Operaciones con la regla de cálculo.

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Hay dos etapas en la resolución de problemas con la regla de cálculo. En la primera parte la regla se emplea para determinar la secuencia de los dígitos en el resultado final. La segunda parte concierne a la ubicación de la coma decimal en el resultado. Consideremos primero la secuencia de los dígitos en la multiplicación y división.

MULTIPLICACIÓN

La multiplicación se efectúa en las escalas C y D de la regla de cálculo. Se usa el siguiente procedimiento:

1. Ubicar uno de los factores a multiplicar en la escala D sin tener en cuenta la coma decimal.
2. Ubicar el índice de la escala C oponiéndolo a este número.
3. Ubicar el otro factor en la escala C y mover la guía del indicador hasta cubrir este factor.
4. El producto está en la escala D debajo de la guía.

A veces, al multiplicar números tales como 25 x 6, el número en la escala C se extiende a la derecha del borde y el producto no se puede leer. En tal caso se corren simplemente los índices. En vez del índice izquierdo sobre la escala C se coloca el índice derecho, en oposición al factor, sobre la escala D. El resto del problema permanece inalterado. Al correr los índices multiplicamos o dividimos por 10, pero eso no interesa en la lectura de los dígitos significativos. El desplazamiento de los índices afecta sólo a la característica.

EJEMPLO: 252 x 3 = 756

1. Colocar el índice izquierdo de la escala C sobre 252.
2. Localizar 3 sobre la escala C y colocar la guía del indicador sobre él.
3. Bajo la guía, en la escala D, leer el producto 756.

EJEMPLO: 4 x 64 = 256

1. Colocar el índice derecho de la escala C sobre 4.
2. Ubicar 64 sobre la escala C y colocar la guía del indicador sobre él.
3. Bajo la guía, sobre la escala D, leer el producto 250

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Determinar los siguientes productos con regla de cálculo, con tres dígitos significativos.
1. 2,8 x 16                         3. 6 x 85
2. 7 x 1,3                           4. 2,56 x 3,5

Respuestas:

1. 44,8                              3. 510
2. 9,10                              4. 8,96

División

Siendo la división la inversa de la multiplicación, para realizarla con la regla de cálculo se invierte el proceso de la multiplicación. Restamos la longitud que representa el logaritmo del divisor de la longitud que representa el logaritmo del dividendo para obtener el logaritmo del cociente.

El proceso es como sigue:
1. Ubicar el dividendo sobre la escala D y colocar la guía del indicador sobre él.
2. Deslizar la regla hasta que el divisor (sobre la escala C) caiga bajo la guía.
3. Leer el cociente en la escala D, opuesta al índice en la escala C.

Si el divisor es numéricamente mayor que el dividendo, la reglilla se extiende a la izquierda, Si el divisor es menor la regla se extiende a la derecha. En cualquier caso el cociente es el número sobre la escala D que está en oposición al índice de la escala C, que cae dentro de los límites de la escala D.

EJEMPLO:           6  ÷ 3 = 2

1. Ubicar 6 sobre la escala D y colocar la guía del indicador sobre él.
2. Mover la regla hasta que 3, en la escala C, quede bajo la guía.
3. Justo debajo del índice, a la izquierda en la escala C, se lee el cociente, 2, en la escala D.

EJEMPLO: 378  ÷ 63 = 6

1. Ubicar 378 en la escala D y deslizar la guía del indicador sobre él.
2. Mover la regla a la izquierda hasta que 63, sobre la escala C, quede sobre la guía.
3. En oposición al índice derecho de la escala C se lee el cociente, 6, sobre la escala D.

PRACTICA DE PROBLEMAS:

Determinar los siguientes cocientes con la regla de cálculo:

1. 126 ÷ 3                              3. 142 ÷71
2. 960 ÷ 15                            4. 459 ÷ 17
Respuestas:
1. 42                                      3. 2
2. 64                                      4. 27

Ubicación de la coma decimal.

Se han desarrollado diversos métodos para colocar la coma decimal en los números obtenidos por medio de la regla de cálculo. Probablemente el método más universal y mejor recordado es el de la aproximación.

