Los números y las reglas
operativas de la aritmética integran una parte de una
rama muy importante de las matemáticas, llamada ÁLGEBRA.
El álgebra extiende los conceptos de la aritmética
de modo que es posible generalizar las reglas para trabajar
con números y usar estas reglas para manipular otros
símbolos además de números. No implica
un cambio abrupto dentro de un campo totalmente nuevo, sino
más bien es una transición suave a muchas ramas
de las matemáticas en una continuación de los
conocimientos obtenidos en la aritmética básica.
La idea de expresar cantidades en forma general, en vez
de los términos específicos de la aritmética,
es muy común. Un ejemplo típico lo constituye
la fórmula para el perímetro de un rectángulo,
P = 2L + 2A, en la cual la letra P
representa el perímetro, L representa
longitud y A representa el ancho. Se entiende
que 2L = 2 (L) y 2A =2(A).
Si L y A fueran números
serían necesarios paréntesis o algún
otro símbolo de multiplicación, pero el significado
de un término tal como 2L es claro
sin agregar signos o símbolos.
Todas las fórmulas son expresiones algebraicas, si
bien no siempre se las identifica como tales. Las letras usadas
en las expresiones algebraicas se denominan a menudo NÚMEROS
LITERALES (literal implica "letra").
Otro empleo típico de los números literales
se da en el establecimiento de las leyes matemáticas
de operación. Por ejemplo, las leyes asociativas, conmutativas
y distributivas, explicadas en
páginas anteriores con respecto a la aritmética,
pueden restablecerse en términos generales usando símbolos
algebraicos.
Expresiones algebraicas - Definición. Se llama expresión
algebraica a una combinación cualquiera de números
representados por letras, o letras y cifras, ligados entre
sí por las operaciones de adición, sustracción,
multiplicación, división, potenciación
y radicación.
Ejemplos: Son expresiones algebraicas :
Definiciones – Se dice que una expresión algebraica
es racional, cuando ninguna de sus letras
figura bajo un signo radical o con exponente fraccionario
y que es entera, cuando sus letras no figuran
como denominadores ni con exponentes negativos.
Ejemplos :
son expresiones algebraicas racionales enteras
.
En el ejemplo previo, la primera expresión algebraica
es irracional y fraccionaria, pues c
figura debajo del signo radical y x en el
denominador.
LEYES CONMUTATIVAS
La palabra "conmutativa" se definió en
anteriormente. Recuerde que
las leyes conmutativas se refieren a aquellas situaciones
en las cuales los factores y términos de una expresión
se reordenan en una forma diferente.
Adición
La forma algebraica de la ley conmutativa para la adición
es como sigue:
a + b + c = a + c + b = c + b + a
En palabras, esta ley establece que la suma de dos o más
sumandos es la misma, independientemente del orden en el cual
se toman los sumandos.
El ejemplo aritmético en el capítulo
mostraba sólo una combinación numerica especifica
en la cual la ley aparecía cierta. En el ejemplo algebraico,
a, b y c representan cualquier
número que elijamos, dando entonces un amplio ejemplo
de la regla. (Observe que una vez que se ha seleccionado un
valor para un número literal, este valor permanece
constante donde quiera que la letra aparezca en un ejemplo
particular o problema. Entonces, si damos el valor 12 a la
letra a, en el ejemplo anterior, todas las
a tienen valor 12 donde quiera que aparezcan.)
Multiplicación
La forma algebraica de la ley conmutativa para la multiplicación
es como sigue:
abc = acb = cba
En palabras, esta ley establece que el producto de dos o
más factores es el mismo, independientemente del orden
en el cual se disponen los factores.
LEYES ASOCIATIVAS
Las leyes asociativas de la adición y multiplicación
se refieren al agrupamiento (asociación) de términos
y factores en una expresión matemática.
Adición
La forma algebraica de la ley asociativa para la adición
es como sigue:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b +
c)
En palabras, esta ley establece que la suma de tres.o más
sumandos es la misma, independientemente de la manera como
se agrupan los sumandos.
Multiplicación
La forma algebraica de la ley asociativa para la multiplicación
es como sigue:
a . b . c = (a . b) . c = a . (b
. c)
En palabras, esta ley establece que el producto de tres o
más factores es el mismo, independientemente de la
manera como se agrupan los factores.
