CURSO DE MATEMÁTICAS

Regla de cálculo.

LA REGLA DE CÁLCULO

En 1620, no mucho después de la invención de los logaritmos, Edmond Gunter demostró cómo podían realizarse mecánicamente cálculos logarítmicos. Esto se hizo sobre longitudes de una regla que representan los logaritmos de los números, combinando dichas longitudes en diversas formas. La idea se desarrolló y con las contribuciones de Mannheim en 1851 la regla de cálculo se convirtió en lo que conocemos hoy.

La regla de cálculo es un aparato mecánico con el cual puede realizarse cualquier cálculo aritmético con excepción de la adición y sustracción. Las operaciones más comunes con la regla de cálculo son multiplicación, división, determinación del cuadrado o cubo de un número, extracción de la raíz cuadrada y cúbica de un número. Además, frecuentemente pueden realizarse operaciones trigonométricas.

Figura 8-1. Diagrama simplificado de una regla de cálculo.

La ventaja de la regla de cálculo es que se puede usarla con relativa facilidad para resolver problemas complicados. Una limitación de ella consiste en que sus resultados sólo tienen un máximo de tres dígitos significativos. Esto es suficiente en la mayoría de los cálculos, puesto que la mayor parte de las constantes físicas sólo son correctas a dos o tres dígitos significativos. Cuando se necesita mayor exactitud se usan otros métodos.

En la figura 8-1 se ha representado un diagrama simplificado de la regla de cálculo. La parte central deslizable se llama REGLA. El visor de plástico o de vidrio con una guía impresa sobre él se denomina INDICADOR. Hay una escala C impresa en la regla y una escala D, exactamente igual a la escala C, impresa en el CUERPO de la regla de cálculo. La marca que está asociada con el.número 1 en cualquier regla de cálculo recibe el nombre de ÍNDICE.

Existe un índice en los extremos izquierdo y derecho en las escalas C y D. Hay otras escalas, cada una con un uso particular. Algunas de ellas se mencionarán luego.

Teoría de la regla de cálculo.

Hemos dicho que la regla de cálculo se basa en logaritmos. Recordamos que para multiplicar dos números sumamos simplemente sus logaritmos. Previamente determinamos estos logaritmos en las tablas, pero si los logaritmos están en escalas tales como la C y D de la regla de cálculo podemos sumar las longitudes que representan estos logaritmos. Para confeccionar una escala así marcamos las mantisas que van de 0 a 1 en una regla como la de figura 8-2. Luego determinamos en las tablas los logaritmos para los números 1 a 10 y escribimos opuesto a cada número su correspondiente logaritmo en la escala.

Figura 8-2. Logaritmos y números correspondientes sobre una escala.

La tabla 8-7 da una lista de los números de 1 a 10 y sus correspondientes logaritmos con tres cifras. Estos números se escriben en oposición con sus logaritmos en la escala que muestra la figura 8-2. Si tenemos dos de tales escalas, exactamente iguales, dispuestas de forma tal que una de ellas pueda deslizarse a lo largo de la otra, podemos realizar, por ejemplo, la operacion de la multiplicación SUMANDO LONGITUDES; es decir, sumando logaritmos. Por ejemplo, si deseamos multiplicar 2 x 3, determinamos el logaritmo de 2 en la escala fija y movemos la escala deslizable de modo que su índice quede sobre aquella marca. Luego sumamos el logaritmo de 3 localizando ese logaritmo sobre la escala móvil y leyendo debajo de ella, en la escala fija, el logaritmo suma de los dos.

Visto que no nos interesan los logaritmos en sí sino los números que ellos representan, es posible eliminar la notación logarítmica en la escala de la figura 8-2 y dejar sólo la escala numérica espaciada logarítmicamente. Las escalas C y D de la regla de cálculo común están hechas en esa forma. La figura 8-3 muestra la multiplicación de 2 x 3. Si bien se han eliminado las escalas logarítmicas, los números 2 y 3 significan realmente los logaritmos de 2 y 3, vale decir, 0,301 y 0,477; el producto 6 en la escala significa realmente el logaritmo de 6, o sea, 0,778. Entonces, si bien los logaritmos constituyen el principio básico, trabajamos directamente con los números.

Tabla 8-7. Números y sus logaritmos correspondientes

Figura 8-3. Multiplicación usando la regla de cálculo.

