CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)

 


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EMIGRACIONES DE LA CULTURA MATEMÁTICA EN LA EDAD ANTIGUA


 

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Curso de Matemáticas

 

 

 


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Matemáticas: Un poco de historia.

l. La cuna de la MATEMÁTICA teórica (Mileto y Somos) está en Jonia, región favorable por su proximidad a los países orientales (Babilonia, Sumería, Egipto) que atesoraban conocimientos empíricos útiles para edificar un sistema científico. Así nace la escuela jónica (TALES. Anaximandro, Anaxímenes, Anaxágoras... ) y muere bajo la tiranía de Polícrato.

2. La cultura matemática de la escuela jónica, más la egipcia aprendida en sus viajes, es transportada por PITÁGORAS a Crotona, en la Magna Grecia, donde encuentra colaboradores entre los aristócratas, hasta que un movimiento popular lo expulsa.

Pitagórico eminente es el gran geómetra Arkitas de Tarento.

Figura: (El signo - antepuesto al número de un siglo significa "anterior a Jesucristo")

3.  En la escuela de Crotona enciende Platón la antorcha de su cultura, transportándola a Atenas, donde florece su famosa Academia. PLATÓN primero y su discípulo ARISTÓTELES después, en el Liceo, hacen brillar la filosofía con esplendor no superado, ejerciendo hondo influjo en el desarrollo de la matemática con sus investigaciones lógicas. Esta escuela de Atenas prolonga sus últimos fulgores hasta d. J. C., y Eudoxio es su figura máxima.

4.  La derrota de los atenienses por Filipo de Macedonia pone fin a este período áureo, y el foco de la ciencia pasa a Alejandría, donde florecen EUCLIDES, ARQUÍMEDES, ERATÓSTENES y APOLONIO.

Se mantiene encendido el interés teórico hasta el comienzo de la era cristiana, en que degenera hacia las aplicaciones; y por fin se extingue lentamente en los primeros siglos de nuestra era. El incendio de la gran biblioteca de Alejandría (640), donde se custodiaban los libros científicos de la época (papiros escritos en tinta de hollín con plumas de caña), contribuyó a la extinción de este potente foco de sabiduría.

He aquí terminado el Ciclo Griego. Las flechas indican sobre el mapa las sucesivas emigraciones de la cultura matemática por causas casi siempre políticas o sociales.

La representación gráfica de la cronología de estas cuatro etapas puede verse en el cuadro siguiente:

En el presente curso encontraremos más de una vez los egregios nombres de Pitágoras, Arquímedes, Euclides, Eratóstenes ... , y mas adelante nos ocuparemos de las proporciones, creación de Eudoxio de Cnido. Otros de los nombres arriba citados aparecerán en el curso correlativo de Geometría, cuya materia toda está contenida en los inmortales Elementos de Euclides. No acontece lo mismo en la Aritmética, pues la numeración decimal y las reglas de cálculo numérico no son creaciones griegas, sino que se desarrollan en la Edad Media, por obra de hindúes y árabes; y, finalmente, la Aritmética mercantil es fruto del Renacimiento, en los albores de la Edad Moderna.

Griegos y romanos calculaban con el ábaco, que significa un progreso respecto del cálculo con piedrecillas (calculi, de donde deriva la palabra cálculo); el cálculo con cifras, de origen hindú, encuentra inerte resistencia en Europa, y solamente al cabo de muchos siglos logra desalojar al ábaco o tablero de contar, llenando casi toda la Edad Media la lucha entre ambos sistemas: abacistas y algorítmicos.

