FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA. LEYES. MONOMIOS. POLINOMIOS

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

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A) RACIONALES.-

Sus exponentes son enteros, la cantidad sub-radical no tiene letras.

Ejemplos:

B) IRRACIONALES.

Se dice que una expresión algebraica es racional, cuando ninguna de sus letras figura bajo un signo radical o con exponente fraccionario y que es entera, cuando sus letras no figuran como denominadores ni con exponentes negativos.

Tiene exponentes fraccionarios, la cantidad subradical incluye letras.

Ejemplos:

A su vez, las expresiones algebraicas irracionales pueden ser enteras o fraccionarias.

• Racional entera.- Denominadores sin letras, exponentes positivos.

Ejemplos:

• Racional fraccionaria.- Denominadores con letras, exponentes negativos.

Ejemplos:

En el ejemplo:

la primera expresión algebraica es irracional y fraccionaria, pues c figura debajo del signo radical y x en el denominador.

Ejemplos :

son expresiones algebraicas racionales enteras .

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Calcular las siguientes expresiones algebraicas cuando a = 4, b = 2, c = 3, x = 7, y = 5. Recuerde, el orden de operación es multiplicación, división, adición y sustracción.

Términos y coeficientes.

Los términos de una expresión algebraica son las partes de la expresión que se conectan por signos más y menos. En la expresión 3abx + cy - k, por ejemplo, 3abx, cy, k constituyen los términos de la expresión.

Una expresión que contiene solamente un término, tal como 3ab, se llama monomio (mono significa uno). Un binomio contiene dos términos; por ejemplo, 2r + by. Un trinomio consiste en tres términos. Toda expresión que contiene dos o más términos puede llamarse también con el nombre general de polinomio (poli significa muchos). Generalmente no se dan nombres especiales a los polinomios de más de tres términos. La expresión x³ - 3x³ + 7x + 1 es un polinomio de 4 términos. El trinomio x² + 2x + 1 constituye un ejemplo de un polinomio que tiene un nombre específico.

Monomios

Definición: Se llama monomio a toda expresión algebraica racional entera, formada por un solo número o por varios de ellos, ligados únicamente por las operaciones de multiplicación y potenciación. Es la mínima expresión algebraica formado por un solo término algebraico.

Ejemplos:

son monomios.

La expresión :

no es un monomio, pues 3a y 2/3b están ligados por la operación de restar.

Polinomio - Definición: Se llama expresión polinómica o simplemente polinomio, a toda suma algebraica de monomios y términos del polinomio a cada uno de estos monomios. Por convención, se denomina: Binomio: cuando tiene 2 términos. Trinomio: cuando tiene 3 términos, etc.

Ejemplo:		es un polinomio
y		son sus términos.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Identificar cada una de las siguientes expresiones como monomio, binomio, trinomio o polinomio. (Algunas expresiones podrán tener dos nombres.)

Respuestas:

1. Monomio. 2. Trinomio (también polinomio). 3. Monomio. 4, Polinomio. 5. Binomio (también polinomio). 6. Binomio (también polinomio).

En general, un COEFICIENTE de un término es cualquier factor o grupo de factores de un término por el cual queda multiplicado el resto del mismo, o sea coeficiente es el número que resulta de multiplicar los factores representados por cifras y se llama parte literal al  producto indicado por sus letras. Así pues, en el término 2axy, 2ax es el coeficiente de y, 2a es el coeficiente de xy, 2 es el coeficiente de axy. La palabra "coeficiente" se usa por lo general con referencia a la de aquel factor que se expresa con números arábigos. Este factor se llama a veces COEFICIENTE NUMÉRICO. El coeficiente numérico se escribe casi siempre como el primer factor del término. En 4x, 4 es el coeficiente numérico o simplemente el coeficiente de x. Asimismo, en 24xy², 24 es el coeficiente de xy², y en 16(a + b), 16 es el coeficiente de (a + b). Se conviene en escribir, siempre, el coeficiente delante de las letras, y cuando no se escribe ningún coeficiente numérico se sobreentiende que es 1. Entonces, en el término xy el coeficiente es 1.

Combinación de términos

Cuando los números aritméticos se vinculan con signos más y signos menos, siempre pueden agruparse en un número. Entonces,

Aquí, tres números se suman algebraicamente (con la debida consideración para los signos) para dar un número. Los términos se han combinado en uno solo.

Los términos que contienen números literales sólo pueden combinarse si sus partes literales son iguales. Los términos que contienen factores literales en los cuales las mismas letras están elevadas a las mismas potencias se llaman términos semejantes. Por ejemplo, 3y, 2y, son términos semejantes, puesto que las partes literales son iguales. Los términos semejantes se suman sumando los coeficientes de las partes iguales. Entonces, 3y + 2y = 5y es igual que 3 tuercas + 2 tuercas = 5 tuercas. Además, 3a²b y a²b son semejantes , 3a²b + a²b = 4a²b y 3a²b - a²b = 2a²b. Los números ay, by son términos semejantes con respecto a y. Su suma podría indicarse en dos partes: ay + by ó (a + b) y. La última puede explicarse comparando los términos con números denominados. Por ejemplo, a tuercas + b tuercas = (a + b) tuercas.

