CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA) ONLINE


   

 

Evolución del cálculo aritmético. El ábaco. Abacistas y algorítmicos. Historia de los signos aritméticos. Reglas de cálculo. Cuadrados mágicos.

 

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EVOLUCIÓN DEL CÁLCULO ARITMÉTICO - NOTAS HISTÓRICAS

Cómo calculaba Pitágoras. Para que el alumno aprecie mejor el alto valor práctico de la numeración, vea las dificultades con que tropezaban los antiguos para calcular con piedrecillas (calculi). Pitágoras parece ser el inventor del ábaco, que consiste en una tabla dividida en 8 columnas, que representan de derecha a izquierda las unidades simples, de primer orden, de segundo, etc. En cada columna existen cuatro bolitas que representan unidades, y aparte (en la figura es negra y ocupa la parte inferior) una bolita que vale por 5.

Para formar, p. ej., el número 7, se agrupan dos bolitas blancas y una negra, como se ve en la 5° columna. El número representado en la figura es el 972603.

Para sumar, basta proceder de derecha a izquierda en forma análoga a como hacemos con las cifras.

El ábaco fue llamado tabla pitagórica, y este nombre bien justificado de tabla, por ser un tablero de madera, se ha extendido a todo cuadro o catálogo de números.

Más tarde se construyó el ábaco que posteriormente se usó en las escuelas, en el cual las bolitas estában atravesadas por un alambre; pero el ábaco clásico, único instrumento de cálculo en todo el orbe más de quince siglos, era más rudimentario. La figura representa un ábaco romano, enorme losa de mármol con ranuras donde se introducían clavijas o botones.

Obsérvese que el sistema de cálculo con el ábaco era perfectamente decimal y se basaba en el principio del valor relativo; sólo le faltaban las cifras escritas y la introducción del cero, que en el ábaco no es necesario, pues basta dejar lugares vacíos,  como se ve en la columna de los millares.

Figura: Ábaco romano

Cómo calculaban los romanos. El ábaco pitagórico fue perfeccionado por los romanos, encabezando cada columna con un signo indicador de la clase de unidades que representaban las bolitas puestas en esa columna. Estos signos son: I, X, C... (prescíndase de las dos ranuras de la derecha). Además, ampliaron a 30 el número de columnas, y el progreso esencial consistió en sustituir las bolitas por un solo tarugo (ápice) que llevaba inscripto el número romano correspondiente: estas cifras romanas fueron sustituidas a partir de Gerberto, según unos, y antes, según otros, por cifras, no siendo necesario el cero (aunque también fue introducido después este ápice), pues bastaba dejar vacío el lugar correspondiente.

ABACISTAS y ALGORÍTMICOS.

Observase, pues, que los principios fundamentales de la numeración estaban ya latentes en el cálculo con el ábaco, pero hasta el siglo XII no triunfa el nuevo método de cálculo mediante cifras escritas, derrotando muy lentamente la nueva escuela, llamada de los algorítmicos, a la de los abacistas.

Dos causas hubo que explican tamaño retraso en la adopción de cifras: La escasez de papel, de plumas y de tinta, por una parte, y por otra, la ignorancia popular. Así se explica que el fisco florentino exigiera en él año 1299, es decir, casi en pleno siglo XIV, que la Universidad fijara los precios de los libros  “non per cifras, sed per literas claras", pues los empleados no entendían las cifras.

REGLAS DE CÁLCULO.

No han variado en su esencia, pero sí en sus formas.

Las reglas para sumar y restar son de origen hindú. Es de notar, sin embargo, una diferencia. Los hindúes empezaban la operación por las unidades de mayor orden; es decir, de izquierda a derecha. Estos procedimientos fueron transmitidos a Occidente por los árabes. He aquí, por ejemplo, con cifras actuales, el modo de efectuar la resta 12025 - 3604 por el astrónomo de Bagdad Mohamed ben Musa Aljuarizmi (siglo IX). Se comienza por la izquierda y cada punto indica una cifra borrada:

Los hindúes escribían sobre tablillas con polvo y arenilla, corrigiendo las cifras fácilmente. Solían escribir el sustraendo encima del minuendo, y los resultados (suma y diferencia) también encima de los datos.

HISTORIA DE LOS SIGNOS ARITMÉTICOS.

Los signos actuales son mucho más modernos que las reglas de cálculo aritmético.

En el siglo XVI aun se usaban los signos p. y m. (abreviaturas de las palabras plus y minus, que en latín significaban más y menos). Poco a poco fueron adoptándose los signos + y - introducidos por el alemán Widmann en 1489.

El signo = fue usado por vez primera en 1557 por el médico inglés Robert Recorde, justificándolo así: "Nada hay más igual que dos rayas iguales y paralelas". Antes, se utilizó la abreviatura ae de la palabra latina "aequalis", que aun aparecía, deformada, en libros de los siglos XVI y XVII.