Figura 1: CALCULISTA PERSA - Reproducción fiel del famoso vaso del Museo de Nápoles, que representa al contador general del Imperio de Darío

NUMEROS NATURALES

SUCESIÓN FUNDAMENTAL DE LOS NÚMEROS NATURALES

El origen del concepto de número es extremadamente difícil de descubrir, hasta el punto de que se experimenta una sensación de bienestar cuando se deja de lado su investigación. Es una idea muy extendida la que supone que el concepto de número está estrechamente unido al del tiempo, dependiendo ambos de una impresión que despierta en nosotros la sucesión de fenómenos que se verifican a nuestro alrededor y en nosotros mismos. Kant (1724-1804) entre los filósofos, y Hamilton (1805-1865), entre los matemáticos, son los representantes de esta interpretación. Otros, en cambio, opinan que el número tiene más que ver con el concepto de espacio, reduciendo el concepto de número a la simultánea contemplación de diferentes objetos considerados en su conjunto. Por último, hay quienes ven en las representaciones de los números la expresión de una especial aptitud del espíritu, la cual es independiente de toda intuición de espacio y tiempo; un representante de esta interpretación es Minkowski (1864- 1909).

La historia de los números negativos muestra que los antiguos griegos no tuvieron noción de ellos; de modo que, en este punto, no se les puede asignar el primer lugar, como muchos hacen. Por el contrario, puede asegurarse que sus descubridores son los indios, a quienes también se deben el cero y el sistema de numeración decimal. En Europa empezaron a usarse en la época del Renacimiento, siendo su introducción muy lenta, aunque ya Vieta en su memoria "In artem analyticam isagoge", la utilizó completamente.

Fellx Klein (1849- 1923)

Idea de número natural. - Desde la escuela primaria es muy conocida la operación de contar un conjunto o colección de objetos.

Haremos algunas reflexiones respecto de esta operación de contar.

Tomemos como ejemplo: contar los alumnos de la fila de la izquierda de la clase. Asignemos al alumno Flores, que se sienta en el asiento delantero, el número 1; al alumno Pla, que se sienta en el siguiente, el número 2; al subsiguiente, Drión, el 3; Fila 4, Girola 5, Herrero 6, Tuchi 7, Gilardi 8, Arturi 9. Diremos que los alumnos son 9.

Representando los alumnos por rayas, tenemos:

Volvamos a contar los alumnos, pero ahora de atrás hacia adelante, es decir, asignando al de más atrás. Arturi, el número 1, a Gilardi el 2, etc. ¿Obtendremos el mismo número 9 de alumnos? La experiencia nos dice que sí y que hubiéramos obtenido el mismo resultado cualquiera que hubiese sido el orden en que se tomen los alumnos al contarlos. Y, como esto sucede siempre que se cuenten objetos, podemos enunciar esta conclusión:

CONCLUSIÓN 1ra.: Al contar un grupo de objetos obtenemos el mismo número, cualquiera que sea el orden en que se efectúe la operación.

Fijémonos ahora en los bancos de la fila de la izquierda: a cada alumno le corresponde un banco, y a cada banco un alumno: por lo tanto, las rayas usadas para representar los alumnos pueden también representar bancos, es decir, los bancos serán también 9, como las rayas.

De igual modo, si cada alumno tiene su lápiz, su goma y su cartera, podemos usar la misma representación, y, análogamente, resultará que los alumnos de la fila de la izquierda tienen 9 lápices, 9 gomas y 9 carteras.

Tenemos así un criterio para saber cuándo a dos grupos de objetos les corresponde el mismo número, y es el siguiente:

CONCLUSIÓN 2da.: Dos grupos o conjuntos de objetos que puedan relacionarse de manera que a un objeto del primero le corresponda uno del segundo, y viceversa, dan al contarlos el mismo número.

EJEMPLO: Contemos las letras de la palabra POSTULADO, en el orden en que están escritas y por orden alfabético, y se observará que resulta el mismo número 9.

Números cardinales y ordinales; concretos y abstractos.

