CURSO DE MATEMÁTICAS

CAPÍTULO 8 - Logaritmos y regla de cálculo

Los logaritmos constituyen una forma especializada en el empleo de los exponentes. Por medio de los logaritmos pueden simplificarse enormemente los cálculos con grandes grupos de datos. Por ejemplo, cuando se usan logaritmos el proceso de la multiplicación se sustituye por la simple adición y la división es reemplazada por la sustracción. La elevación a potencia mediante logaritmos se hace por simple multiplicación, una extracción de raíz se reduce a una división.

DEFINICIONES

En la expresión 2³ = 8, el número 2 es la base (no confundir con la base del sistema numérico) y 3 es el exponente que debe usarse con la base para obtener el número 8. El exponente 3 es el logaritmo de 8 cuando la base es 2. Esta relación se establece por lo general como sigue: El logaritmo de 8 en base 2 es 3. En general, el logaritmo de un número N con respecto a determinada base es el exponente que debe usarse con la base para obtener N. La tabla 8-1 ilustra esto.

Tabla 8-1. Logaritmos con diversas bases

La tabla 8-1 muestra que la relación logarítmica se expresa igualmente bien en cualquiera de las dos formas; éstas son la forma exponencial y la forma logarítmica. Observe, en la tabla 8-1, que la base de una expresión logarítmica se indica colocando un subíndice debajo y a la derecha de la abreviatura "log". Note además que la palabra "logaritmo" se abrevia sin usar punto.

La equivalencia de las formas logarítmica y exponencial se usa para dar a la definición fundamental de logaritmo una forma más útil como sigue:

En palabras, esta definición se establece como sigue: Si la base b elevada a la potencia x es igual a N, entonces x es el logaritmo del número N en base b.

Tabla 8-2. -Tablas exponencial y logarítmica para la base 2

Uno de los muchos empleos de los logaritmos se ilustra en un ejemplo en el cual la base es 2. La tabla 8-2 muestra las potencias de 2 de 0 a 20. Supongamos que deseamos usar los logaritmos para multiplicar los números 512 y 256, como sigue:

Se ve que el problema de la multiplicación se reduce a la simple adición de los exponentes 9 y 8 y a la determinación de la potencia correspondiente en la tabla.

La tabla 8-2 (A) indica la base 2 en la forma exponencial con sus potencias correspondientes. El cálculo en trabajos logarítmicos no requiere que se compute la forma exponencial. Todo lo que se necesita es que se sumen los exponentes apropiados y se disponga de una tabla en la cual pueda observarse el número correspondiente al nuevo exponente después de la adición. Por tanto, la tabla 8-2 (B) es adecuada para nuestro propósito. Resolviendo el problema anterior por medio de esta tabla tenemos lo siguiente:

En consecuencia, el número que buscamos es uno de la tabla cuyo logaritmo es 17. Este número es 131.072. En el ejemplo que hemos usado determinamos los exponentes sumándolos directamente, ya que se trataba de un problema de multiplicación, y buscando la potencia correspondiente.

Esto evita el paso innecesario de escribir cada vez la base 2.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Emplee los logaritmos de la tabla 8-2 para efectuar las siguientes multiplicaciones:

LOGARITMOS NATURAL Y COMÚN

Muchos fenómenos naturales, como relaciones de crecimiento y descenso, son descritos más fácilmente en términos de fórmulas logarítmicas o exponenciales. Además, la representación geométrica del crecimiento de ciertas semillas (por ejemplo, las semillas de girasol) es una espiral logarítmica. Estos hechos explican el nombre de "logaritmos naturales". Los logaritmos naturales usan la base e, que es un número irracional aproximadamente igual a 2,71828. Este sistema se llama a veces sistema de logaritmos Neperianos, en honor de John Napier, a quien se acredita la invención de los logaritmos.

Para distinguir logaritmos naturales de otros sistemas logarítmicos se usa ln. Cuando aparece ln, la base se sobreentiende que es e y no hay necesidad de indicarla. Por ejemplo, tanto log_e 45 como ln 45 significan el logaritmo natural de 45.

Logaritmos comunes

Según se ha demostrado en los párrafos anteriores, todo número puede utilizarse como base para un sistema de logaritmos. La selección de una base es un criterio de conveniencia. En 1617 Briggs determinó que la base 10 posee muchas ventajas no obtenibles en cálculos comunes con otras bases. La selección de 10 como base resultó ser tan satisfactoria que en la actualidad se la emplea casi exclusivamente para los cálculos comunes. Los logaritmos con 10 como base son llamados LOGARITMOS COMUNES.

