmo de un número N con respecto a determinada base es el exponente que debe usarse con la base para obtener N. La tabla 8-1 ilustra esto.

Tabla 8-1. Logaritmos con diversas bases

La tabla 8-1 muestra que la relación logarítmica se expresa igualmente bien en cualquiera de las dos formas; éstas son la forma exponencial y la forma logarítmica. Observe, en la tabla 8-1, que la base de una expresión logarítmica se indica colocando un subíndice debajo y a la derecha de la abreviatura "log". Note además que la palabra "logaritmo" se abrevia sin usar punto.

La equivalencia de las formas logarítmica y exponencial se usa para dar a la definición fundamental de logaritmo una forma más útil como sigue:

En palabras, esta definición se establece como sigue: Si la base b elevada a la potencia x es igual a N, entonces x es el logaritmo del número N en base b.

Tabla 8-2. -Tablas exponencial y logarítmica para la base 2

Uno de los muchos empleos de los logaritmos se ilustra en un ejemplo en el cual la base es 2. La tabla 8-2 muestra las potencias de 2 de 0 a 20. Supongamos que deseamos usar los logaritmos para multiplicar los números 512 y 256, como sigue:

Se ve que el problema de la multiplicación se reduce a la simple adición de los exponentes 9 y 8 y a la determinación de la potencia correspondiente en la tabla.

La tabla 8-2 (A) indica la base 2 en la forma exponencial con sus potencias correspondientes. El cálculo en trabajos logarítmicos no requiere que se compute la forma exponencial. Todo lo que se necesita es que se sumen los exponentes apropiados y se disponga de una tabla en la cual pueda observarse el número correspondiente al nuevo exponente después de la adición. Por tanto, la tabla 8-2 (B) es adecuada para nuestro propósito. Resolviendo el problema anterior por medio de esta tabla tenemos lo siguiente:

En consecuencia, el número que buscamos es uno de la tabla cuyo logaritmo es 17. Este número es 131.072. En el ejemplo que hemos usado determinamos los exponentes sumándolos directamente, ya que se trataba de un problema de multiplicación, y buscando la potencia correspondiente.

Esto evita el paso innecesario de escribir cada vez la base 2.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Emplee los logaritmos de la tabla 8-2 para efectuar las siguientes multiplicaciones:

LOGARITMOS NATURAL Y COMÚN

Consideremos la expresión:

donde x es un real positivo.

Puede observarse que para cualquier valor que tome el número real positivo x se tendrá:

Además puede verificarse que el valor de la expresión crece cuando se aumenta el valor de x. Cuando el número x se hace "muy grande" la expresión se acerca al valor 2,7182818 ... Más exactamente se acerca al número irracional que se denota por e descubierto por Juan Neper en 1614.

Muchos fenómenos naturales, como relaciones de crecimiento y descenso, son descritos más fácilmente en términos de fórmulas logarítmicas o exponenciales. Además, la representación geométrica del crecimiento de ciertas semillas (por ejemplo, las semillas de girasol) es una espiral logarítmica. Estos hechos explican el nombre de "logaritmos naturales". Los logaritmos naturales usan la base e, que es un número irracional aproximadamente igual a 2,71828. Este sistema se llama a veces sistema de logaritmos Neperianos, en honor de John Napier, a quien se acredita la invención de los logaritmos.

Siendo e un número real positivo, diferente de 1, podrá tomarse como base de logaritmos.

Los logaritmos de base e se llaman neperianos o naturales y su estudio es de gran utilidad, debido a que las propiedades de muchos fenómenos de la naturaleza se desarrollan conservando estrecha relación con la función exponencial de base e.

Para distinguir logaritmos naturales de otros sistemas logarítmicos se usa ln. Cuando aparece ln, la base se sobreentiende que es e y no hay necesidad de indicarla. Por ejemplo, tanto log_e 45 como ln 45 significan el logaritmo natural de 45.