Al número 9 se le puede atribuir en este caso un doble significado: por una parte indica al alumno Arturi, expresándonos que es el último de la fila, pero también podemos usarlo para representar a todo el grupo de alumnos. En el primer caso especifica el orden de colocación de uno de los alumnos, y diremos que es un número ordinal; y para evitar confusiones se dice: Arturi es el 9° (noveno) alumno. En el segundo significado, 9 representa a todo el grupo de alumnos y también a cualquier otro grupo de objetos, sean gomas, lápices, sombreros, u otros cualesquiera, tales que a cada alumno corresponda uno y sólo uno. Este símbolo abstracto que sirve para representar grupos de objetos, independientemente de su naturaleza y de su ordenación, se llama número cardinal. Solamente vamos a considerar los números en su significado cardinal (sin embargo, daremos al final la lista de los nombres castellanos de los números cardinales.), y dentro de ellos distinguiremos números concretos y abstractos.

Son números concretos: 9 bancos, 9 cuadernos, 9 carteras, etc. Pero, si no especificamos la clase de objetos y decimos solamente 9, tenemos el número abstracto 9. Éste podría representar a todos aquellos conjuntos de alumnos, sombreros, bancos, etc., y a cualquier otro que con ellos satisfaga la conclusión antedicha.

Sería impracticable estudiar una aritmética únicamente aplicable a conjuntos de alumnos, otra a los grupos de bancos, otra a los de lápices, etc., pues tendríamos infinitas aritméticas y nunca terminaríamos de aprenderlas. Por fortuna, esto no es  necesario, pues las conclusiones lra. y 2da. nos permitirán reducir el trabajo a estudiar una sola aritmética: la de los números abstractos, que representa a todas ellas y a todas las comprende.

Sucesión de números naturales. - A un objeto le corresponde el número 1; si agregamos otro objeto, al conjunto le corresponde el número 2; agregando otro, le corresponde el 3; agregando otro, le corresponde el 4; Y siguiendo, el 5, el 6, etc.

Tenemos así ordenados los números:

1, 2, 3, 4, 5, 6, .....

y si anteponemos el cero, conviniendo en decir que hay cero objetos cuando no hay objeto ninguno, tendremos la sucesión:

0, 1, 2, 3, 4, 5, .....

que forman los números naturales representativos de una colección que se incrementa indefinidamente de unidad en unidad. Se llama sucesión natural o fundamental de los números naturales.

La sucesión natural no tiene fin, pues por grande que sea una colección de objetos siempre es posible agregarle un elemento más y asignar el número correspondiente a la colección así ampliada.

Tales sucesiones que carecen de último elemento se llaman indefinidas; luego, la sucesión fundamental es indefinida.

Igualdad y desigualdad. - En lugar de decir que dos conjuntos cuyos objetos se corresponden uno a uno tienen el mismo número, suele decirse también que tienen números iguales.

En cambio, si al establecer la correspondencia sobran objetos en uno de los conjuntos, resulta al contar éstos un número posterior o más adelantado en la sucesión natural, el cual se llama mayor que el 1°, o también se dice que el 1° es menor que el 2°.

EJEMPLO: Si cada alumno tiene su asiento, pero hay asientos  vacíos, al contar los asientos que están ocupados se llega al mismo número que si se cuentan los alumnos sentados en ellos; pero, si se prosigue contando los asientos, resultará un número posterior, es decir, mayor que el de los alumnos.

Por ejemplo, si hay 5 alumnos sentados y quedan 3 asientos vacíos, al contar el número de asientos resulta:

1 2 3 4 5 6 7 8

ocupados

vacíos

Diremos: 5 es menor que 8; o bien, 8 es mayor que 5. Escribiremos: 5 < 8; o bien, 8 > 5.

EVOLUCIÓN HISTÓRICA DE LA NUMERACIÓN

El concepto general de número y la regla general de numeración nos permiten escribir cualquier número por grande que sea; pero la humanidad ha necesitado muchos siglos de esfuerzo hasta llegar a tan sencillo y fecundo instrumento. Aun en nuestros días existen muchas tribus cuya numeración alcanza solamente al número 3, al 5, al 10, y para las colecciones mayores usan simplemente la palabra muchos, no siendo por tanto apenas superiores, en cuanto al sentido aritmético, a ciertas especies de animales.

