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Fundamentos de Álgebra. Leyes. Monomios. Polinomios.


 

 


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FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA. LEYES. MONOMIOS. POLINOMIOS

Los números y las reglas operativas de la aritmética integran una parte de una rama muy importante de las matemáticas, llamada ÁLGEBRA.

Es la parte de la matemática elemental que estudia a la cantidad en su forma más general. Para su estudio emplea números y letras.

El álgebra extiende los conceptos de la aritmética de modo que es posible generalizar las reglas para trabajar con números y usar estas reglas para manipular otros símbolos además de números. No implica un cambio abrupto dentro de un campo totalmente nuevo, sino más bien es una transición suave a muchas ramas de las matemáticas en una continuación de los conocimientos obtenidos en la aritmética básica.

La idea de expresar cantidades en forma general, en vez de los términos específicos de la aritmética, es muy común. Un ejemplo típico lo constituye la fórmula para el perímetro de un rectángulo, P = 2L + 2A, en la cual la letra P representa el perímetro, L representa longitud y A representa el ancho. Se entiende que 2L = 2 (L) y 2A =2(A). Si L y A fueran números serían necesarios paréntesis o algún otro símbolo de multiplicación, pero el significado de un término tal como 2L es claro sin agregar signos o símbolos.

NOTACIÓN USADA EN EL ÁLGEBRA

Las cantidades conocidas son representadas por las pirmeras letras del alfabeto: a, b, c, d, … ; las cantidades desconocidas o incógnitas, por las últimas letras: x, y, z,…

Para no repetir las letras, cuando hay alguna relación entre ellas se escribe:

a', b', c' …; o también : a1, b2, c3 …

Los signos empleados en el algebra, son de tres clases: de operación, de relación y de agrupación.

Todas las fórmulas son expresiones algebraicas, si bien no siempre se las identifica como tales. Las letras usadas en las expresiones algebraicas se denominan a menudo NÚMEROS LITERALES (literal implica "letra").

Otro empleo típico de los números literales se da en el establecimiento de las leyes matemáticas de operación. Por ejemplo, las leyes asociativas, conmutativas y distributivas, explicadas en páginas anteriores con respecto a la aritmética, pueden restablecerse en términos generales usando símbolos algebraicos.

A) SIGNOS DE OPERACIÓN
Son seis: + ; - ; . ; : ; an ;
Ejemplos:
i) +, se lee: "más".
     a + b, se lee: "a más b"
ii) - , se lee: "menos"
     a - b, se lee: "a menos b"
iii) . , se lee: "por"
     a . b, se lee: "a por b"
iv) : , se lee: "entre"
     a : b, se lee: "a entre b"
v) Exponente:
an, se lee: "a, a la n". (signo de potencia)
Significa "n" veces "a" como factor, así:

se lee: "raíz cuadrada de a"

B) SIGNOS DE RELACIÓN
= , se lee: "igual"
a = b, se lee: "a igual b"
> , se lee: "mayor que"
a > b, se lee: "a mayor que b"
< , se lee: "menor que"
a < b, se lee: "a menor que b"
≥ , se lee: "igual o mayor que"
a ≥ b, se lee: "a igual o mayor que b"
, se lee: "menor o igual que"
a ≤ b, se lee: "a igual o menor que b"
≡ , se lee: "idénticamente igual a"
a ≡ b, se lee: "a identicamente igual a b"
≠ , se lee: "diferente de"
a ≠ b, se lee: "a diferente de b"
, se lee: " se lee no es menor que"
a b, se lee: "a no es menor que b"
, se lee: "no es mayor que"
a b, se lee: "a no es mayor que b"
≈, se lee: "aproximadamente igual a"
a ≈ b, se lee: "a aproximadamente a b"
<>, se lee: "equivalente a"

a <> b, se lee: "a equivalente a b"
⇒, se lee: "a entonces b"
a ⇒ b, se lee: "a entonces a b" o
"a implica a b"
∧, se lee: "y"
a ∧ b, se lee: "a y b"
∨, se lee: "o"
a ∨ b, se lee: "a o b"
, se lee: "es congruente con"
b b, se lee: "b es congruente con b"

C) SIGNOS DE AGRUPACIÓN
( ) : paréntesis
[ ] : corchetes
{ } : llaves
–– : vínculo o barra

VALOR ABSOLUTO Y RELATIVO
A) Valor absoluto o número absoluto, es el valor que denota la figura que representa, independiente del signo.

Ejemplos:
| -5 | = 5 ; | 3 | = 3

B) Valor relativo o número relativo, es el valor que depende del signo que la acompaña.

Ejemplos:
-7 ; +4

LEYES CONMUTATIVAS

La palabra "conmutativa" se definió en anteriormente. Recuerde que las leyes conmutativas se refieren a aquellas situaciones en las cuales los factores y términos de una expresión se reordenan en una forma diferente.

Adición
La forma algebraica de la ley conmutativa para la adición es como sigue:

a + b + c = a + c + b = c + b + a

En palabras, esta ley establece que la suma de dos o más sumandos es la misma, independientemente del orden en el cual se toman los sumandos.

El ejemplo aritmético en el capítulo mostraba sólo una combinación numerica especifica en la cual la ley aparecía cierta. En el ejemplo algebraico, a, b y c representan cualquier número que elijamos, dando entonces un amplio ejemplo de la regla. (Observe que una vez que se ha seleccionado un valor para un número literal, este valor permanece constante donde quiera que la letra aparezca en un ejemplo particular o problema. Entonces, si damos el valor 12 a la letra a, en el ejemplo anterior, todas las a tienen valor 12 donde quiera que aparezcan.)