El método de aproximación significa simplemente redondear los números y correr en forma mecánica las comas en los datos del problema, de modo que por medio de una simple inspección puede aproximarse la solución y la posición exacta de la coma decimal. La regla de cálculo se usará entonces para obtener la secuencia correcta de los dígitos significativos. El método se demostrará mejor con algunos ejemplos. Recuerde que correr la coma decimal un lugar a la izquierda es lo mismo que dividir por 10. Corriéndola un lugar a la derecha equivale a multiplicar por diez. Todo corrimiento debe compensarse para que la solución sea correcta.

EJEMPLO: 0,573 x 1,45

SOLUCIÓN:

Aquí no es preciso correr los decimales. Vemos que aproximadamente 0,6 se multiplica por 1 1/2. De inmediato se advierte que la solución está en la vecindad de 0,9. Con la regla de cálculo determinamos que la secuencia de los dígitos significativos del producto es 832. Con nuestra aproximación sabemos que la coma decimal está inmediatamente a la izquierda del primer dígito significativo, 8. Entonces, 

0,573 x 1,45 = 0,832

EJEMPLO=           239 x 52,3

SOLUCIÓN:

Para facilitar la multiplicación corremos la coma decimal en 52,3 un lugar a la izquierda, quedando 5,23. Para compensar, la coma decimal se corre un lugar en el otro factor. La nueva posición de la coma decimal está indicada por la presencia de la V invertida.

Nuestro problema es aproximadamente igual a

2.400 x 5 = 12.000

Con la regla de cálculo la secuencia de los dígitos es 125. Entonces,

239 x 52,3 = 12.500

EJEMPLO = 0,000134 x 0,092

SOLUCIÓN:
Corriendo la coma decimal tenemos

Con la regla de cálculo la secuencia de los dígitos es 123. Por aproximación la coma decimal se ubica como sigue:

0,0000123

Entonces,

0,000134 x 0,092 = 0,0000123

EJEMPLO=

SOLUCIÓN:
Las comas decimales se corren de modo que el divisor sea un número entre 1 y 10. El método empleado es el de anulación.

Corriendo las comas decimales tenemos

Secuencia de los dígitos con la regla de cálculo:

1255

Colocando la coma decimal según la aproximación:

1,255

Entonces,

SOLUCION:

Corriendo las comas decimales

Secuencia de dígitos con la regla: 690.

Ubicando la coma decimal por aproximación:

0,0690

Entonces,

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Resolver los siguientes problemas con la regla de cálculo y usar el método de aproximación para determinar la posición de la coma decimal:

1. 0,00453 x 0,1645                           3. 0,0362 x 1,21
2. 53,1 ÷ 1,255                                   4. 67 ÷ 316

Respuestas:

1. 0,000745                                        3. 0,0438
2. 42,4                                                4. 0,212

Multiplicación y división combinadas

En problemas tales como

por lo general es mejor determinar la posición de la coma decimal mediante el método de aproximación y determinar la secuencia de los dígitos significativos con la regla de cálculo. Tales problemas se resuelven dividiendo y multiplicando alternadamente. Es decir, dividimos 0,644 por 161, multiplicamos el cociente por 330 y dividimos aquél por 12.

Corriendo las comas decimales resulta

Puesto que hay un desplazamiento combinado de tres lugares a la izquierda en el divisor, debe haber también un desplazamiento combinado de tres lugares en el dividendo.

El proceso de determinar paso a paso la secuencia de dígitos significativos en este problema es como sigue:

1. Colocar la guía sobre 644 en la escala D.
2. Desplazar la regla de modo que 161 en la escala C caiga bajo la guía en oposición a 644.
3. En oposición al índice de la escala C (sobre la escala D) está el cociente de 644:161. Este se multiplica por 330, pero 330 sale de los límites de la regla, de modo que debe correrse el índice de la escala C.
4. Después de correr los índices se determina 330 sobre la escala C y se coloca la guía sobre él. Opuesto a 330 bajo la guía, sobre la escala D, está el producto de 664/161 x 330.
5. A continuación, mover la escala C hasta que 12 esté bajo la guía.

En oposición al índice de la escala C (sobre la escala D) se halla el cociente final.. La secuencia de los dígitos es 110.