Las figuras siguientes indican los numerales caldeos de tipo cuneiforme (forma de cuña) y los egipcios de la primera época. Unos y otros datan de tres a cuatro mil años a. J. C.

La numeración egipcia era decimal, como se observa en la fig. 2; pero no usaba el principio del valor relativo ni el cero.

Figura 2

Los griegos de la época del sabio Tales de Mileto (siglo VII a. J. C.) representaban con las 24 letras del alfabeto los primeros números, pero se ignora si podían representar números mayores. Ésta es la numeración que aparece en Homero (en la Ilíada y en la Odisea), y en Herodoto (llamado el Padre de la Historia).

Posteriormente perfeccionaron la numeración adoptando el sistema decimal de los egipcios, pero tampoco llegaron al principio del valor relativo ni a la idea de introducir el cero.

En el cuadro adjunto se ven los numerales griegos de esta segunda época.

Las nueve cifras 1, 2, ..., 9, eran sus nueve primeras letras; las nueve siguientes representaban 10, 20, 30, ...80, 90, y las nueve últimas, 100, 200, ..... , 900. Ahora bien, como sólo tiene 24 letras el alfabeto griego, les fue preciso agregar una nueva a cada grupo de 8 para tener así tres grupos de nueve cifras. Estas mismas letras, con ciertos distintivos, servían para representa: millares, etc.

Las tres letras agregadas a su alfabeto son las designadas por STIGMA, KOPPA y SAMPI.

EJEMPLO: El número 305 lo escribían así: τε. por representar 300 la letra τ y 5 la ε. Nótese que no utilizaban el principio del valor relativo, pues el valor de τ era siempre 300, mientras que 3 está representado por γ.

Esta falta y la ausencia del cero hacen muy imperfecta la numeración griega y muy penoso el cálculo, dificultades que no preocupaban a aquellos admirables espíritus, desinteresados de toda aplicación útil, pues despreciando el comercio y todo provecho material preferían consagrarse a descubrir leyes teóricas.

Con este sistema ya perfeccionado de numeración podían los griegos contar hasta 9999; y para probar la posibilidad de representar cualquier número, "aunque fuese el de las arenas del desierto", escribió ARQUÍMEDES su famoso Arenario.

¿Cuál es el origen de nuestras cifras? A pesar del nombre de cifras arábigas con que suelen designarse, la simple inspección del cuadro :

muestran lo erróneo de tal identificación. Afirman otros que las cifras son hindúes y fueron importadas a España por los árabes, pero basta ver el mismo cuadro para notar cuán escaso es el parecido de nuestras cifras con algunas cifras hindúes encontradas en una placa del año 917 a. J. C.

Sostienen otros historiadores el origen grecolatino de las cifras, las cuales eran ya conocidas en España en el siglo VIII. donde las aprendieron los árabes divulgándolas por otros países.

Compárense las cifras usadas en diversos siglos, corno aparecen en el cuadro, y se admitirá esta hipótesis corno muy probable, pues se nota cómo derivan gradualmente de los ápices del romano Boecio (cuyo origen parece ser pitagórico) más bien que de las cifras arábigas propiamente dichas que todavía se usan en algunos países como Turquía.

En cambio, las cifras usadas por los árabes occidentales de España se parecen mucho a las actuales, como consecuencia de la influencia grecolatina. Téngase en cuenta que Boecio vivió en el año 500, mientras que la invasión arábiga en Europa data del s. VIII  y su influjo en la cultura europea es muy posterior.

Obsérvese la evolución de las cifras hasta adoptar la forma actual. Incluso el 5 responde a esta evolución, pues en España se usa también actualmente una forma parecida a la del siglo XV.

La palabra cifra es de origen árabe (céfer) y designaba primitivamente el cero.

La numeración indoarábiga. He aquí un caso en que la evolución histórica no va de lo simple a lo compuesto. Una idea tan simple como la numeración decimal escrita, que por su elementalidad es objeto de esta primera lección, no aparece hasta el año 1000.

