Raíces cuadradas

Extraer la raíz cuadrada de un número con la regla de cálculo es el proceso inverso de elevar el número al cuadrado. Determinamos el número sobre la escala A, colocamos la guía del indicador sobre él y leemos la raíz cuadrada sobre la escala D, debajo de la guía.

UBICACIÓN DE LOS NÚMEROS EN LA ESCALA A

Puesto que hay dos partes en la escala A, exactamente iguales, y la secuencia de los dígitos puede determinarse en cualquiera de las partes, surge una cuestión respecto al uso de las secciones.

En general pensamos en la mitad izquierda de la regla como numerada de 1 a 10 y la mitad derecha como numerada de 10 a 100. La numeración continúa: mitad izquierda de 100 a 1000, mitad derecha de 1000 a 10.000, y así en adelante.

Un proceso simple permite controlar la ubicación del número del cual debe extraerse la raíz. Para números enteros o mixtos se comienza en la coma decimal del número y se marcan los dígitos hacia la izquierda, incluyendo los ceros finales, en grupos dedos. Esto se ilustra en los dos ejemplos siguientes:

Observemos el grupo de la izquierda. Si hay un número de 1 dígito empleamos la mitad izquierda de la escala A. Si es un número de 2 dígitos usamos la mitad derecha de la escala A. En el ejemplo 1 el número está ubicado en la mitad izquierda de la escala A y en el ejemplo 2 el número se encuentra situado en la mitad derecha.

NÚMEROS MENORES QUE 1 .

Para números positivos menores que 1 se comienza por la coma decimal y se separan grupos de 2 hacia la derecha. Esto se ilustra como sigue:

Observando de izquierda a derecha localizamos el primer grupo que contiene un dígito distinto de cero. Si el primero que figura en este grupo es cero, localizamos el número en la mitad izquierda de la escala A. Si el primero es distinto de cero, ubicamos el número en la mitad derecha de la escala A. Entonces,

y

POTENCIAS DE 10

Cuando se busca la raíz cuadrada de 10, 1000, 100.000, etcétera, se usa el índice central. Es decir, cuando el número de dígitos en una potencia es par, usamos el índice central.

La regla de cálculo emplea solamente los primeros tres dígitos significativos de un número. Entonces, si se usa la regla, debe considerarse como . Asimismo, 1,43567 deberá considerarse como 1,43000, y así por el estilo. Para mayor precisión deben utilizarse otros métodos.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Establecer qué mitad de la escala A tiene que usarse para cada una de las siguientes:

UBICACIÓN DE LA COMA DECIMAL

Para colocar la coma decimal en la raíz cuadrada de un número se separa el número original en grupos de 2, según se explicó antes.

Para números enteros o mixtos el número de grupos marcados es el número de dígitos, incluyendo los ceros finales a la izquierda de la coma decimal en la raíz. Los siguientes problemas ilustran esto:

Para números positivos menores que uno deberá existir un cero en la raíz cuadrada, entre la coma decimal y el primer dígito significativo, por cada par de ceros contados entre la coma decimal y el primer dígito significativo del número original. Esto se ilustra como sigue:

Colocar la guía en 452 sobre la derecha de la escala A. Leer la secuencia de dígitos de la raíz, 672, sobre la escala D, debajo de la guía. Puesto que existen dos grupos en el número original, hay dos dígitos a la izquierda de la coma decimal en la raíz. Entonces,

(El primer número de este grupo es cero)

Colocar la guía en 741 sobre la mitad izquierda de la escala A. Leer la secuencia de dígitos, 272, de la raíz, bajo la guía en la escala D. Visto que hay un par de ceros a la izquierda del grupo que contiene el primer dígito, existe un cero entre la coma decimal y el primer dígito significativo de la raíz. Entonces,

PRACTICA DE PROBLEMAS:

Calcular cada uno de los siguientes por medio de una regla de cálculo:

Cubos y raíces cúbicas

Los cubos y raíces cúbicas se leen en las escalas D y K de la regla. En la escala K se han comprimido tres escalas logarítmicas completas en el mismo espacio que ocupa la escala D. Así pues, todo logaritmo sobre la escala K es tres veces el logaritmo opuesto sobre la escala D. Para elevar al cubo un número por medio de logaritmos, multiplicamos por 3 su logaritmo. Entonces, los logaritmos de los números elevados al cubo estarán en la escala K en oposición a los números sobre la escala D.

Como con las otras escalas de la regla de cálculo, se han impreso los números que representan los logaritmos en vez de usar la notación logarítmica. En el tercio izquierdo de la escala K los números van de 0 a 10; en la segunda mitad van de 10 a 100 y en el tercio derecho van de 100 a 1.000.

Para elevar un número al cubo se determina el cubo en la escala D, se coloca la guía sobre él y se lee la secuencia de los dígitos del número elevado al cubo sobre la escala K debajo de la guía.

COLOCACIÓN DE LA COMA DECIMAL

La coma decimal de un número entero o mixto puede colocarse con facilidad aplicando las siguientes reglas:

1. Si el número elevado al cubo está ubicado en el tercio izquierdo de la escala K, su número de dígitos a la izquierda de la coma decimal es 3 por la cantidad de dígitos a la izquierda de la coma decimal, en el número original, menos 2.
2. Si el número elevado al cubo está localizado en la segunda mitad de la escala K, la cantidad de dígitos es 3 por el número dé dígitos de la cifra original, menos 1.
3. Si el número elevado al cubo está ubicado en el tercio derecho de la escala K, la cantidad de dígitos es 3 por el número de dígitos de la cifra original.

EJEMPLO: (1,6)³

SOLUCIÓN:
Colocar la guía sobre 16 en la escala D. Leer la secuencia de dígitos, 409, sobre la escala K bajo la guía.

