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Enteros positivos. Métodos de combinación de los enteros.


 

 


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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

La multiplicación puede ser indicada por el signo de multiplicar (X) entre dos números, un punto entre dos números o colocando entre paréntesis uno o ambos números a multiplicar.

Los ejemplos siguientes ilustran estos métodos:

Observe que cuando se usa un punto para indicar la multiplicación éste se distingue del punto que se coloca entre períodos, colocándolo por encima de la línea de escritura, como en el ejemplo 2, mientras que un punto de período aparece a nivel de la línea. Observe también que cuando se emplea paréntesis para indicar la multiplicación los números a multiplicar están menos espaciados que si se usara un punto o X.

En cada uno de los cuatro ejemplos presentados, 6 es el MULTIPLICADOR y 8 es el MULTIPLICANDO. Ambos, el 6 y el 8, son FACTORES, y los textos más modernos se refieren a ellos en esta forma. La "respuesta" en un problema de multiplicación es el PRODUCTO; en los ejemplos anteriores el producto es 48.

La división se indica generalmente ya sea por un signo de división ( ÷ ) o colocando un número sobre otro número y poniendo una línea entre ellos, como en los siguientes ejemplos:

El número 8 es el DIVIDENDO, 4 es el DIVISOR y 2 es el COCIENTE.

Métodos de multiplicación

La multiplicación de números enteros puede pensarse como un proceso simplificado de sumar números iguales. Por ejemplo, 6(5) y 6 X 5 se ven como seis veces 5. Indudablemente, podríamos escribir 5 seis veces y sumarlos, pero si sabemos que el resultado es 30 podemos ahorrar tiempo. Si bien el concepto de sumar números iguales es muy adecuado para explicar la multiplicación de números enteros, constituye sólo un caso especial de una definición más general, que será explicada luego para la multiplicación de fracciones.

Agrupamientos .

Examinemos el proceso implicado para multiplicar 6 X 27 y obtener el producto 162. Primero ordenamos los factores en la siguiente forma:

El proceso mental es como sigue:

1. 6 por 7 es 42. Escribimos el 2 y transportamos el 4.
2. 6 por 2 es 12. Sumamos el 4 que se transportó del paso 1 y escribimos el resultado, 16, delante del 2 que se escribió en el paso 1.
3. La respuesta final es 162.

La Tabla 2 - 1 muestra que los factores se agrupan en unidades, decenas, etcétera. La multiplicación se hizo en tres pasos: seis veces 7 unidades es 42 unidades (o 4 decenas y 2 unidades) y seis veces 2 decenas es 12 decenas (o 1 centena y 2 decenas). Luego se sumaron las decenas y el producto se escribió como 162.

Al preparar los números para la multiplicación como en la Tabla 2 - 1 es importante colocar los dígitos de los factores en las columnas correspondientes; vale decir que las unidades deben disponerse en la columna de las unidades, las decenas en la columna de las decenas y las centenas deben disponerse en la columna de las centenas.Observe que no es necesario escribir el 0 en el caso de 12 decenas (120), puesto que el 1 y 2 están escritos en las columnas apropiadas. En la práctica la adición se realiza mentalmente y el producto se escribe sin la intervención de los pasos.

La multiplicación de un número con más de dos dígitos por un número dígito, como se muestra en la Tabla 2 - 2, no incluye ideas nuevas. Tres veces 6 unidades es 18 unidades (1 decena y 8 unidades), 3 veces 0 decenas es 0, y 3 veces 4 centenas es 12 centenas (1 millar y 2 centenas).

Observe que no es necesario escribir el 0 resultante del paso “ veces 0 decenas es 0". Los dos ceros finales del número 1.200 también se omiten, ya que 1 y 2 están colocados en sus columnas correctas por la posición del 4.

PRODUCTOS PARCIALES

En el ejemplo 6 (8) = 48 observe que la multiplicación podría realizarse en la siguiente forma para obtener un producto correcto:

O sea que podemos desglosar el 8 en 3 y 5, multiplicando cada uno de éstos por el otro factor y sumando los productos parciales. Esta idea se emplea al multiplicar por un número de dos dígitos. Consideremos el ejemplo siguiente:

Fraccionando 27 en 20 + 7 tenemos 7 unidades por 43 más 2 decenas por 43, como sigue:

Puesto que 7 unidades por 43 es 301 unidades, y 2 decenas por 43 es 86 decenas, tenemos lo siguiente:

A medida que se escriben los productos parciales en las columnas correctas podemos multiplicar comenzando ya sea por la izquierda o por la derecha del multiplicador. Entonces, multiplicando por la izquierda, resulta ,

La multiplicación por un número que tiene mas lugares no implica ideas nuevas.