La introducción de las cifras y de la numeración decimal escrita en Europa se atribuye a los árabes españoles, pero son nuestras cifras tan escasamente parecidas a las cifras arábigas orientales que más bien parecen proceder de los ápices de Boecio, como ya hemos dicho. Se ha atribuido al monje francés GERBERTO el aprendizaje de las cifras arábigas en sus estudios realizados en Vich (cerca de Barcelona) y el haberlas divulgado por Europa con el principio del valor relativo, base de la numeración; pero no hay datos seguros para afirmarlo, y en resumen no queda sólidamente justificado el nombre de indoarábiga que asignamos a nuestra numeración.

GERBERTO. - Nació en Auvernia y fue Papa con el nombre de Silvestre II. Murió en 1003.

EVOLUCIÓN DE LA ARITMÉTICA EN LA ANTIGÜEDAD

LA MATEMÁTICA EGIPCIA. El más antiguo libro de Matemáticas que se conoce es el libro de cálculo de Ahmes, también llamado Papiro Rhind.

Se supone que fue escrito unos 2000 años a.J. C. es decir, tiene una antigüedad de cerca de 40 siglos, y los conocimientos en él expuestos (salvo la falta de un sistema general de numeración) equivalen aproximadamente a los de un alumno de ingreso en la enseñanza secundaria, más nociones de Álgebra y Trigonometría. Está escrito en jeroglífico en un rollo de pergamino de 20 m. de largo y 30 cm. de ancho.

LA ESCUELA PITAGÓRICA: PITÁGORAS de Samas es el primer gran aritmético propiamente dicho. Vivió 50 años después de Tales de Mileto y creó la famosa escuela pitagórica en Crotona ( Italia meridional, que formaba la llamada Magna Grecia), cuyo lema era éste: los números rigen el mundo. El símbolo distintivo de la escuela era el pentágono estrellado, que llamaban pentagrama.

Aunque la escuela o secta pitagórica fue disuelta por razones políticas hacia el año 500 (siglo VI a. J. C.), siguió haciendo prosélitos durante dos siglos.

Así, por ejemplo, la tabla de multiplicar, que inexactamente se atribuye a Pitágoras, es en realidad de Nicomaco de Gerasa, que publicó su Aritmética hacia el año 190 a. J. C., es decir, tres siglos después de disuelta la escuela pitagórica. La verdadera tabla de Pitágoras, o sea el ábaco para calcular, se explica en otra página de éste curso.

 

PITÁGORAS.-Nació en la isla de Samos hacia el año 580 a. J. C. Murió hacia el año 500 a. J. C.

 

Cuando Filipo de Macedonia derrota a los atenienses el año 338 a. J. C. comienza la gran decadencia griega, pero retoña en Alejandría cuando, al derrumbarse el gran imperio de Alejandro (hijo de Filipo), Egipto cae en manos de Tolomeo Soter, que erige la ciudad de Alejandría en capital el año 324. Allí se funda la primera Universidad (el Museion) y dos imponentes bibliotecas y prospera de modo sorprendente la rediviva Matemática griega, mientras en Atenas sólo quedan escuelas filosóficas de sofistas y teólogos.

Los ELEMENTOS DE EUCLIDES: Escritos hacia el año 320 a. J.C. constituyen el magno monumento de la Matemática griega. En ellos está contenida casi toda la materia que constituye la enseñanza matemática actual de Aritmética y Geometría en el bachillerato.

No es exagerado decir que la inmortal obra es, después de la Biblia, el libro que mayor influjo ha ejercido en la marcha de la humanidad. No en vano son ambas las dos obras impresas que han alcanzado mayor número de ediciones en todas las lenguas cultas.

Todos los libros de Aritmética y de Geometría elemental están inspirados en Euclides, con modificaciones de forma no siempre afortunadas.

La esencia del método euclidiano será analizada también en este curso.

EUCLIDES. - Vivió hacia el año 300 a. J. C.