Cuando se utiliza 10 como base no es necesario indicarlo al escribir los logaritmos. Por ejemplo,

log 100 = 2

se sobreentiende que significa lo mismo que

log₁₀ 100 = 2

Si la base es distinta de 10 se debe especificarla empleando el subíndice a la derecha debajo de la abreviatura "log". Conforme se hizo notar en la explicación anterior de los logaritmos naturales, el empleo de la abreviación distintiva "ln" elimina la necesidad de un subíndice cuando la base es e.

Resulta relativamente fácil convertir logaritmos comunes a logaritmos naturales o viceversa, si es necesario. Se notará luego que cada sistema tiene sus ventajas peculiares, pero para la mayor parte del trabajo diario el sistema común es el que se usa con más frecuencia.

Una relación simple vincula los dos sistemas. Si puede obtenerse el logaritmo común de un número, multiplicando por 2,3026 se obtiene el logaritmo natural del número. Por ejemplo,

 log 1,60 = 0,2041

 ln 1,60 = 2,3026 x 0,2041 = 0,4700

Entonces, el logaritmo natural de 1,60 es 0,4700, corregido a 4 dígitos significativos.

Inversamente, multiplicando el logaritmo natural por 0,4343 se obtiene el logaritmo común de un número. Como debía esperarse, el factor de conversión 0,4343 es el recíproco de 2,3026. Esto se muestra como sigue:

1 / 2,3026 = 0,4343

Tabla 8-3. Notaciones exponenciales y logarítmicas correspondientes usando base 10.

LOGARITMOS ENTEROS POSITIVOS

Se evidencia rápidamente la derivación de logaritmos enteros positivos. Por ejemplo, vemos en la tabla 8-3 (B) que el logaritmo de 10 es 1.

El número 1 es simplemente el exponente de la base 10 que produce 10. Esto se muestra en la tabla 8-3 (A), opuesto a la ecuación logarítmica. Similarmente,

LOGARITIMOS FRACCIONARIOS POSITIVOS

Refiriéndonos a la tabla 8-3, observe que el logaritmo de 1 es 0 y el logaritmo de 10 es 1. Entonces, el logaritmo de un número entre 1 y 10 se encuentra entre 0 y 1. Una forma fácil de verificar esto es considerar algunos números entre 1 y 10 que son potencias de 10; el exponente en cada caso será el logaritmo que buscamos. Sin duda, las únicas potencias de 10 que producen números entre 1 y 10 son las potencias fraccionarias,

EJEMPLO

 10^1/2 = 3,1623 (aprox)

 10^0,5 = 3,1623

 Por tanto, log 3,1623 = 0,5.

En la tabla se indican otros ejemplos para 10^3/2, 10^5/2 y 10^7/2. Advierta que el número que representa 10^3/2,   31,623, se encuentra bastante lógicamente entre los números que representan 10¹ y 10² - es decir, entre 10 y 100. Note también que 10^5/2 aparece entre 10² y 10³, y 10^7/2 se encuentra entre 10³ y 10⁴.

LOGARITMOS NEGATIVOS

La tabla 8-3 nos muestra que en el sistema de logaritmos puede incluirse potencias negativas de 10. Recordamos que 10^-1 significa 1/10, o la fracción decimal 0,1. ¿Cuál es el logaritmo de 0,1 ?

SOLUCION:
10^-1 = 0,1;  log 0,1 = -1

Asimismo,
10^-2 = 0,0l;  log 0,01 = -2

LOGARITMOS NEGATIVOS FRACCIONARIOS

Observe en la tabla 8-3 que los exponentes fraccionarios negativos no presentan nuevos problemas en la notación logarítmica. Por ejemplo, 10^-1/2 significa 

¿Cuál es el logaritmo de 0,31623?

Solución:

La tabla 8-3 muestra los logaritmos para los números 0,0001 a 10.000. Advierta que hay solamente 8 logaritmos enteros en el rango total. Excluyendo el logaritmo cero, los logaritmos para todos los otros números del rango son fraccionales o contienen una parte fraccional. Alrededor del afio 1628 se calcularon los logaritmos para todos los enteros de 1 a 100.000. Prácticamente todos estos logaritmos contienen una parte fraccional. Se recordará que determinar el logaritmo de un número no es nada más que expresar un número como una potencia de 10. La tabla 8-4 muestra los números 1 a 10 expresados como potencias de 10. La mayoría de los exponentes que comprenden los logaritmos se determinan por métodos que escapan a los propósitos de este sitio. Sin embargo, no es necesario conocer el proceso empleado para obtener los logaritmos para poder usarlos.