LEY DISTRIBUTIVA
La ley distributiva se refiere a la distribución
de factores entre los términos de una expresión
aditiva. La forma algebraica de esta ley es como sigue:
a(b + c + d) = ab + ac + ad
En palabras, esta ley podrá establecerse como sigue:
Si la suma de dos o más cantidades se multiplica por
una tercera cantidad, el producto se determina aplicando el
multiplicador de cada una de las cantidades originales separadamente
y sumando las expresiones resultantes.
SUMAS ALGEBRAICAS
La palabra "suma" se ha usado varias veces en
estas explicaciones, y es importante tener en cuenta la total
implicación en lo que concierne al álgebra.
Puesto que una expresión literal puede representar
una cantidad positiva como negativa, una suma de varios números
literales siempre se entiende que es una SUMA ALGEBRAICA.
Vale decir, la suma que resulta cuando los signos algebraicos
de todos los sumandos se toman en consideración.
El siguiente problema ilustra el procedimiento para determinar
una suma algebraica:
El segundo problema muestra que toda expresión que
contiene dos o más términos a combinar por adición
y sustracción se puede volver a escribir como una suma
algebraica, donde todos los términos negativos se consideran
pertenecientes a términos específicos y todos
los signos operacionales positivos.
Se notará, con relación a este tema, que las
leyes de los signos para el álgebra son las mismas
que las de la aritmética.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica está formada por
signos y símbolos algebraicos.
Estos signos incluyen los numerales arábigos, los
números literales, signos de operación, etcétera.
Tal expresión representa un número o una cantidad.
Entonces, tal como la suma de 4 y 2 es una cantidad, vale
decir, 6, la suma de c y d
es una cantidad, o sea, c + d. Asimismo.
a/b,  ,
ab, a - b, etcétera,
son expresiones algebraicas, cada una de las cuales representa
una cantidad o un número.
Expresiones más largas pueden formarse por combinaciones
de varios signos de operación y de otros signos algebraicos,
pero sin importar lo complejas que pueden ser estas expresiones,
aun representan un número. Entonces, la expresión
algebraica siguiente,
es un número.
El valor aritmético de cualquier expresión
algebraica depende de los valores asignados a los números
literales. Por ejemplo, en la expresión 2x2-3ay,
si x = -3, a = 5, y
= 1, tenemos lo siguiente:
Observe que el exponente es una expresión tal como
2x2 que se aplica sólo
a x. Si se desea indicar el cuadrado de
2x, en vez de 2 por el cuadrado
de x, entonces se usan paréntesis
y la expresión se transforma en (2x)2.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Calcular las siguientes expresiones algebraicas cuando a
= 4, b = 2, c = 3, x = 7, y = 5. Recuerde, el orden
de operación es multiplicación, división,
adición y sustracción.
Términos y coeficientes.
Los términos de una expresión algebraica son
las partes de la expresión que se conectan por signos
más y menos. En la expresión 3abx +
cy - k, por ejemplo, 3abx, cy,
k constituyen los términos de la expresión.
Una expresión que contiene solamente un término,
tal como 3ab, se llama monomio (mono significa
uno). Un binomio contiene dos términos; por ejemplo,
2r + by. Un trinomio consiste en tres términos.
Toda expresión que contiene dos o más términos
puede llamarse también con el nombre general de polinomio
(poli significa muchos). Generalmente no se dan nombres especiales
a los polinomios de más de tres términos. La
expresión x3 - 3x3 +
7x + 1 es un polinomio de 4 términos. El trinomio
x2 + 2x + 1 constituye un ejemplo
de un polinomio que tiene un nombre específico.
Monomios - Definición: Se llama monomio
a toda expresión algebraica racional entera, formada
por un solo número o por varios de ellos, ligados únicamente
por las operaciones de multiplicación y potenciación.
Ejemplos:
son monomios.
La expresión :
no es un monomio, pues 3a y 2/3b
están ligados por la operación de restar.
Polinomio - Definición: Se llama expresión
polinómica o simplemente polinomio,
a toda suma algebraica de monomios y términos del polinomio
a cada uno de estos monomios.
| Ejemplo: |
 |
es un polinomio |
| y |
 |
son sus términos. |
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Identificar cada una de las siguientes expresiones como
monomio, binomio, trinomio o polinomio. (Algunas expresiones
podrán tener dos nombres.)
Respuestas:
1. Monomio. 2. Trinomio (también polinomio). 3. Monomio.
4, Polinomio. 5. Binomio (también polinomio). 6. Binomio
(también polinomio).