Se observará que la escala está formada sólo por la mantisa. La característica debe determinarse separadamente, como en el caso en que se usan las tablas. Puesto que las mantisas identifican únicamente la secuencia del dígito, el dígito 3 en la regla de cálculo representa no sólo 3 sino 30, 300, 0,003, 0,3, etcétera. Entonces, las divisiones representan el número multiplicado o dividido por cualquier potencia de 10. Esto es válido, también, para números interiores a las divisiones. La secuencia de dígitos 1001 podría representar 100,1, 1,001, 0,01001, etcétera. El siguiente ejemplo muestra el uso del mismo grupo de mantisas que aparece en el ejemplo anterior, pero con una característica diferente y por tanto con una respuesta distinta.

Ejemplo : Use logaritmos (posiciones en la regla de cálculo) para multiplicar 20 por 30.

SOLUCIÓN:

log respuesta = 2,778 (6 en la regla de cálculo)

Puesto que el 2 en el logaritmo de la respuesta es simplemente el indicador de la posición de la coma decimal en ésta, no esperamos determinarla en la escala de la regla de cálculo. Como en el ejemplo anterior, encontramos el dígito 6 opuesto al multiplicador 3. Esta vez el 6 representa 600, porque la característica del log representado por 6 en este problema es 2.

Lectura de las escalas

Leer en una regla de cálculo no es más complicado que hacerlo en una regla común, si se comprenden las diferencias entre sus divisiones.

Entre los dos índices de las escalas: C o D (el dígito 1 en el extremo izquierdo y derecho de las escalas) hay divisiones numeradas 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Cada longitud entre dos divisiones consecutivas ha sido dividida en diez secciones y cada sección se divide en espacios (ver figura 8-4).

Figra 8-4. División, sección, y espacio en una regla de cálculo.

Note que la división entre 1 y 2 ocupa alrededor de un tercio de la longitud de la regla. Este es un espacio suficiente para poder escribir un número para cada una de las marcas de las secciones. Las secciones en las divisiones remanentes no están numeradas, debido a que el espacio es más limitado. Advierta además que en la división entre 1 y 2 las secciones están divididas cada una en 10 espacios. Las secciones entre las divisiones 2 y 4 están subdivididas solamente en 5 espacios, y las que van de 4 hacia el índice de la derecha han sido subdivididas solamente en 2 espacios. Estas divisiones se hallan dispuestas así debido a los límites de espacio.

En la regla de cálculo se lee sólo la secuencia de los dígitos significativos. La posición de la coma decimal se determina separadamente. Por ejemplo, si la guía del indicador está en la posición izquierda señalada en la figura 8-5, los dígitos significativos se leen como sigue:

FIGURA 8-5. Lecturas en la primera división de una regla de cálculo.

1. Cada vez que la guía cae en la primera división, el primer dígito significativo es 1.
2. Cuando la guía cae entre el índice y la primera marca de sección sabemos que el numero está entre 1,0 y 1,1, ó 10 y 11 ó 100 y 110, etcétera. El segundo dígito significativo es 0.
3. A continuación determinamos cuánto esta alejado el índice de la guía. Esto nos lleva a la marca para el tercer espacio.
4. Las tres cifras significativas son 103.

En el segundo ejemplo mostrado en la figura 8-5 la guía se encuentra localizada en la primera división, novena sección y sobre la marca del cuarto espacio de esa sección. Por tanto, los dígitos significativos son 194.

Vemos entonces que todo número que caiga en la primera división de la regla siempre tendrá 1 como primer dígito significativo.

Como segundo dígito significativo puede tener cualquier número de 0 a 9; también cualquier número de 0 a 9 como tercer dígito. A veces puede aproximarse groseramente un cuarto digito en esta primera división, pero el numero es de veras exacto con tres dígitos significativos.

En la segunda y tercera divisiones cada sección está dividida solamente en 5 espacios (ver figura 8-6). Entonces, cada espacio es igual a 0,2 de la sección. Supongamos, por ejemplo, que la gula cae sobre la marca del tercer espacio después del 2 que indica la segunda división. El primer dígito significativo es 2. Puesto que la guía cae entre 2 y la marca de la primera sección, el segundo dígito es 0. La guía cae sobre la marca del tercer espacio ó 0,6 de la mitad entre la marca de la división y la primera marca de la sección, de modo que el tercer dígito es 6. Así, los dígitos significativos son 206. Note que si la guía cae sobre la marca del espacio el tercer dígito puede escribirse con precisión; de otra manera sólo será aproximado.

Desde la cuarta división a la derecha del índice, cada sección está dividida sólo en dos espacios. Entonces, si la guía está en la cuarta división y en la marca del espacio entre la sexta y séptima secciones, leeremos 465. Si la guía no cae sobre la marca del espacio, el tercer dígito sólo puede ser aproximado.

Figura 8-6. Lectura en la segunda división de una regla de cálculo.