La coma decimal se coloca luego de acuerdo con nuestra aproximación: 0,11. Entonces,

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Resolver los siguientes problemas utilizando regla de cálculo:

Respuestas:
1. 10,2               2. 0,817                   3. 0,529

Cuadrados.

Los cuadrados de los números se encuentran por referencia a la escala A. Los números sobre la escala A son los cuadrados de aquellos de la escala D. La escala A constituye en realidad una doble escala, donde cada división es una mitad más grande que la división correspondiente sobre la escala D. El uso de una escala doble para cuadrados se basa en el hecho de que el logaritmo del cuadrado de un número es el doble que el logaritmo del número mismo. En otras palabras,

Esto es razonable, ya que

Como ejemplo numérico, supongamos que buscamos el cuadrado de 2 por medio de logaritmos.

Puesto que cada parte de la escala A es un medio más grande que la parte correspondiente sobre la escala D, el logaritmo 0,602 en la escala A será de la misma longitud que el logaritmo 0,301 en la escala D. Vale decir, estos logaritmos se hallarán en oposición sobre las escalas A y D. Sobre la escala A y sobre la escala D están escritos los números en vez de sus logaritmos. Seleccionando varios números sobre la escala D, tales como 2, 4, 8, 11, y leyendo sus cuadrados sobre la escala A, tenemos 4, 16, 64, 121.

Observe también que la misma relación existe para las escalas B y C que para las escalas A y D. Es de interés asimismo el hecho de que, visto que las escalas A y B están confeccionadas como las C y D, éstas también podrán ser utilizadas para multiplicar o dividir.

COLOCACIÓN DE LA COMA DECIMAL

Por lo general la coma decimal podrá colocarse mediante el método de aproximación. Sin embargo, una observación profunda revela ciertos hechos que eliminan la necesidad de las aproximaciones al elevar números al cuadrado. Dos reglas son suficientes para elevar al cuadrado números enteros o mixtos, como sigue:

1. Cuando se lee el cuadrado de un número sobre la mitad izquierda de la escala A, ese numero contendrá el doble de dígitos a la izquierda de la coma decimal que el número original, menos 1.
2. Cuando el cuadrado de un número se lee sobre la mitad derecha de la escala A, ese número contendrá el doble de dígitos a la izquierda de la coma decimal que el número original.

EJEMPLO: Elevar al cuadrado 2,5.

SOLUCIÓN: Colocamos la guía sobre 25 en la escala D. Leemos la secuencia de dígitos, 625 bajo la guía en la mitad izquierda de la escala A.

Por la regla 1: (2 x número de dígitos) - 1 = 2(1) - 1 = 1. Hay un dígito a la izquierda de la coma decimal. Entonces,

(2,5)² = 6,25

EJEMPLO: Elevar al cuadrado 6.340.

SOLUCION:

Secuencia de dígitos, escala A mitad derecha:
402.
Por la regla 2: 2 x número de dígitos = 2 x 4 = 8 (dígitos de la respuesta) Entonces,

(6.340)² = 40.200.000

NÚMEROS POSITIVOS MENORES QUE UNO

Si deben elevarse al cuadrado números positivos menores que 1, es preciso usar una versión ligeramente distinta de las reglas anteriores. Se cuentan los ceros entre la coma decimal y el primer dígito no cero. Se considera negativa esta cuenta. Entonces, el número de ceros entre la coma decimal y el primer dígito significativo del número elevado al cuadrado se determinara como sigue:

1. Mitad izquierda de la escala A: los ceros contados multiplicarlos por 2 y restar 1.
2. Mitad derecha de la escala A: los ceros contados multiplicarlos por 2.

EJEMPLO: Elevar al cuadrado 0,0045.

SOLUCIÓN:
Secuencia de dígitos, mitad derecha de la escala A: 2025.

Por la regla 2: 2 (- 2)= - 4. (Entonces, 4 ceros entre la coma decimal y el primer dígito.)

(0,0045)²= 0, 00002025

EJEMPLO: Elevar al cuadrado 0,0215.

SOLUCIÓN:
Secuencia de dígitos, mitad izquierda de la escala A: 462.

Por la regla 1: 2 (-1) -1 = -3.

(0,0215)²= 0,000462

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