Los signos < y > fueron introducidos más tarde por el inglés Harriot (1631).

CUADRADOS MÁGICOS.

La primera figura representa un amuleto chino del tipo llamado cuadrado mágico. Los 9 números dígitos están dispuestos en cuadro de modo que los tres de cada fila, los de cada columna y los de cada diagonal dan la misma suma, como el lector comprobará.

Durante la Edad Media estuvieron muy en boga y se les atribuían virtudes milagrosas, utilizándolos para la curación de ciertas enfermedades.

La segunda figura representa un cuadrado mágico de 8 filas. El lector comprobará la igualdad de las 18 sumas obtenidas sumando filas. Columnas o diagonales.

Los Gymnosofistas , de Peregrín Tibaldi

Esta pintura mural de Peregrín, discípulo de Miguel Ángel, representa a los gymnosofistas, “sabios desnudos” de una secta hindú , "que filosofan con números en la arena", están trazando números en la arena para intentar calcular el valor y las cualidades del alma humana . Mediante los números pares y nones que figuran en la composición, querían significar la ciencia, afecciones y virtudes del alma.

Evolución de la multiplicación

Cómo multiplicaban los egipcios: Los egipcios no conocieron la tabla de multiplicar. Para multiplicar procedían por duplicaciones y adiciones convenientes. Por ej., para multiplicar 27 por 13, como 13 = 1 + 4 + 8, duplicaban sucesivamente 27, 54, 108, 216. Producto: 27 + 108 + 216 = 351.

Cómo multiplicaban los babilonios: Siendo 60 la base de su sistema de numeración (para la comodidad de sus cálculos astronómicos) el número de casos posibles de productos de números de una cifra que debían saber de memoria era 59 X 59, o bien, aprovechando la propiedad conmutativa, 59 X 30 = 1770. Para evitar tan enorme esfuerzo utilizaban tablas de multiplicar, grabadas en baldosas.

Cómo multiplicaban los griegos: Los griegos conocían ya la tabla desde los primeros tiempos. A Pitágoras se atribuye la ingeniosa disposición con forma de doble entrada, a la que se ha dado su nombre; pero ya hemos dicho que parece ser de Nicomaco, un pitagórico muy posterior.

La tabla de Pitágoras es el ábaco o tablero de calcular.

Fig.: Producto 8 X 9.

Cómo multiplicaban los romanos: Los romanos calculaban mediante el ábaco, que ya hemos explicado, ayudándose con los dedos, para calcular los productos de dígitos mayores que 5. Los números 6, 7, ... , estaban representados por un mano abierta y uno, dos, ... , dedos extendidos. De aquí los símbolos V (esquema de la mano abierta), VI, VII, VIII (mano, más 1 2 3 dedos). También daban a cada dedo un valor ordinal: l a 5 del pulgar al meñique, o bien 6 a 10; así, IV significa el anterior al V, y IX el anterior al X, suma de dos manos.

EJEMPLO: Producto 8 X 9. Una mano con tres dedos extendidos representa 8; la otra mano con 4 dedos extendidos representa 9. Los dedos extendidos son 3 + 4 = 7, cifra de decenas; los dedos doblados dan el producto 2 X 1=2, cifra de unidades. Producto: 72.

Justifique el lector esta regla demostrando  la igualdad

(5 + a) (5 + b) = (5 - a) (5 - b) + (a + b) 10.

Cómo multiplicaban los árabes: Los procedimientos de cálculo actuales  son de origen hindú, pasando a Europa por mediación de los árabes, originando multitud de variantes. La figura  siguiente representa la multiplicación 2809 X 354, según el método hindú de la Edad Media, en sus dos disposiciones, que en esencia coinciden.

Fig: multiplicación 2809 X 354

El mismo esquema aparece en la famosa Aritmética de Treviso (de autor anónimo), que es el primer libro impreso sobre esta ciencia (1478).

Obsérvese que se forman los productos de cada uno de los términos que forman el multiplicando por cada uno del multiplicador; es decir, se aplica la regla de multiplicación de dos sumas; pero, como representan unidades de diversos órdenes, es preciso ordenar en columnas las unidades de igual orden. Esto se logra muy sencillamente escribiendo el cuadro en la forma que indica la segunda figura y sumando de derecha a izquierda, con el trasporte de unidades, tal como se hace en cualquier suma.

Las regletas de Napier: Cada regleta contiene los productos de una cifra por 1, 2, 3, ... 9, pero separadas decenas y unidades por una raya diagonal. Construya el alumno las nueve regletas y eligiendo las que correspondan a las cifras del multiplicando y dispuestas en el orden que les corresponda, aparecen los productos por cualquier cifra, sin más que copiar la línea correspondiente, sumando mentalmente las cifras que se corresponden diagonalmente.