Tabla 8-4. Números de 1 a 10 expresados como potencias de 10

Componentes de los logaritmos

La parte fraccionaría de un logaritmo se escribe generalmente como un decimal. La parte entera numérica de un logaritmo y la parte decimal han recibido nombres separados debido a que cada una desempeña un rol especial en relación al número que representa el logaritmo. La parte numérica entera de un logaritmo se denomina CARACTERÍSTICA. Esta parte del logaritmo indica la posición de la coma decimal en el número asociado. La parte decimal del logaritmo se llama MANTISA.

Para una secuencia particular de dígitos que forman un número, la mantisa de un logaritmo común siempre es la misma, independientemente de la posición de la coma decimal en ese número. Por ejemplo, log 5270 = 3,72181; la mantisa es 0,72181 y la característica es 3.

Característica

La característica de un logaritmo común indica la posición de la coma decimal en el número asociado. La característica para determinado número se halla por observación. Se recordará que un logaritmo común es simplemente un exponente de la base 10.

Cuando escribimos log 360 = 2,55630, entendemos que esto significa 10^2,55630 = 360. Sabemos que el número es 360 y no 36 ó 3600 debido a que la característica es 2. Sabemos que 10¹ es 10, 10² es, 100 y 10³ es 1000. Por tanto, el número cuyo valor es 10^2,55630 estará comprendido entre 100 y 1000 y entonces todo número en ese rango tiene tres dígitos.

Supongamos que la característica ha sido 1: ¿dónde se colocará la coma decimal del número? Puesto que 10¹ es 10 y que 10² es 100 todo número cuyo logaritmo esté entre 1 y 2 deberá hallarse comprendido entre 10 y 100 y tendrá 2 dígitos. Observe cómo cambia la posición de la coma decimal con el valor de la característica en los siguientes ejemplos:

Note que cuando se corre la coma decimal sólo cambia la característica. De aquí se desprende una ventaja de usar la base 10: si se conoce la característica, la coma decimal se ubica fácilmente, Si se conoce el número, la característica se determina por observación; es decir, observando la colocación de la coma decimal.

Si bien la comprensión de la relación de la característica respecto de la potencia de 10 es necesaria para el total conocimiento de los logaritmos, la característica podrá determinarse mecánicamente con la aplicación de la siguiente regla:

1. Para un numero mayor que 1, la característica es positiva y es uno menos que el número de dígitos a la izquierda de la coma decimal del número.

2. Para un número positivo menor que 1, la característica es negativa y tiene un valor absoluto 1 más que el número de ceros entre la coma decimal y el primer dígito no cero del número.

La tabla 8-5 contiene ejemplos de cada tipo de característica.

Tabla 8-5. Características positivas y negativas.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

En los problemas 1 a 4 escriba la característica del logaritmo para cada número. De 5 a 8 coloque la coma decimal en cada número como está indicado por la característica (c) dada para cada uno.

1. 4.321         2. 1,23            3. 0,05             4. 12
5. 123; c=4                           6.  8.210; c= 0
7. 8; c=-1                              8.   321; c= -2

Respuestas:

1. 3                2. 0                3. -2                    4. 1
5. 12.300       6. 8,1210        7. 0,8                   8. 0,0321

CARACTERÍSTICAS NEGATIVAS

Cuando una característica es negativa, tal como -2, no hacemos la sustracción, ya que ésta implicaría una mantisa negativa. Hay varias formas de señalar una característica negativa. Las mantisas, tal como se presentan en las tablas del apéndice, son siempre positivas y el signo de la característica se indica separadamente. Por ejemplo,  ; la barra sobre el 2 señala que sólo la característica es negativa; vale decir que el logaritmo es -2 + 0,36173.

Otra forma de indicar la característica negativa es colocándola después de la mantisa. En ese caso escribimos 0,36173 -2.

Un tercer método, que en este capítulo se usa cuando es posible, consiste en sumar cierta cantidad a. la característica y restar la misma cantidad a la derecha en la mantisa. En el caso del ejemplo podemos escribir:

En esta forma el valor del logaritmo permanece inalterado, pero ahora tenemos característica y mantisa positivas.

Mantisa

La mantisa es la parte decimal del logaritmo. Las tablas de logaritmos contienen por lo general sólo las mantisas, puesto que la característica se determina fácilmente, como se explicó antes. La tabla 8-6 señala la característica, mantisa y logaritmo para diversas posiciones de la coma decimal usando la secuencia de dígitos 4, 5, 6. Se notará que la mantisa no cambia para esta secuencia particular de dígitos, independientemente de la posición de la coma decimal.

PRACTICA DE PROBLEMAS:
Determinar los logaritmos de los siguientes números:

1. 64                2. 98                  3. 6400               4. 9,8

Respuestas:

1. 1,80618                                      2. 1,99123
3. 3,80618                                      4. 0,99123

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