El número de dígitos a la izquierda de la coma decimal en el número 1,6 es 1 y el número elevado al cubo está en el tercio izquierdo de la escala K.

SOLUCIÓN:
Número de dígitos a la izquierda de la coma decimal en el número 4,1 es 1, y el número elevado al cubo está en el segundo tercio de la escala K.

Número de dígitos a la izquierda de la coma decimal en el número 52 es 2, y el número elevado al cubo está en el tercio derecho de la escala K.

3 x N° de dígitos = 3 x 2 = 6

Por consiguiente,

(52)³ = 141.000

NÚMEROS POSITIVOS MENORES QUE UNO

Si deben elevarse al cubo números positivos menores que uno, se cuentan los ceros entre la coma decimal y el primer digito no cero. La cuenta se considera negativa. Entonces, el número de ceros entre la coma decimal y el primer dígito significativo del número elevado al cubo se determinará como sigue:

1. Tercio izquierdo de la escala K: multiplicar los ceros contados por 3 y restar 2.
2. Segundo tercio de la escala K: multiplicar los ceros contados por 3 y restar uno.
3. Tercio derecho de la escala K: multiplicar los ceros contados por 3.

EJEMPLO: Elevar al cubo 0,034
SOLUCIÓN: Secuencia de los dígitos = 393.
Cuenta de los ceros de 0,034 = - 1, y 393 está en la segunda mitad de la escala K.

Por tanto,

(0,034)³ = 0,0000393

PRACTICA DE PROBLEMAS:
Elevar al cubo los siguientes números empleando la regla de cálculo:

1. 21   2. 0,7     3.0,0128     4. 404

Respuestas:

1. 9260          3. 0,0000021
2. 0,342         4. 66.000.000

RAÍCES CÚBICAS

La extracción de la raíz cúbica de un número con la regla de cálculo es el proceso inverso de elevar el número al cubo. Para extraer la raíz cúbica de un número se lo ubica sobre la escala K, se coloca la guía sobre él y se lee la raíz cúbica en la escala D, debajo de la guía.

Ubicación de los números en la escala K. - Visto que determinado número puede localizarse en la escala K sobre tres posiciones, surge la cuestión de cuál de los tercios de la escala K se usa para localizar el número. Generalmente se considera que el índice izquierdo, la mitad izquierda, la mitad derecha y el índice derecho están numerados como se indica en la figura 8-7.

FIGURA 8-7. Potencias de 10 asociadas con los índices de la escala K.

Podrá usarse un sistema similar al que se emplea con las raíces cuadradas para localizar la posición de un número sobre la escala K. En vez de los grupos de dos se utilizan grupos de tres.

El agrupamiento para las raíces cúbicas se ilustra como sigue:

Para números enteros o mixtos se aplican las siguientes reglas:

1. Si el grupo de la izquierda contiene un digito, se ubica el número en el tercio izquierdo de la escala K.
2. Si el grupo izquierdo contiene dos dígitos, se ubica el número en el segundo tercio de la escala K.
3. Si el grupo izquierdo contiene tres dígitos, se ubica el número en el tercio derecho de la escala K.
Los siguientes ejemplos ilustran las reglas anteriores:

Para números positivos menores que uno se observa de izquierda a derecha y se determina el primer grupo que contiene un dígito distinto de cero.

1. Si los dos primeros números en este grupo son ceros, se ubica el número en el tercio izquierdo de la escala K.
2. Si sólo el primer número de este grupo es cero, se localiza el número en el segundo tercio de la escala K.
3. Si el primer número del grupo no es cero se ubica el número en el tercio derecho de la escala K.

Los siguientes ejemplos ilustran estas reglas:

Ubicación de la coma decimal. - Para ubicar la coma decimal en la raíz cúbica de un número usamos el sistema de separarlos en grupos de tres, como se mostró antes.

Para números enteros o mixtos hay un dígito en la raíz, a la izquierda de la coma decimal, por cada grupo marcado en el número original.

Entonces,

(Dos dígitos en la raíz a la izquierda de la coma decimal.)

Para números positivos menores que uno habrá un cero en la raíz entre la coma decimal y el primer digito significativo, por cada tres ceros contados entre la coma decimal y el primer dígito significativo, en el número original. Entonces,

(Dos ceros entre la coma decimal y el primer dígito significativo de la raíz.)

Colocar la guía sobre 216 en el tercio derecho de la escala K. Leer la secuencia de dígitos, 6, bajo la guía en la escala D. Puesto que hay dos grupos en el número original, existen dos dígitos a la izquierda de la coma decimal en la raíz. Así pues,

(Sólo el primer número es cero en este grupo)

Colocar la guía sobre 451 en el segundo tercio de la escala K, Leer la secuencia de dígitos, 357, bajo la guía en la escala D. Visto que hay un grupo de tres ceros, existe un cero entre la coma decimal y el primer dígito significativo de la raíz. En tal caso,

Potencias de 10. - Para extraer la raíz cúbica de una potencia de 10 se marca como se explicó en los párrafos anteriores. El número en el grupo de la izquierda será entonces 1, 10, 100. Sabemos que la raíz cúbica de 10 es un número entre 2 y 3. Entonces, para la raíz cúbica de cualquier número cuyo grupo de la izquierda es 10 usamos la escala K, cuyo índice cae entre 2 y 3 de la escala D. La raíz cúbica de 100 está comprendida entre 4 y 5. Por tanto, para un número cuyo grupo izquierdo es 100 empleamos la escala K con el índice entre 4 y 5 de la escala D.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Los siguientes son algunos problemas sobre raíces y secuencias de dígitos (s.d.). Ubicar la coma decimal para cada raíz.

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