Los logaritmos constituyen una
forma especializada en el empleo de los exponentes. Por medio
de los logaritmos pueden simplificarse enormemente los cálculos
con grandes grupos de datos. Por ejemplo, cuando se usan logaritmos
el proceso de la multiplicación se sustituye por la
simple adición y la división es reemplazada
por la sustracción. La elevación a potencia
mediante logaritmos se hace por simple multiplicación,
una extracción de raíz se reduce a una división.
DEFINICIONES
En la expresión 23 = 8, el número
2 es la base (no confundir con la base del sistema numérico)
y 3 es el exponente que debe usarse con la base para obtener
el número 8. El exponente 3 es el logaritmo de 8 cuando
la base es 2. Esta relación se establece por lo general
como sigue: El logaritmo de 8 en base 2 es 3. En general,
el logaritmo de un número N con respecto a determinada
base es el exponente que debe usarse con la base para obtener
N. La tabla 8-1 ilustra esto.
Tabla 8-1. Logaritmos con diversas bases
La tabla 8-1 muestra que la relación logarítmica
se expresa igualmente bien en cualquiera de las dos formas;
éstas son la forma exponencial y la forma logarítmica.
Observe, en la tabla 8-1, que la base de una expresión
logarítmica se indica colocando un subíndice
debajo y a la derecha de la abreviatura "log". Note
además que la palabra "logaritmo" se abrevia
sin usar punto.
La equivalencia de las formas logarítmica y exponencial
se usa para dar a la definición fundamental de logaritmo
una forma más útil como sigue:
En palabras, esta definición se establece como sigue:
Si la base b elevada a la potencia x es igual a N, entonces
x es el logaritmo del número N en base b.

Tabla 8-2. -Tablas exponencial y logarítmica para
la base 2
Uno de los muchos empleos de los logaritmos se ilustra en
un ejemplo en el cual la base es 2. La tabla 8-2 muestra las
potencias de 2 de 0 a 20. Supongamos que deseamos usar los
logaritmos para multiplicar los números 512 y 256,
como sigue:
Se ve que el problema de la multiplicación se reduce
a la simple adición de los exponentes 9 y 8 y a la
determinación de la potencia correspondiente en la
tabla.
La tabla 8-2 (A) indica la base 2 en la forma exponencial
con sus potencias correspondientes. El cálculo en trabajos
logarítmicos no requiere que se compute la forma exponencial.
Todo lo que se necesita es que se sumen los exponentes apropiados
y se disponga de una tabla en la cual pueda observarse el
número correspondiente al nuevo exponente después
de la adición. Por tanto, la tabla 8-2 (B) es adecuada
para nuestro propósito. Resolviendo el problema anterior
por medio de esta tabla tenemos lo siguiente:
En consecuencia, el número que buscamos
es uno de la tabla cuyo logaritmo es 17. Este número
es 131.072. En el ejemplo que hemos usado determinamos los
exponentes sumándolos directamente, ya que se trataba
de un problema de multiplicación, y buscando la potencia
correspondiente.
Esto evita el paso innecesario de escribir cada
vez la base 2.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Emplee los logaritmos de la tabla 8-2 para efectuar las siguientes
multiplicaciones:
LOGARITMOS NATURAL Y COMÚN
Muchos fenómenos naturales, como relaciones de crecimiento
y descenso, son descritos más fácilmente en
términos de fórmulas logarítmicas o exponenciales.
Además, la representación geométrica
del crecimiento de ciertas semillas (por ejemplo, las semillas
de girasol) es una espiral logarítmica. Estos hechos
explican el nombre de "logaritmos naturales". Los
logaritmos naturales usan la base e, que es un número
irracional aproximadamente igual a 2,71828. Este sistema se
llama a veces sistema de logaritmos Neperianos, en honor de
John Napier, a quien se acredita la invención de los
logaritmos.
Para distinguir logaritmos naturales de otros sistemas logarítmicos
se usa ln. Cuando aparece ln,
la base se sobreentiende que es e y no hay necesidad de indicarla.
Por ejemplo, tanto loge 45
como ln 45 significan el logaritmo natural
de 45.
Logaritmos comunes
Según se ha demostrado en los párrafos anteriores,
todo número puede utilizarse como base para un sistema
de logaritmos. La selección de una base es un criterio
de conveniencia. En 1617 Briggs determinó que la base
10 posee muchas ventajas no obtenibles en cálculos
comunes con otras bases. La selección de 10 como base
resultó ser tan satisfactoria que en la actualidad
se la emplea casi exclusivamente para los cálculos
comunes. Los logaritmos con 10 como base son llamados LOGARITMOS
COMUNES.
Cuando se utiliza 10 como base no es necesario indicarlo
al escribir los logaritmos. Por ejemplo,
log 100 = 2
se sobreentiende que significa lo mismo que
log10 100 = 2
Si la base es distinta de 10 se debe especificarla empleando
el subíndice a la derecha debajo de la abreviatura
"log". Conforme se hizo notar en la explicación
anterior de los logaritmos naturales, el empleo de la abreviación
distintiva "ln" elimina la necesidad
de un subíndice cuando la base es e.
