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Matemáticas: Logaritmos.


 

 


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COMPONENTES DE LOS LOGARITMOS

Logaritmos y regla de cálculo.

Temas relacionados : logaritmos >> 1 2 3 4

La parte fraccionaría de un logaritmo se escribe generalmente como un decimal. La parte entera numérica de un logaritmo y la parte decimal han recibido nombres separados debido a que cada una desempeña un rol especial en relación al número que representa el logaritmo. La parte numérica entera de un logaritmo se denomina CARACTERÍSTICA. Esta parte del logaritmo indica la posición de la coma decimal en el número asociado. La parte decimal del logaritmo se llama MANTISA.

El logaritmo decimal de 4570 es 3,65992; la cifra 3 es la característica; la fracción decimal es la mantisa, ambas partes no nulas; en el logaritmo de 3, que es 0,47712 es nulo la característica; las potencias de 10 de exponente entero tienen logaritmo decimal con mantisa nula.

El logaritmo de 1 tiene, en cualquier sistema ambas partes nulas.

Para una secuencia particular de dígitos que forman un número, la mantisa de un logaritmo común siempre es la misma, independientemente de la posición de la coma decimal en ese número. Por ejemplo, log 5270 = 3,72181; la mantisa es 0,72181 y la característica es 3.

CARACTERÍSTICA

La característica de un logaritmo común indica la posición de la coma decimal en el número asociado. La característica para determinado número se halla por observación. Se recordará que un logaritmo común es simplemente un exponente de la base 10.

Cuando escribimos log 360 = 2,55630, entendemos que esto significa 102,55630 = 360. Sabemos que el número es 360 y no 36 ó 3600 debido a que la característica es 2. Sabemos que 101 es 10, 102 es, 100 y 103 es 1000. Por tanto, el número cuyo valor es 102,55630 estará comprendido entre 100 y 1000 y entonces todo número en ese rango tiene tres dígitos.

Supongamos que la característica ha sido 1: ¿dónde se colocará la coma decimal del número? Puesto que 101 es 10 y que 102 es 100 todo número cuyo logaritmo esté entre 1 y 2 deberá hallarse comprendido entre 10 y 100 y tendrá 2 dígitos. Observe cómo cambia la posición de la coma decimal con el valor de la característica en los siguientes ejemplos:

log 36.000 = 4,55630
log 3.600 = 3,55630
log 360 = 2,55630
log 36 = 1,55630
log 3,6 = 0,55630

Note que cuando se corre la coma decimal sólo cambia la característica. De aquí se desprende una ventaja de usar la base 10: si se conoce la característica, la coma decimal se ubica fácilmente, Si se conoce el número, la característica se determina por observación; es decir, observando la colocación de la coma decimal.

Si bien la comprensión de la relación de la característica respecto de la potencia de 10 es necesaria para el total conocimiento de los logaritmos, la característica podrá determinarse mecánicamente con la aplicación de la siguiente regla:

1. Para un numero mayor que 1, la característica es positiva y es uno menos que el número de dígitos a la izquierda de la coma decimal del número.

2. Para un número positivo menor que 1, la característica es negativa y tiene un valor absoluto 1 más que el número de ceros entre la coma decimal y el primer dígito no cero del número.

La tabla 8-5 contiene ejemplos de cada tipo de característica.

Tabla 8-5. Características positivas y negativas.

Número Potencia de 10 Dígitos a en el número a la izquierda de la coma decimal Característica
  Entre    
134 102 y 103 3 2
13,4 101 y 102 2 1
1,34 100 y 101 1 0
    Ceros entre la coma decimal y el primer dígito no cero  
0,134 10-1 y 100 0 -1
0,0134 10-2 y 100 1 -2
0,00134 10-3 y 10-2 2 -3
       

CAMBIO DE BASE

Dado el logaritmo de un número en un sistema se puede calcular su logaritmo en cualquier otro sistema, problema que se conoce como cambio de base.

Sea x el logaritmo de P en la base a; se desea el logaritmo de P en la base b.