En general, un COEFICIENTE de un término es cualquier
factor o grupo de factores de un término por el cual
queda multiplicado el resto del mismo, o sea coeficiente es
el número que resulta de multiplicar los factores representados
por cifras y se llama parte literal al producto indicado
por sus letras. Así pues, en el término 2axy,
2ax es el coeficiente de y, 2a
es el coeficiente de xy, 2
es el coeficiente de axy. La palabra "coeficiente"
se usa por lo general con referencia a la de aquel factor
que se expresa con números arábigos. Este factor
se llama a veces COEFICIENTE NUMÉRICO. El coeficiente
numérico se escribe casi siempre como el primer factor
del término. En 4x, 4
es el coeficiente numérico o simplemente el coeficiente
de x. Asimismo, en 24xy2,
24 es el coeficiente de xy2,
y en 16(a + b), 16 es el
coeficiente de (a + b). Se conviene en escribir,
siempre, el coeficiente delante de las letras, y cuando no
se escribe ningún coeficiente numérico se sobreentiende
que es 1. Entonces, en el término xy
el coeficiente es 1.
Combinación de términos
Cuando los números aritméticos se vinculan
con signos más y signos menos, siempre pueden agruparse
en un número. Entonces,
Aquí, tres números se suman algebraicamente
(con la debida consideración para los signos) para
dar un número. Los términos se han combinado
en uno solo.
Los términos que contienen números literales
sólo pueden combinarse si sus partes literales son
iguales. Los términos que contienen factores literales
en los cuales las mismas letras están elevadas a las
mismas potencias se llaman términos semejantes. Por
ejemplo, 3y, 2y, son términos semejantes,
puesto que las partes literales son iguales. Los términos
semejantes se suman sumando los coeficientes de las partes
iguales. Entonces, 3y + 2y = 5y es igual
que 3 tuercas + 2 tuercas = 5 tuercas. Además,
3a2b y a2b
son semejantes , 3a2b + a2b
= 4a2b y 3a2b - a2b
= 2a2b. Los números ay,
by son términos semejantes con respecto
a y. Su suma podría indicarse en dos
partes: ay + by o (a + b) y.
La última puede explicarse comparando los términos
con números denominados. Por ejemplo, a tuercas
+ b tuercas = (a + b) tuercas.
Monomios semejantes - Definición: Se dice que dos
o más monomios son semejantes, cuando la parte literal
está formada por las mismas letras afectadas por los
mismos exponentes y ligadas por iguales operaciones, es decir,
cuando sólo difieren en los coeficientes.
Ejemplo:
son monomios semejantes.
Los términos semejantes se suman o restan sumando
o restando los coeficientes numéricos y colocando el
resultado al frente del factor literal, como en los siguientes
ejemplos:
Los términos distintos o no semejantes
en una expresión algebraica no pueden combinarse cuando
no se ha asignado valor numérico a los factores literales.
Por ejemplo, -5x2 + 3xy - 8y2
contienen tres términos distintos. Esta expresión
no puede ser simplificada combinando términos por medio
de la adición o sustracción. La expresión
puede reordenarse como x (3y - 5x) - 8y2
o y(3x - 8y) - 5x2 , pero
tal reordenamiento no constituye en realidad una simplificación.
Grado de un monomio –
Definición : Se dice que un monomio es de primer grado
cuando tiene un factor literal, de segundo grado cuando tiene
dos, etc., de enésimo grado cuando tiene n
factores literales.
| Ejemplo; |
 |
es de 7° grado . |
Grado de un polinomio - Definición
: Se llama grado de un polinomio al grado del término
de mayor grado del mismo.
| Ejemplo: |
 |
es de 5° grado |
Polinomios homogéneos
- Definición: Se dice que un polinomio es homogéneo
cuando todos sus términos son del mismo grado.
| Ejemplo: |
 |
es un polinomio homogéneo de 4°
grado. |
Polinomios ordenados - Definición
: Se dice que un polinomio está ordenado según
las potencias crecientes o decrecientes de una de sus letras,
cuando el exponente de dicha letra es en cada término
mayor o igual que el anterior, a partir del primero o del
último término respectivamente. La letra según
la cual el polinomio está ordenad se llama ordenatriz.
| Ejemplo: |
 |
es un polinomio ordenado según las
potencias crecientes de a |
| |
 |
es un polinomio ordenado según las potencias
decrecientes de x. |
Valor numérico - Deficinión
: Se llama valor numérico de una expresión algebraica
para un sistema de valores particulares dados a sus letras,
al número que resulta de reemplazar cada letra por
el valor asignado y efectuar con éstos las operaciones
indicadas en la expresión.
Ejemplo I - El valor numérico de,
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Combinar los términos semejantes en la siguiente expresión.
|
. 