Haciendo un poco de historia. Los logaritmos fueron descubiertos por el matemático Escocés John. Napier (1550- 1617). En unas notas de sus primeros años de trabajo aparecía la siguiente tabla:

En ella los números romanos representaban el logaritmo en base 2 del número correspondiente en la parte inferior. En 1615 H. Briggs (1561 - 1631) sugirió a Napier que debería usar el número 10 corno base para los logaritmos. Pronto Napier descubrió la imponancia de los logaritmos en base 10, debido a que el sistema decimal era el que se empleaba.

Durante 25 años estuvo realizando una tabla de logaritmos en base 10. Cuando la tabla fue completada causó una gran inpresión entre los científicos europeos y fue inmediatamente utilizada por dos grandes astrónomos como fueron D. T. Brabe y G.J. Kepler.

Como ejemplo de aplicación consideremos el siguiente estudio:

Un capital c a una tasa r de interés anual se convierte al cabo de un año en

C₁ =c + c.r (capital inicíal, más interés producido).

Con el mismo interés, al segundo año el capital es:

C₂ = C + c. r + (c + c.r) r = C( 1+ r)²

El capital acumulado en t años será:

C_t= c(1+r)^t

Un análisis similar permite establecer la fórmula para el caso de capitalizar varias veces al año:

Si se pretendiera capitalizar de continuo, deberíamos escoger a n "muy grande".

Modificando convenientemente la última fórmula dada obtenemos:

y de acuerdo con la determinación del número e:

ya que n/r es un número real "muy grande" por la escogencia de n.

Podemos entonces escribir nuestra fórmula como:

C_t = c.e^rt

Esta fórmula aunque no sea aplicable a capitalización, sí en cambio determina el crecimiento biológico de una especie determinada o el crecimiento de la población de un lugar determinado, además de ser aplicable a otros problemas.

Aplicando la definición de logaritmación a la última relación dada se obtiene:

de utilidad también en problemas similares que averiguan tiempo.

Esta gran utilidad de los logaritmos naturales ha determinado la elaboración de tablas para los valores de la función logarítmica de base e y su programación en las calculadoras electrónicas modernas.

Ejemplo: un cultivo de bacterias crece a razón de 3 por ciento cada hora. ¿Cuántas bacterias habrá después de 3 horas si el número inicial es 3 000?

Solución:

Este crecimiento C, está determinado por la fórmula:

C = 3 000 e^0.09

siendo la tasa de crecimiento 0,03.

Esta relación de equivalente a:

Respuesta: C = 3 282

¿En qué tiempo la cantidad de bacterias del ejercicio anterior se duplica?

Solución:

Según los datos la relación es ahora:

Respuesta: t = 23 horas, 6 minutos.

¿En qué razón (tasa) debe crecer el cultivo de bacterias para que su cantidad se duplique en 10 horas?

Solución:

Si suponemos C la cantidad inicial y r la tasa de crecimiento la relación que obtenemos es:

Respuesta: r = 0,07

LOGARITMOS COMUNES

Según se ha demostrado en los párrafos anteriores, todo número puede utilizarse como base para un sistema de logaritmos. La selección de una base es un criterio de conveniencia. En 1617 Briggs determinó que la base 10 posee muchas ventajas no obtenibles en cálculos comunes con otras bases. La selección de 10 como base resultó ser tan satisfactoria que en la actualidad se la emplea casi exclusivamente para los cálculos comunes. Los logaritmos con 10 como base son llamados LOGARITMOS COMUNES.

Cuando se utiliza 10 como base no es necesario indicarlo al escribir los logaritmos. Por ejemplo,

log 100 = 2

se sobreentiende que significa lo mismo que

log₁₀ 100 = 2

Si la base es distinta de 10 se debe especificarla empleando el subíndice a la derecha debajo de la abreviatura "log". Conforme se hizo notar en la explicación anterior de los logaritmos naturales, el empleo de la abreviación distintiva "ln" elimina la necesidad de un subíndice cuando la base es e.

Resulta relativamente fácil convertir logaritmos comunes a logaritmos naturales o viceversa, si es necesario. Se notará luego que cada sistema tiene sus ventajas peculiares, pero para la mayor parte del trabajo diario el sistema común es el que se usa con más frecuencia.