Ceros finales.

La colocación de los productos parciales debe recordarse mentalmente al multiplicar, en problemas que incluyen ceros finales, como en el ejemplo siguiente:

Tenemos 0 unidades por 27 más 4 decenas por 27 unidades, como sigue:

El cero en el lugar de las unidades desempeña un rol importante en la lectura del producto final. Se dice a menudo que los ceros finales "guardan el lugar" puesto que su única función en el problema es mantener la posición de los dígitos que ellos ocupan, ayudando entonces a colocar correctamente los otros dígitos del problema,

El cero final en el problema anterior puede calcularse con mucha facilidad, al mismo tiempo que coloca a los otros dígitos correctamente, por medio de un sistema sencillo. Éste consiste en correr el 40 un lugar a la derecha y luego simplemente bajar el 0 sin usarlo como multiplicador. El problema aparecería entonces como sigue:

Si el problema implica un multiplicador con más de un 0 final el multiplicador se corre a la derecha tantas veces como ceros posee. Por ejemplo, consideremos la siguiente multiplicación, en la cual el multiplicador, 300, tiene dos ceros finales:

Observe que hay tantos ceros en el producto como existen en el multiplicador y en el multiplicando combinados.

COLOCACIÓN DE PUNTOS DECIMALES

Es sabido que en todos los números enteros del sistema decimal se coloca una marca de terminación, llamada punto decimal, a la derecha del número. Si bien el punto decimal se usa raramente, excepto en números que incluyen fracciones decimales, su ubicación debe ser conocida. La colocación del punto decimal dice automáticamente cuándo los ceros finales están correctamente colocados.

Nota de traducción. Lo anterior no es válido para países europeos e hispanoamericanos, en los cuales las fracciones decimales se separan por medio de una coma y los períodos mediante un punto.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Multiplicar en cada uno de los siguientes problemas:

Métodos de división

Así como la multiplicación puede considerarse como una adición repetida, la división puede ser considerada como una sustracción repetida. Por ejemplo, si deseamos dividir 12 por 4 debemos sustraer 4 de 12 en etapas y operaciones sucesivas el número de veces que la sustracción es posible, como sigue:

Conforme se ha indicado por los asteriscos utilizados como marca para las cuentas, 4 ha sido sustraído 3 veces. Este resultado se describe a veces diciendo que “14 está contenido en 12 tres veces".

Puesto que la sustracción sucesiva es engorrosa en los cálculos rápidos y concisos resultan más útiles los métodos que tratan la división como la inversa de la multiplicación. El conocimiento, de las tablas de multiplicación nos llevará de inmediata a una respuesta para un problema tal como 12 : 4, dado que sabemos que 3 X 4 es 12. Sin embargo, un problema tal como 84 : 4 no es tan fácil de resolver por referencia directa a la tabla de multiplicación.

Una forma de dividir 84 por 4 sería observando que 84 es lo mismo que 80 más 4. Entonces, 84 :4 resulta lo mismo que 80 : 4 más 4 : 4. En símbolos esto se indicarla como sigue:

(Cuando se emplea este tipo de división simbólica el cociente se escribe encima del vínculo, conforme se ha indicado.) Entonces, 84 dividido por 4 es 21.

En el ejemplo anterior puede verse que el reagrupamiento es tan útil en división como en multiplicación. Sin embargo, el procedimiento mecánico empleado en la división no incluye escribir la forma reagrupada del dividendo. Después de habernos familiarizado con el proceso veremos que la división puede realizarse directamente, un dígito por vez, reagrupando los lugares mentalmente. El ejemplo que sigue ilustra al respecto:

El proceso mental es corno sigue: “4 está contenido en 5 una vez" (se escribe 1 en el lugar de las decenas sobre el 5); "uno por 4 es 4” (se escribe 4 en el lugar de las decenas, se obtiene la diferencia y se baja el 6); y "4 está contenido en 16 cuatro veces" (se escribe 4 en el lugar de las unidades sobre el 6). Con un poco de práctica muchas personas pueden hacer este trabajo dividiendo mentalmente y escribiendo sólo el cociente, si el divisor tiene únicamente un dígito.