Fig.: regletas de Napier

Sea, p. ej., 9356 el multiplicando y dispongamos como indica la figura las cuatro regletas. El producto por 7 se obtiene   copiando de derecha a izquierda:

2,    4 + 5 = 9,         3 + 1 = 4,      2 + 3 = 5,   6.    Total: 65492

Para multiplicar por 537 basta sumar los tres productos parciales así obtenidos, escritos en la forma usual.

Estas regletas fueron ideadas por Napier, el famoso inventor de los logaritmos, y su utilidad ha cesado desde la industrialización de las máquinas de calcular, pero es muy recomendable ejercicio que los alumnos construyan las regletas y efectúen multiplicaciones con ellas.

El Cálculo se inventó en el siglo XVII como un medio para estudiar los problemas en que intervenía el movimiento. El álgebra y la trigonometría pueden servir para estudiar los objetos que se mueven con velocidad constante a lo largo de una trayectoria rectilínea o circular, pero si la velocidad es variable o la trayectoria es irregular, se necesita el cálculo. Una descripción rigurosa del movimiento requiere definiciones precisas de velocidad (la rapidez con la que varía la distancia respecto al tiempo) y de aceleración (la rapidez de cambio de la velocidad). Estas definiciones pueden darse usando uno de los conceptos fundamentales del Cálculo: la derivada.

Aunque el Cálculo se desarrolló para resolver problemas de física, su poder y flexibilidad lo han hecho útil en muchos campos de estudio. Las aplicaciones modernas de la derivada incluyen las investigaciones sobre la rapidez o tasa de crecimiento de un cultivo de bacterias, la predicción del resultado de una reacción química, la medición de los cambios instantáneos de una corriente eléctrica, la descripción del comportamiento de las partículas atómicas, la estimación de la reducción de los tumores con la radioterapia, la predicción de las ganancias y las pérdidas económicas y el análisis de las vibraciones de un sistema mecánico.

La derivada también es útil para resolver problemas de máximos y mínimos, tales como el de la fabricación de la caja rectangular más barata que ha de tener un volumen dado, el cálculo de la mayor distancia que un cohete puede recorrer, la determinación de la máxima circulación que debe permitirse al tránsito sobre un puente largo, la   determinación del número de pozos que hay que perforar en un campo de petróleo para lograr la producción más eficiente, la determinación del punto entre dos fuentes de luz en el que la iluminación será mayor y la maximización del ingreso de una compañía industrial o comercial debido a un producto determinado. Los matemáticos aplican las derivadas a menudo para encontrar rectas tangentes a curvas y como ayuda para analizar las gráficas de funciones complicadas.

Otro de los conceptos fundamentales del Cálculo -la integral definida- tiene su origen en el problema de evaluar el área de una región con frontera curva. Las integrales definidas se utilizan tan extensamente y en campos tan diversos como las derivadas.

Algunas de sus aplicaciones son localizar el centro de masa o el momento de inercia de un sólido, determinar el trabajo requerido para enviar una nave espacial a otro planeta, calcular el flujo sanguíneo a través de una arteriola, estimar la depreciación del equipo de una fábrica e interpretar la magnitud de la dilución de un tinte en las pruebas fisiológicas que se hacen con métodos de rastreo. También se pueden usar las integrales definidas para investigar conceptos matemáticos tales como el área de una superficie curva, el volumen de un sólido geométrico, la longitud de una curva.

Los conceptos de la derivada y la integral definida se definen por medio de límites. La noción de límite es la primera noción que separa al Cálculo de las matemáticas comunes.

Sir Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) descubrieron independientemente uno del otro la relación entre las derivadas y las integrales, y se atribuye a ambos la invención del Cálculo. Muchos otros matemáticos han contribuido de manera importante a su desarrollo durante los últimos 300 años.

SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANA

En este sistema se utilizan los siguientes símbolos

estos símbolos pueden repetirse hasta tres veces.

Ejemplos

Representar los números 2, 3, 8 y 23 en numeración romana.

Solución:

La numeración romana obedece a tres principios:

Principio aditivo

Principio sustractivo

Aplica para aquellas cantidades cuya representación necesita más de tres simbolos.

Ejemplo

Representar 4 y 400 en numeración romana.

Solución:

Los simbolos se repiten sólo tres veces, entonces,

Principio multiplicativo

Existen cantidades que no se pueden representar sólo con los simbolos del 1 al 1000. En estos casos se utiliza la linea superior que significa que la cantidad que abarca se multiplica por 1000.

Ejemplo

Representar 104,000 en numeración romana.

Solución:

El número se representa como:

entonces,

Ejercicios

Representar en numeración romana.

Solución :

Representar en numeración decimal.

Solución :

 

 

 

 


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