Multiplicación
La forma algebraica de la ley conmutativa para la multiplicación es como sigue:

abc = acb = cba

En palabras, esta ley establece que el producto de dos o más factores es el mismo, independientemente del orden en el cual se disponen los factores.

LEYES ASOCIATIVAS

Las leyes asociativas de la adición y multiplicación se refieren al agrupamiento (asociación) de términos y factores en una expresión matemática.

Adición
La forma algebraica de la ley asociativa para la adición es como sigue:

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

En palabras, esta ley establece que la suma de tres.o más sumandos es la misma, independientemente de la manera como se agrupan los sumandos.

Multiplicación
La forma algebraica de la ley asociativa para la multiplicación es como sigue:

a . b . c = (a . b) . c = a . (b . c)

En palabras, esta ley establece que el producto de tres o más factores es el mismo, independientemente de la manera como se agrupan los factores.

LEY DISTRIBUTIVA

La ley distributiva se refiere a la distribución de factores entre los términos de una expresión aditiva. La forma algebraica de esta ley es como sigue:

a(b + c + d) = ab + ac + ad

En palabras, esta ley podrá establecerse como sigue: Si la suma de dos o más cantidades se multiplica por una tercera cantidad, el producto se determina aplicando el multiplicador de cada una de las cantidades originales separadamente y sumando las expresiones resultantes.

SUMAS ALGEBRAICAS

La palabra "suma" se ha usado varias veces en estas explicaciones, y es importante tener en cuenta la total implicación en lo que concierne al álgebra. Puesto que una expresión literal puede representar una cantidad positiva como negativa, una suma de varios números literales siempre se entiende que es una SUMA ALGEBRAICA. Vale decir, la suma que resulta cuando los signos algebraicos de todos los sumandos se toman en consideración.

El siguiente problema ilustra el procedimiento para determinar una suma algebraica:

El segundo problema muestra que toda expresión que contiene dos o más términos a combinar por adición y sustracción se puede volver a escribir como una suma algebraica, donde todos los términos negativos se consideran pertenecientes a términos específicos y todos los signos operacionales positivos.

Se notará, con relación a este tema, que las leyes de los signos para el álgebra son las mismas que las de la aritmética.

A) SUMA

Suma de dos números positivos:
(+5) + (+7) = +5 + 7 = +12
• Suma de dos números negativos:
(-3) + (-5) = -3 - 5 = - 8
• Suma de un número positivo y un número negativo:
(+7) + (-3)= +7 - 3 = +4
(-12) + (+2) = -12 + 2 = -10

B) SUSTRACCIÓN

• (+8) - (+4) = +8 - 4 = +4
• (-8) - (-13) = -8 + 13 = +5
• (-12) - (-8) = -12 + 8 = -4

C) MULTIPLICACIÓN

• (+3) (+5) = +15
• (-2) (-3) = +6
• (+5) (-8) = -40
• (-12) (+3) = -36

D) DIVISIÓN

• (+18) ÷ (+2)= +9
• (+12) ÷ (-4) = -3
• (-15) ÷ (-3) = +5
• (-14) ÷ (+7) = -2

E) POTENCIA

(+2)2 = +4
(-5)4 = 625
(-3)3 = -27

F) RAÍCES

 

POLINOMIOS: Expresión algebraica – Monomio - Grado de un monomio - Monomios semejantes - Suma de monomios semejantes - Suma de monomios no semejantes - Producto de monomios - Potencia de un monomio - Suma de polinomios - Producto de polinomios - Identidades notables - Cuadrado de una suma - Cuadrado de una diferencia - Suma por diferencia- Cociente de monomios - Polinomios de una variable - División entera de polinomios de una variable - Regla de Ruffini para dividir cuando el divisor es de la forma x-a ó x+a - Teorema del resto- Raíces o ceros de un polinomio- Raíces enteras de un polinomio- Factorización de un polinomio

TÉRMINO ALGEBRAICO

Es la mínima expresion algebraica cuyas partes no están separadas ni por el signo más ni por el signo menos. Las partes de un término algebraico son:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Expresiones algebraicas - Definición. Se llama expresión algebraica a una combinación cualquiera de números representados por letras, o letras y cifras, ligados entre sí por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Tema relacionado : Radicación de expresiones algebraicas. Raíz de un monomio. Raíz cuadrada de un polinomio. Raíz cúbica de un polinomio. Descomposición de radicales dobles en simples.

Ejemplos: Son expresiones algebraicas :

Una expresión algebraica está formada por signos y símbolos algebraicos.  Es el conjunto de números y letras unidas entre sí por los signos de operación: más, menos, por, entre, exponente, radiación.

Estos signos incluyen los numerales arábigos, los números literales, signos de operación, etcétera. Tal expresión representa un número o una cantidad. Entonces, tal como la suma de 4 y 2 es una cantidad, vale decir, 6, la suma de c y d es una cantidad, o sea, c + d. Asimismo. a/b, , ab, a - b, etcétera, son expresiones algebraicas, cada una de las cuales representa una cantidad o un número.

Expresiones más largas pueden formarse por combinaciones de varios signos de operación y de otros signos algebraicos, pero sin importar lo complejas que pueden ser estas expresiones, aun representan un número. Entonces, la expresión algebraica siguiente,

es un número.

El valor aritmético de cualquier expresión algebraica depende de los valores asignados a los números literales. Por ejemplo, en la expresión 2x2-3ay, si x = -3, a = 5, y = 1, tenemos lo siguiente:

Observe que el exponente es una expresión tal como 2x2 que se aplica sólo a x. Si se desea indicar el cuadrado de 2x, en vez de 2 por el cuadrado de x, entonces se usan paréntesis y la expresión se transforma en (2x)2.

Las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas no son expresiones algebraicas, son funciones trascendentes.

Ejemplos:
i) 5x
ii) logbx
iii) sen x

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