Una relación simple vincula los dos sistemas. Si puede obtenerse el logaritmo común de un número, multiplicando por 2,3026 se obtiene el logaritmo natural del número. Por ejemplo,

 log 1,60 = 0,2041

 ln 1,60 = 2,3026 x 0,2041 = 0,4700

Entonces, el logaritmo natural de 1,60 es 0,4700, corregido a 4 dígitos significativos.

Inversamente, multiplicando el logaritmo natural por 0,4343 se obtiene el logaritmo común de un número. Como debía esperarse, el factor de conversión 0,4343 es el recíproco de 2,3026. Esto se muestra como sigue:

1 / 2,3026 = 0,4343

Tabla 8-3. Notaciones exponenciales y logarítmicas correspondientes usando base 10.

Ejemplos :

Así por ejemplo si conocemos log₁₀ 2 y el log₁₀ 7, se puede conocer log₂ 7 y log₇ 2.

Por la fórmula anterior vemos que para calcular el logaritmo de un número n en base a, sólo necesitamos conocer los logaritmos decimales de a y n.

LOGARITMOS ENTEROS POSITIVOS

Se evidencia rápidamente la derivación de logaritmos enteros positivos. Por ejemplo, vemos en la tabla 8-3 (B) que el logaritmo de 10 es 1.

El número 1 es simplemente el exponente de la base 10 que produce 10. Esto se muestra en la tabla 8-3 (A), opuesto a la ecuación logarítmica. Similarmente,

LOGARITIMOS FRACCIONARIOS POSITIVOS

Refiriéndonos a la tabla 8-3, observe que el logaritmo de 1 es 0 y el logaritmo de 10 es 1. Entonces, el logaritmo de un número entre 1 y 10 se encuentra entre 0 y 1. Una forma fácil de verificar esto es considerar algunos números entre 1 y 10 que son potencias de 10; el exponente en cada caso será el logaritmo que buscamos. Sin duda, las únicas potencias de 10 que producen números entre 1 y 10 son las potencias fraccionarias,

EJEMPLO :

 10^1/2 = 3,1623 (aprox)

 10^0,5 = 3,1623

 Por tanto, log 3,1623 = 0,5.

En la tabla se indican otros ejemplos para 10^3/2, 10^5/2 y 10^7/2. Advierta que el número que representa 10^3/2,   31,623, se encuentra bastante lógicamente entre los números que representan 10¹ y 10² - es decir, entre 10 y 100. Note también que 10^5/2 aparece entre 10² y 10³, y 10^7/2 se encuentra entre 10³ y 10⁴.

LOGARITMOS NEGATIVOS

La tabla 8-3 nos muestra que en el sistema de logaritmos puede incluirse potencias negativas de 10. Recordamos que 10^-1 significa 1/10, o la fracción decimal 0,1. ¿Cuál es el logaritmo de 0,1 ?

SOLUCION:
10^-1 = 0,1;  log 0,1 = -1

Asimismo,
10^-2 = 0,0l;  log 0,01 = -2

LOGARITMOS NEGATIVOS FRACCIONARIOS

Observe en la tabla 8-3 que los exponentes fraccionarios negativos no presentan nuevos problemas en la notación logarítmica. Por ejemplo, 10^-1/2 significa 

¿Cuál es el logaritmo de 0,31623?

Solución:

La tabla 8-3 muestra los logaritmos para los números 0,0001 a 10.000. Advierta que hay solamente 8 logaritmos enteros en el rango total. Excluyendo el logaritmo cero, los logaritmos para todos los otros números del rango son fraccionales o contienen una parte fraccional. Alrededor del afio 1628 se calcularon los logaritmos para todos los enteros de 1 a 100.000. Prácticamente todos estos logaritmos contienen una parte fraccional. Se recordará que determinar el logaritmo de un número no es nada más que expresar un número como una potencia de 10. La tabla 8-4 muestra los números 1 a 10 expresados como potencias de 10. La mayoría de los exponentes que comprenden los logaritmos se determinan por métodos que escapan a los propósitos de este sitio. Sin embargo, no es necesario conocer el proceso empleado para obtener los logaritmos para poder usarlos.

Tabla 8-4. Números de 1 a 10 expresados como potencias de 10

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