Por ser x el logaritmo de P, en la base a se verifica la relación P =ax, tomando logaritmos en la base b, en esta igualdad resulta: logbP =x logba; sustituyendo  x por su igual logaP, se tiene: logbP = logaP. logba: que en palabras se expresa diciendo: conocido el logaritmo de un número en una base se halla su equivalente en otra multiplicándolo por el logaritmo de la primera base en la segunda.

Así se pasa de la base e a la base 10 poniendo: log10P = logeP . 0.43429 … Este factor de proporcionalidad recibe el nombre de Módulo de trasformación y se simboliza con la letra M. Para expresar un logaritmo dado en base 10 en la base e, aplicando el enunciado anterior, se tiene la relación logeQ =log10Q. loge10 = log10Q . 2,30259; este factor de proporcionalidad es el reciproco del anterior, por lo que se lo representa con 1/M.

COLOGARITMO DE UN NÚMERO

Definición. Se denomina cologaritmo de un número al logaritmo de éste cambiado de signo. En símbolos: cologaritmo de n = - log n.

Se abrevia cologaritmo poniendo colog.

De la definición se deduce que log n + colog n = 0. por lo que se concluye que el colog de un número es su complemento a cero; y puesto que

log 1/n  = - log n, también se puede decir que el colog de un número es el logaritmo de su recíproco.

La importancia del concepto que se acaba de definir reside en el hecho de que en una suma de logaritmos pueden sustituirse los términos negativos por los respectivos cologaritmos precedidos por el signo de sumar.

Se obtiene rápidamente el cologaritmo de un número, dado su logaritmo, restando de 10 la primera cifra no nula de la derecha de la mantisa, de 9 las restantes de la izquierda, hasta la coma decimal; a la característica se le suma una unidad positiva y se cambia el signo de esta suma.

ANTILOGARITMO DE UN LOGARITMO

Si p es el logaritmo de n en un sistema de base a se dice que n es el antilogaritmo de p en dicha base.

De la definición se deduce, entonces, que debe ser n = aP, o lo que es lo mismo: n = aloga n

Ejemplo: Por ser log10615 = 2,78888 es antilog. 2,8888 = 615.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

En los problemas 1 a 4 escriba la característica del logaritmo para cada número. De 5 a 8 coloque la coma decimal en cada número como está indicado por la característica (c) dada para cada uno.

1. 4.321         2. 1,23            3. 0,05             4. 12
5. 123; c=4                           6.  8.210; c= 0
7. 8; c=-1                              8.   321; c= -2

Respuestas:

1. 3                2. 0                3. -2                    4. 1
5. 12.300       6. 8,1210        7. 0,8                   8. 0,0321

CARACTERÍSTICAS NEGATIVAS

Cuando una característica es negativa, tal como -2, no hacemos la sustracción, ya que ésta implicaría una mantisa negativa. Hay varias formas de señalar una característica negativa. Las mantisas, tal como se presentan en las tablas del apéndice, son siempre positivas y el signo de la característica se indica separadamente. Por ejemplo,  ; la barra sobre el 2 señala que sólo la característica es negativa; vale decir que el logaritmo es -2 + 0,36173.

Otra forma de indicar la característica negativa es colocándola después de la mantisa. En ese caso escribimos 0,36173 -2.

Un tercer método, que en este capítulo se usa cuando es posible, consiste en sumar cierta cantidad a. la característica y restar la misma cantidad a la derecha en la mantisa. En el caso del ejemplo podemos escribir:

En esta forma el valor del logaritmo permanece inalterado, pero ahora tenemos característica y mantisa positivas.

MANTISA

La mantisa es la parte decimal del logaritmo. Las tablas de logaritmos contienen por lo general sólo las mantisas, puesto que la característica se determina fácilmente, como se explicó antes. La tabla 8-6 señala la característica, mantisa y logaritmo para diversas posiciones de la coma decimal usando la secuencia de dígitos 4, 5, 6. Se notará que la mantisa no cambia para esta secuencia particular de dígitos, independientemente de la posición de la coma decimal.