ARQUÍMEDES. - Nació en Siracusa el año 287 a. J. C. Murió asesinado por los soldados romanos, que asaltaron la ciudad, en el año 212 a. J. C.

ARQUÍMEDES. Poco posterior a Euclides, pertenece a la escuela de Alejandría, aunque vivía en Siracusa, ciudad siciliana en que produjo su obra inmortal. Es sobre toda ponderación la más alta figura científica de la antigüedad por la genialidad de sus creaciones y la diversidad de sus aptitudes. Físico e ingeniero, ideó multitud de teorías y de mecanismos, y entre ellos son famosos los espejos cóncavos con que logró incendiar las naves enemigas concentrando sobre ellas los rayos solares.

 

Es el creador del cálculo infinitesimal, que sale del cuadro de estudios elementales, solamente alcanzado al final del bachillerato; pero su figura insigne merece ocupar también un lugar en esta introducción histórica a la Aritmética, por haber dado el primer concepto claro de número y de infinitud en su Arenario, ya citado, y por haber ideado el primer sistema perfecto de numeración.

La muerte de Arquímedes, asesinado por la soldadesca romana que sitiaba a Siracusa, mientras estaba sumido en sus meditaciones, es un símbolo de la oposición entre estos dos tipos de civilización.

El grito del siracusano a los soldados de Marcelo: “No toquéis mis círculos”, mientras se abalanzaban sobre él, es la eterna protesta del espíritu contra la fuerza, que no logra apagarlo con sus golpes. El inmortal espíritu de Arquímedes sigue y  seguirá eternamente viviendo y fructificando.

LA MATEMÁTICA ROMANA. Apagado el brillante foco de la Matemática griega con la conquista romana, este pueblo de soldados y abogados no siente la inquietud teorética, y en todo el largo período de su esplendor no aparece ni un solo matemático digno de compararse ni siquiera con los griegos más modestos.

Solamente al final del poderío romano, cuando en el siglo V se desmorona el Imperio de Occidente, pasando Roma a poder de los germanos, se despierta algún interés hacia los estudios matemáticos y aparece la figura de Boecio, opulento cristiano nacido en 480, que escribió una Aritmética mediocre, pero tuvo la feliz idea de grabar las cifras sobre tarugos de madera llamados ápices, para operar con ellos, sustituyendo así cada uno de éstos a las piedrecillas o bolitas o botones corredizos del ábaco romano.

Fue perseguido y atormentado por razones políticas, muriendo con fama de santo en el año 525. Tuvo gran popularidad como filósofo y poeta y fue el organizador del cuadrivium (los cuatro caminos), única enseñanza científica de la Edad Media, que se componía de Aritmética, Geometría, Astronomía y Música.

ERATÓSTENES. Aunque por la índole de su producción científica no entra tan plenamente en el cuadro de la matemática pura, es ERATÓSTENES otra gran figura de la escuela matemática de Alejandría, pareja de la excelsa trinidad formada por EUCLIDES, ARQUÍMEDES y APOLONIO.

El insigne africano, formado en la escuela pitagórica, es famoso por sus trabajos geográficos y cronológicos, por sus mediciones geodésicas, y por la construcción de la primera tabla de números primos en forma de criba.

A pesar de esta valiosísima producción científica y de su fecunda actividad como director de la biblioteca de Alejandría, cifraba ERATÓSTENES su orgullo en su aparato para la duplicación del cubo (*), sus trabajos literarios y gramaticales, apellidándose él mismo filólogo; mientras que sus contemporáneos lo designaban por el apodo Beta, quizá para expresar la alta estimación en que se le tenía, considerándolo como el segundo Platón.

(*) Habiéndose declarado una peste en la ciudad de Delos y consultado el oráculo, éste dijo que para aplacar la furia de los dioses era necesario duplicar el altar de forma cúbica, es decir, construir un cubo de volumen doble. Tal construcción es posible con aparatos como el de Eratóstenes, pero no con regla y compás como pretendieron muchos geómetras.

 

 


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