El divisor es a veces demasiado grande para estar contenido en el primer dígito del dividendo. El siguiente ejemplo ilustra un problema de este tipo:

Puesto que 2 no es lo suficientemente grande para contener 7, dividimos a 7 por el número formado por los primeros dos dígitos, 25. Siete está contenido 3 veces en 25; escribimos 3 encima del 5 del dividendo. Multiplicando 3 por 7 es 21; escribimos 21 debajo de los primeros dos dígitos del dividendo. Sustrayendo, 25 menos 21 es 4; escribimos el 4 y bajamos el 2 en el lugar de las unidades del dividendo. Hemos formado ahora un nuevo dividendo, 42. Siete está contenido 6 veces en 42; escribimos 6 encima del 2 del dividendo. Multiplicando como antes, 6 por 7 es 42; escribimos este producto debajo del dividendo, 42. Restando, no nos queda nada y la división es completa.

ESTIMACIÓN

Cuando hay dos o más dígitos en el divisor no siempre es fácil determinar el primer dígito del cociente. Debe hacerse una estimación y el cociente de prueba resultante puede ser demasiado grande o excesivamente pequeño. Por ejemplo, si 1.862 debe dividirse por 38 podríamos estimar que 38 está contenido 5 veces en 186 y el primer dígito de nuestro divisor de prueba sería 5. Sin embargo, la multiplicación revela que el producto de 5 por 38 es mayor que 186. Entonces, debemos cambiar el 5 de nuestro cociente a 4 y el problema aparecerá en tal caso como sigue:

Por otro lado, supongamos que hemos estimado que 38 está contenido en 186 sólo 3 veces. Tendríamos entonces lo siguiente:

Ahora, antes de hacer posteriores movimientos en el proceso de división resulta obvio que algo está equivocado. Si nuestro nuevo dividendo es lo bastante grande para contener el divisor antes de bajar un dígito del dividendo original, entonces el cociente de prueba debía ser demasiado grande. En otras palabras, nuestra estimación es excesivamente pequeña.

La eficiencia para estimar los cocientes de prueba se obtiene mediante la práctica y la familiaridad con las combinaciones de números. Por ejemplo, después de una pequeña experiencia podemos efectuar una estimación aproximada en el problema anterior pensando que 38 es "casi 40". Resulta fácil ver que 40 está contenido 4 veces en 186, ya que 4 por 40 es 160. Además, puesto que 5 por 40 da 200, es razonablemente cierto que 5 resulta demasiado grande para nuestro divisor de prueba.

DIVISIÓN NO EXACTA

En algunos problemas de división, como 7: 3, no hay número entero que, cuando se lo multiplica por el divisor, dé el dividendo. Usamos la idea distributiva para mostrar cómo se hace la división en un caso así. Por ejemplo 7: 3 podría escribirse como sigue:

Entonces, vemos que el cociente también lleva una unidad que debe dividirse por 3. Ahora resultará claro que 37 : 3 = (30 + 7): 3, y que esto puede además reducirse en la siguiente forma:

En aritmética elemental la parte del dividendo que no puede dividirse exactamente por el divisor se llama a menudo RESTO y se coloca a continuación del cociente, con el prefijo R. En el ejemplo anterior, donde el cociente era 12 1/3, el cociente deberá escribirse 12 R 1.

Este método de indicar divisiones no exactas es útil en ejemplos como el siguiente:

Supongamos que se dispone de $ 1.300 para comprar repuestos y que los repuestos necesarios cuestan $ 300 cada uno. Se pueden comprar cuatro repuestos con el dinero disponible, sobrando $ 100. Desde que no es posible comprar 1/3 de repuesto, expresamos el resultado como 4 R 1, lo cual da una respuesta más significativa que 4 1/3.

COLOCACIÓN DEL PUNTO FINAL

En la división, como en la multiplicación, es importante la colocación de los puntos decimales. El determinar la ubicación del punto decimal y el número de lugares en el cociente puede ser relativamente simple si el trabajo se mantiene en sus columnas correspondientes. Por ejemplo, observe el alineamiento vertical en el problema que sigue:

Advierta que los dos primeros lugares en el dividendo se usan para obtener el primer lugar en el cociente. Puesto que 3 está en la columna de las centenas hay dos lugares más en el cociente (lugar de las decenas y de las unidades). El punto decimal en el cociente se sobreentiende por estar directamente por encima del punto decimal en el dividendo. En el ejemplo mostrado aquí no se indica el punto decimal pero se sobreentiende que está inmediatamente después del segundo 1.