Monomios semejantes

Definición: Se dice que dos o más monomios son semejantes, cuando la parte literal está formada por las mismas letras afectadas por los mismos exponentes y ligadas por iguales operaciones, es decir, cuando sólo difieren en los coeficientes.

Ejemplo:

son monomios semejantes.

Los términos semejantes se suman o restan sumando o restando los coeficientes numéricos y colocando el resultado al frente del factor literal, como en los siguientes ejemplos:

Los términos distintos o no semejantes en una expresión algebraica no pueden combinarse cuando no se ha asignado valor numérico a los factores literales. Por ejemplo, -5x² + 3xy - 8y² contienen tres términos distintos. Esta expresión no puede ser simplificada combinando términos por medio de la adición o sustracción. La expresión puede reordenarse como x (3y - 5x) - 8y² o y(3x - 8y) - 5x²  , pero tal reordenamiento no constituye en realidad una simplificación.

Consideremos otros casos, como los monomios:

f(x) =3x²,

g(x) =-2x²,

h(x, y) = 5x³3y⁴,

I(x, y) = 7x³3y⁴,

Observemos que los monomios f(x) y g(x) tienen el mismo grado respecto de su indeterminada x; a su vez, los monomios h(x, y) y I(x, y) tienen el mismo grado respecto de la indeterminada x e igual grado respecto de la indeterminada y. Cuando esto ocurre, decimos que los monomios son semejantes.

Entonces diremos, que dos monomios son semejantes, cuando sus indeterminadas con sus correspondientes exponentes son iguales. Ejemplos:

GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

GRADO

Es una característica de la expresión algebraica, dada por el exponente de sus letras, el cual debe ser un número entero y positivo. El exponente permite además determinar el número de soluciones que tiene una ecuación. El grado puede ser relativo y absoluto.

GRADO ABSOLUTO (G.A)

Es la suma de los exponentes de todas las letras del monomio.

Ejemplo:

GRADO RELATIVO (G.R.)

Está dado por el exponente de una letra del monomio.

Ejemplo:

Grado de un monomio

Definición : Se dice que un monomio es de primer grado cuando tiene un factor literal, de segundo grado cuando tiene dos, etc., de enésimo grado cuando tiene n factores literales.

Ejemplo;

es de 7° grado .

Grado de un polinomio -

Definición : Se llama grado de un polinomio al grado del término de mayor grado del mismo.

Grado absoluto de un polinomio(G.A.)

Está dado por el grado del término que tiene mayor grado absoluto.

Ejemplo: Sea el polinomio:

Grado realtivo de un polinomio(G.R.P.)

Está dado por el mayor exponente de la letra referida en el problema. Así en el polinomio del ejemplo anterior:

G.R.P. respecto a x = 6
G.R.P. respecto a y = 8
G.R.P. respecto a w = 4

Ejemplo:

es de 5° grado

Polinomios

Tema relacionado : La función polinómica.

Notación polinómica

Es la representación de un polinomio, mediante sus variables y sus constantes.

VARIABLE.- Es toda magnitud que cambia de valor.
CONSTANTE.- Es toda magnitud que tiene valor fijo.

Notación polinómica.

La notación polinómica es la siguiente:

1) P(x) se lee: "polinomio en x"
2) P(x, y) se lee: "polinomio en x, y"
3) P(x, y, z) se lee: "polinomio en x, y, z"

Ejemplos:

POLINOMIOS ESPECIALES

Se trata de polinomios importantes con características útiles:

Polinomios homogéneos

Definición: Se dice que un polinomio es homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado.

Ejemplo:

es un polinomio homogéneo de 4° grado.

Polinomios ordenados

Definición : Se dice que un polinomio está ordenado según las potencias crecientes o decrecientes de una de sus letras, cuando el exponente de dicha letra es en cada término mayor o igual que el anterior, a partir del primero o del último término respectivamente. La letra según la cual el polinomio está ordenado se llama ordenatriz.

Ejemplo:		es un polinomio ordenado según las potencias crecientes de a
		es un polinomio ordenado según las potencias decrecientes de x.
		P(x, y) está ordenado de forma creciente con respecto a x, ordenado de forma decreciente con respecto a y.

Consideremos el polinomio: f(x) = 7x³ +2x -5x² + 3. Los monomios que lo conforman son:

• 7x³ cuyo grado es 3;
• 2x cuyo grado es 1;
• -5x² cuyo grado es 2;
• 3 cuyo grado es 0.