PRACTICA DE PROBLEMAS:
Determinar los logaritmos de los siguientes números:

1. 64                2. 98                  3. 6400               4. 9,8

Respuestas:

1. 1,80618                                      2. 1,99123
3. 3,80618                                      4. 0,99123

OPERACIONES CON LOGARITMOS

Las operaciones que se expresan a continuación se harán con logaritmos de mantisa positiva.

SUMA

Si las características son todas positivas, la suma de los logaritmos dados se reduce a la suma números decimales. Si las características son todas negativas, o unas positivas y otras negativas, se suman las mantisas, y si esta suma contuviera una parte entera (que es positiva) dicha parte se sumará a la suma algebraica de las características. Con ambos resultados se formará el logaritmo suma.

Se ilustrará este caso con un ejemplo. Sea

la suma de las mantisas 1.65610, la de las características y el entero 1 es

reuniendo ambos resultados se tiene que la suma propuesta es 3,65610.

RESTA DE DOS LOGARITMOS

Si la mantisa del minuendo es mayor que la del sustraendo, la diferencia es la mantisa de la diferencia de los logaritmos dados; si la primera es menor que la del segundo, se incrementa en 1 aquélla y en una unidad negativa la característica. En todos los casos la característica es la diferencia de las características en el orden dado.

Todos estos ejemplos pueden resolverse recurriendo a los cologaritmos de los sustraendos.

PRODUCTO DE UN NÚMERO Y DE UN LOGARITMO

Los ejemplos ilustran el procedimiento que se ha de seguir en cada caso.

1.   5 x log 217= 5 x 2,33646 = 11.68230. Basta multiplicarlos con las reglas de los números decimales.

2.  0.4 x log 0.00715 = 0,4 x 3.85431. Se multiplican separadamente la caracteristica y la mantisa y se suman los resultados:

Cociente de un logaritmo por un numero

1. Si el logaritmo y el número son positivos: Se trata del cociente de dos números racionales positivos.

2. Si el logaritmo tiene característica negativa múltiplo del divisor, y éste es positivo  resulta:

Se divide la característica por el divisor, la que será negativa, y separado por la coma decimal se continua el cociente con la mantisa en este caso positiva.

3. En este ejemplo,

la característica es negativa pero no múltiplo del divisor; entonces se suman a aquélla tantas unidades negativas como sean necesarias para que resulte el menor múltiplo del divisor y a la mantisa igual número de unidades positivas; se dividen separadamente una y otra parte, y se las junta luego para formar un solo número, pero separadas por una coma decimal.

Si el divisor fuera negativo, se afecta con éste signo al dividendo y así se conduce a alguno de los casos ya tratados.

Cociente de dos logaritmos (no se confunda con logaritmo de un cociente).

en este caso se hace el cociente de ambos números decimales.

Si fuera

´

se separa la parte negativa de la positiva, se hace el cociente por separado:

con los cuales se formará un solo número. En todos los casos el cociente de dos logaritmos conduce al cociente de dos expresiones decimales, positivas o negativas  de las que resultará un signo único para aquél.

Operaciones con números reales negativos

Si bien los números negativos carecen de logaritmos en el campo real, ello no significa que su uso esté vedado en todas las operaciones si a éstas puede dárseles interpretación adecuada.

Ejemplo: En un producto de factores en que figuren algunos negativos se determinará de antemano el signo de tal producto; luego se operará como si fueran números positivos y se afectará al resultado por aquel signo. Otro tanto vale para el cociente, etcétera.

Ecuación logartímica

Se denomina ecuación logarítmica en una variable a una ecuación en una variable, en la que la incógnita aparece sometida a un logaritmo, así por ejemplo loga x + loga m = n, donde m y n son números reales.

Ejemplos :

Resolver las siguientes ecuaciones .

Se denomina ecuación exponencial en una variable a una ecuación en una variable en la que la incógnita aparece en el exponente, así por ejemplo, mx +nx = r, donde m, n y r son números reales.

Ejemplos :

Resolver las siguientes ecuaciones,

 

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