PRUEBA DE LA DIVISIÓN

La exactitud con que se ha realizado una división de números puede controlarse multiplicando el cociente por el divisor y sumando el resto, si existe. El resultado debe ser igual al dividendo. Consideremos el siguiente ejemplo:

Números enteros y divisibilidad

Calcula:

a) (–7) · (+11)
b) (–6) · (–8)
b) (+5) · (+7) · (–1)
d) (–2) · (–3) · (–4)

a) (–7) · (+11) = –77
b) (–6) · (–8) = 48
c) (+5) · (+7) · (–1) = –35
d) (–2) · (–3) · (–4) = –24

Opera:
a) (– 45) : (+3)
b) (+85) : (+17)
c) (+36) : (–12)
d) (–85) : (–5)

a) (– 45) : (+3) = –15
b) (+85) : (+17) = 5
c) (+36) : (–12) = –3
d) (–85) : (–5) = 17

Opera las expresiones siguientes:

a) (+400) : (–40) : (–5)
b) (+400) : [(–40) : (–5)]
c) (+7) · (–20) : (+10)
d) (+7) · [(–20) : (+10)]
e) (+300) : (+30) · (–2)
f) (+300) : [(+30) · (–2)]

a) (+400) : (– 40) : (–5) = (–10) : (–5) = 2
b) (+400) : [(– 40) : (–5)] = (+400) : (+8) = 50
c) (+7) · (–20) : (+10) = –140 : 10 = –14
d) (+7) · [(–20) : (+10)] = 7 · (–2) = –14
e) (+300) : (+30) · (–2) = 10 · (–2) = –20
f ) (+300) : [(+30) · (–2)] = 300 : (–60) = –5

Operaciones combinadas

Calcula:

a) 6 · 4 – 5 · 6 – 2 · 3
b) 15 – 6 · 3 + 2 · 5 – 4 · 3
c) 5 · (– 4) + (–2) · 4 – 6 · (–5) – 3 · (–6)
d) 18 – 3 · 5 + 5 · (– 4) – 3 · (–2)

a) 6 · 4 – 5 · 6 – 2 · 3 = 24 – 30 – 6 = –12
b) 15 – 6 · 3 + 2 · 5 – 4 · 3 = 15 – 18 + 10 – 12 = –5
c) 5 · (–4) + (–2) · 4 – 6 · (–5) – 3 · (–6) = –20 – 8 + 30 + 18 = 20
d) 18 – 3 · 5 + 5 · (–4) – 3 · (–2) = 18 – 15 – 20 + 6 = –11

Opera estas expresiones:

a) (–5) · (8 – 13)
b) (2 + 3 – 6) · (–2)
c) (+4) · (1 – 9 + 2) : (–3)
d) (–12 – 10) : (–2 – 6 – 3)

a) (–5) · (8 – 13) = (–5) · (–5) = 25
b) (2 + 3 – 6) · (–2) = (–1) · (–2) = 2
c) (+4) · (1 – 9 + 2) : (–3) = 4 · (– 6) : (–3) = (–24) : (–3) = 8
d) (–12 – 10) : (–2 – 6 – 3) = (–22) : (–11) = 2

Calcula:

a) 13 – [8 – (6 – 3) – 4 · 3] : (–7)
b) 5 · (8 – 3) – 4 · (2 – 7) – 5 · (1 – 6)
c) 12 · (12 – 14) – 8 · (16 – 11) – 4 · (5 – 17)

a) 13 – [8 – (6 – 3) – 4 · 3] : (–7) = 13 – [8 – 3 – 12] : (–7) = 13 – (–7) : (–7) =
= 13 – 1 = 12
b) 5 · (8 – 3) – 4 · (2 – 7) – 5 · (1 – 6) = 5 · 5 – 4 · (–5) – 5 · (–5) =
= 25 + 20 + 25 = 70
c) 12 · (12 – 14) – 8 · (16 – 11) – 4 · (5 – 17) = 12 · (–2) – 8 · 5 – 4 · (–12) =
= –24 – 40 + 48 = –16

 

 

 

 


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