El polinomio f(x) puede escribirse de la siguiente forma: f(x) = 3 + 2x -5x² + 7x³ (por propiedad conmutativa de + en ℜ).

Escrito así, está ordenado ascendentemente respecto a los grados de los monomios que lo conforman.

Pero a su vez f(x) puede escribirse:

f(x) =  7x³ -5x² + 2x + 3 (por propiedad conmutativa de+ en ℜ).

De esta forma aparece ordenado descendentemente respecto a los grados de los monomios que lo conforman.

Un polinomio de dos o más indeterminadas puede ordenarse respecto de una de sus indeterminadas, así:

Polinomio desordenado: p(x, y) = 8x⁴y² -3xy + 5x²y³+ 2

Polinomio ordenado ascendentemente respecto de x         p(x, y) = 2 -3xy + 5x²y³ + 8x⁴y²

Polinomio ordenado descendentemente respecto de x       p(x, y) = 8x⁴y² +5x²y³ -3xy +2

Polinomio ordenado ascendentemente respecto de y         p(x, y) = 2 -3xy + 8x⁴ y² + 5x²y³

Polinomio ordenado descendentemente respecto de y       p(x, y)  = 5x²y³ + 8x⁴ y² -3xy + 2

Polinomio completo

Con respecto a una letra, es aquel que se caracteriza porque los exponentes de la letra considerada existen desde el mayor hasta el cero inclusive. A este último término se le denomina "término independiente".

Ejemplos:

P(x,y) es completo con respecto a "x". El "término independiente" es 6y³.

es completado con respecto a x. El término independiente es -9.

Sea nuevamente el polinomio f(x) = 7x³ +2x -5x² +3.

El grado absoluto del polinomio f(x) es 3. A su vez, el polinomio contiene un monomio de grado 2, un monomio de grado 1 y un monomio de grado 0; es decir, el polinomio f(x) posee un monomio de cada grado: desde el grado absoluto del polinomio hasta el grado 0. Por eso, el polinomio f(x) es un polinomio completo. El polinomio:

g(x) = 8x⁴ +2x² -3x+1

es de grado absoluto 4 y contiene además un monomio de grado 2, un monomio de grado 1 y un monomio de grado 0, pero no contiene un monomio de grado 3. Entonces, el polinomio g(x) no es un polinomio completo.

Observemos ahora el polinomio

p(x, y) = 3x³ + 5X²y⁴-2xy² + 1.

El grado del polinomio p(x, y) respecto de la indeterminada x es 3. Además el polinomio posee un monomio de grado 2 respecto de x, un monomio de grado 1 respecto de x y un monomio de grado 0 respecto de x. Diremos entonces que p(x, y) es un polinomio completo respecto de la indeterminada x. El grado del polinomio respecto de la indeterminada y es 4.

Además el polinomio posee un monomio de grado 2, respecto de y, y un monomio de grado 0 respecto de y, pero no posee un monomio de grado 3, por eso el polinomio p(x, y) no es completo respecto de la indeterminada y.

Propiedades de un polinomio completo

• Si el polinomio es de grado "n" el número de términos es igual a "n + 1".

• El grado del polinomio completo es igual al número de términos menos 1.

G P = # T P - 1

• La diferencia de grados relativos de dos términos consecutivos es igual a la unidad.

• El "término independiente" contiene a la variable con exponente cero.

Ejemplo: -9x⁰ = -9

Polinomios iguales

Sean los polinomios:

h(x) = 2+2x + 3x² -x³

g(x) =-x³ +2x +2 + 3x²

Observemos que h (x) = g(x) por propiedad conmutativa de + en ℜ. El grado absoluto de h(x) es 3 y el grado absoluto de g(x), es 3 y los coeficientes de los monomios de igual grado son iguales. Cuando esto ocurre los polinomios son iguales.

En general, si

f(x) = a₀ +a₁x¹ +a₂x²+ ... +a_nxⁿ       y

g(x)=b₀ +b₁x¹ +b₂x²+ ... +b_nxⁿ 

son dos polinomios tales que a₀= b₀, a₁ = b₁ , a₂= b₂ , a_n= b_n y n = m entonces f(x) =g(x).

Término semejante

Es aquel que tiene igual parte literal afectada de los mismos exponentes, sin interesar los coeficientes.

Son términos semejantes:

Polinomio idénticamente nulo

Son aquellos cuyos coeficientes son iguales a cero.

Ejemplo:

P(x) = ax³ + bx² + cx + d

donde: a = b = c = d = 0

Polinomio entero en “x”

Sus exponentes son enteros y su única variable es "x".

De primer grado:

P(x) = ax + b

De segundo grado:

P(x) = ax² + bx + c

De tercer grado:

P(x) = ax³ + bx² + cx + d

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Combinar los términos semejantes en la siguiente expresión.

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