Resulta relativamente fácil convertir logaritmos
comunes a logaritmos naturales o viceversa, si es necesario.
Se notará luego que cada sistema tiene sus ventajas
peculiares, pero para la mayor parte del trabajo diario el
sistema común es el que se usa con más frecuencia.
Una relación simple vincula los dos sistemas. Si
puede obtenerse el logaritmo común de un número,
multiplicando por 2,3026 se obtiene el logaritmo natural del
número. Por ejemplo,
log 1,60 = 0,2041
ln 1,60 = 2,3026 x 0,2041 = 0,4700
Entonces, el logaritmo natural de 1,60 es 0,4700,
corregido a 4 dígitos significativos.
Inversamente, multiplicando el logaritmo natural
por 0,4343 se obtiene el logaritmo común de un número.
Como debía esperarse, el factor de conversión
0,4343 es el recíproco de 2,3026. Esto se muestra como
sigue:
1 / 2,3026 = 0,4343
Tabla 8-3. Notaciones exponenciales y logarítmicas
correspondientes usando base 10.

LOGARITMOS ENTEROS POSITIVOS
Se evidencia rápidamente la derivación
de logaritmos enteros positivos. Por ejemplo, vemos en la
tabla 8-3 (B) que el logaritmo de 10 es 1.
El número 1 es simplemente el exponente
de la base 10 que produce 10. Esto se muestra en la tabla
8-3 (A), opuesto a la ecuación logarítmica.
Similarmente,
LOGARITIMOS FRACCIONARIOS POSITIVOS
Refiriéndonos a la tabla 8-3, observe
que el logaritmo de 1 es 0 y el logaritmo de 10 es 1. Entonces,
el logaritmo de un número entre 1 y 10 se encuentra
entre 0 y 1. Una forma fácil de verificar esto es considerar
algunos números entre 1 y 10 que son potencias de 10;
el exponente en cada caso será el logaritmo que buscamos.
Sin duda, las únicas potencias de 10 que producen números
entre 1 y 10 son las potencias fraccionarias,
EJEMPLO
101/2 = 3,1623 (aprox)
100,5 = 3,1623
Por tanto, log 3,1623 = 0,5.
En la tabla se indican otros ejemplos para 103/2,
105/2 y 107/2.
Advierta que el número que representa 103/2,
31,623, se encuentra bastante lógicamente
entre los números que representan 101
y 102 - es decir, entre 10
y 100. Note también que 105/2
aparece entre 102 y 103,
y 107/2 se encuentra entre 103
y 104.
LOGARITMOS NEGATIVOS
La tabla 8-3 nos muestra que en el sistema
de logaritmos puede incluirse potencias negativas de 10. Recordamos
que 10-1 significa 1/10,
o la fracción decimal 0,1. ¿Cuál es el
logaritmo de 0,1 ?
SOLUCION:
10-1 = 0,1; log 0,1 = -1
Asimismo,
10-2 = 0,0l; log 0,01 = -2
LOGARITMOS NEGATIVOS FRACCIONARIOS
Observe en la tabla 8-3 que los exponentes fraccionarios
negativos no presentan nuevos problemas en la notación
logarítmica. Por ejemplo, 10-1/2
significa 
¿Cuál es el logaritmo de 0,31623?
Solución:

La tabla 8-3 muestra los logaritmos para los
números 0,0001 a 10.000. Advierta que hay solamente
8 logaritmos enteros en el rango total. Excluyendo el logaritmo
cero, los logaritmos para todos los otros números del
rango son fraccionales o contienen una parte fraccional. Alrededor
del afio 1628 se calcularon los logaritmos para todos los
enteros de 1 a 100.000. Prácticamente todos estos logaritmos
contienen una parte fraccional. Se recordará que
determinar el logaritmo de un número no es nada más
que expresar un número como una potencia de 10.
La tabla 8-4 muestra los números 1 a 10 expresados
como potencias de 10. La mayoría de los exponentes
que comprenden los logaritmos se determinan por métodos
que escapan a los propósitos de este sitio. Sin embargo,
no es necesario conocer el proceso empleado para obtener los
logaritmos para poder usarlos.
Tabla 8-4. Números de 1 a 10 expresados
como potencias de 10
Componentes de los logaritmos
La parte fraccionaría de un logaritmo
se escribe generalmente como un decimal. La parte entera numérica
de un logaritmo y la parte decimal han recibido nombres separados
debido a que cada una desempeña un rol especial en
relación al número que representa el logaritmo.
La parte numérica entera de un logaritmo se denomina
CARACTERÍSTICA. Esta parte del logaritmo indica la
posición de la coma decimal en el número asociado.
La parte decimal del logaritmo se llama MANTISA.
Para una secuencia particular de dígitos
que forman un número, la mantisa de un logaritmo común
siempre es la misma, independientemente de la posición
de la coma decimal en ese número. Por ejemplo, log
5270 = 3,72181; la mantisa es 0,72181
y la característica es 3.
Característica
La característica de un logaritmo común
indica la posición de la coma decimal en el número
asociado. La característica para determinado número
se halla por observación. Se recordará que
un logaritmo común es simplemente un exponente de la
base 10.
Cuando escribimos log 360 = 2,55630,
entendemos que esto significa 102,55630
= 360. Sabemos que el número es 360
y no 36 ó 3600 debido a que la característica
es 2. Sabemos que 101 es 10, 102 es,
100 y 103 es 1000. Por tanto, el número
cuyo valor es 102,55630 estará comprendido
entre 100 y 1000 y entonces todo número en ese rango
tiene tres dígitos.
Supongamos que la característica ha
sido 1: ¿dónde se colocará la coma decimal
del número? Puesto que 101 es 10 y que 102
es 100 todo número cuyo logaritmo esté entre
1 y 2 deberá hallarse comprendido entre 10 y 100 y
tendrá 2 dígitos. Observe cómo cambia
la posición de la coma decimal con el valor de la característica
en los siguientes ejemplos:
log 36.000 = 4,55630
log 3.600 = 3,55630
log 360 = 2,55630
log 36 = 1,55630
log 3,6 = 0,55630
|
Note que cuando se corre la coma decimal sólo
cambia la característica. De aquí se desprende
una ventaja de usar la base 10: si se conoce la característica,
la coma decimal se ubica fácilmente, Si se conoce el
número, la característica se determina por observación;
es decir, observando la colocación de la coma decimal.
Si bien la comprensión de la relación
de la característica respecto de la potencia de 10
es necesaria para el total conocimiento de los logaritmos,
la característica podrá determinarse mecánicamente
con la aplicación de la siguiente regla:
1. Para un numero mayor que 1, la característica
es positiva y es uno menos que el número de dígitos
a la izquierda de la coma decimal del número.
2. Para un número positivo menor que
1, la característica es negativa y tiene un valor absoluto
1 más que el número de ceros entre la coma decimal
y el primer dígito no cero del número.
La tabla 8-5 contiene ejemplos de cada tipo
de característica.
Tabla 8-5. Características positivas
y negativas.
| Número |
Potencia de 10 |
Dígitos a en el número
a la izquierda de la coma decimal |
Característica |
| |
Entre |
|
|
| 134 |
102 y 103 |
3 |
2 |
| 13,4 |
101 y 102 |
2 |
1 |
| 1,34 |
100 y 101 |
1 |
0 |
| |
|
Ceros entre la coma decimal y el primer dígito
no cero |
|
| 0,134 |
10-1 y 100 |
0 |
-1 |
| 0,0134 |
10-2 y 100 |
1 |
-2 |
| 0,00134 |
10-3 y 10-2 |
2 |
-3 |
| |
|
|
|
|
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los problemas 1 a 4 escriba la característica
del logaritmo para cada número. De 5 a 8 coloque la
coma decimal en cada número como está indicado
por la característica (c) dada para cada uno.
1. 4.321
2. 1,23
3. 0,05
4. 12
5. 123; c=4
6. 8.210;
c= 0
7. 8; c=-1
8.
321; c= -2
Respuestas:
1. 3
2. 0
3. -2
4. 1
5. 12.300
6. 8,1210
7. 0,8
8. 0,0321
CARACTERÍSTICAS NEGATIVAS
Cuando una característica es negativa, tal como -2,
no hacemos la sustracción, ya que ésta implicaría
una mantisa negativa. Hay varias formas de señalar
una característica negativa. Las mantisas, tal como
se presentan en las tablas del apéndice, son siempre
positivas y el signo de la característica se indica
separadamente. Por ejemplo,
; la barra sobre el 2 señala que sólo la característica
es negativa; vale decir que el logaritmo es -2 + 0,36173.
Otra forma de indicar la característica negativa
es colocándola después de la mantisa. En ese
caso escribimos 0,36173 -2.
Un tercer método, que en este capítulo se
usa cuando es posible, consiste en sumar cierta cantidad a.
la característica y restar la misma cantidad a la derecha
en la mantisa. En el caso del ejemplo podemos escribir:
En esta forma el valor del logaritmo permanece
inalterado, pero ahora tenemos característica y mantisa
positivas.
Mantisa
La mantisa es la parte decimal del logaritmo. Las tablas
de logaritmos contienen por lo general sólo las mantisas,
puesto que la característica se determina fácilmente,
como se explicó antes. La tabla 8-6 señala la
característica, mantisa y logaritmo para diversas posiciones
de la coma decimal usando la secuencia de dígitos 4,
5, 6. Se notará que la mantisa no cambia para esta
secuencia particular de dígitos, independientemente
de la posición de la coma decimal.
PRACTICA DE PROBLEMAS:
Determinar los logaritmos de los siguientes números:
1. 64
2. 98
3. 6400
4. 9,8
Respuestas:
1. 1,80618
2. 1,99123
3. 3,80618
4. 0,99123
Regla
de cálculo >> 1
- 2 - 3
|