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Fundamentos de Álgebra. Leyes. Monomios. Polinomios. Exponentes y radicales.


 

 


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Fundamentos de Álgebra. Leyes. Monomios. Polinomios

SIMBOLOS DE AGRUPAMIENTO

A menudo se desea agrupar dos o más términos para indicar que éstos se consideran y se tratan como si fueran un solo término, aun cuando pueda haber signos más o menos entre ellos. Los símbolos de agrupamiento son paréntesis ( ) (que ya se han usado), corchetes [ ] , llaves { } y vínculos -------. El vínculo a veces se llama "subrayado". El hecho de que -7 + 2 - 5 deba sustraerse de 15, por ejemplo, podría indicarse en alguna de las siguientes formas:

En realidad, el vínculo raramente se emplea, excepto en conexión con el símbolo radical, tal como  , o en álgebra Booleana. El álgebra Booleana es un tipo especializado de notación simbólica que se explica en otras páginas de éste sitio.

Los paréntesis son los símbolos de agrupamiento usados más comúnmente. Cuando se necesitan varios símbolos paia evitar confusión en el agrupamiento, los paréntesis son por lo general los símbolos más internos, seguidos por los corchetes y luego por las llaves como símbolos externos. Este ordenamiento con símbolos de agrupamiento se ilustra como sigue:

2x - { 3y + [ - 8 - 5y - (x - 4) ]}

Introducción y eliminación de símbolos de agrupamiento.

En los siguientes párrafos se explican diversas reglas que gobiernan la introducción y eliminación de paréntesis, corchetes, llaves y vínculos. Puesto que las reglas son las mismas para todos los símbolos de agrupamiento, la explicación en términos de paréntesis servirá como base para todas.

ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS

Si los paréntesis están precedidos por un signo menos, la cantidad encerrada en ellos debe considerarse como un sustraendo. Esto significa que cada término de la cantidad entre paréntesis se resta de la expresión que precede al signo menos.

De acuerdo con ello, los paréntesis precedidos por un signo menos pueden sacarse si se cambian los signos de todos los términos dentro del paréntesis.

Esto se explicará con un ejemplo aritmético. Recordamos que para sustraer un número de otro cambiamos el signo del sustraendo y procedemos como en una adición. Para restar - 7 de 16 cambiamos el signo de - 7 y procedemos como en una adición, así:

A veces es más fácil ver el resultado de cambiar los signos en el sustraendo si el signo menos que precede al paréntesis se considera como un multiplicador. Entonces, el proceso de eliminar paréntesis en una expresión tal como - (4 - 3 + 2) sería como sigue: menos por más es menos; entonces, el primer término de la expresión sin paréntesis es - 4 (recuerde que se sobreentiende que 4 en la expresión original es + 4, puesto que no tiene signo indicado). Menos por menos es más, de modo que el segundo término es + 3. Menos por más es menos, de manera que el tercer término es - 2. El resultado es - 4 + 3 - 2, que se reduce a - 3.

Este mismo resultado puede lograrse más fácilmente, en una expresión aritmética, combinando los números dentro del paréntesis antes de aplicar el signo negativo que precede al paréntesis. Pero, en una expresión algebraica con términos no semejantes esta combinación no es posible. Los siguientes ejemplos muestran cómo se aplica la regla para eliminar paréntesis de expresiones algebraicas:

2a - (-4x + 3by) = 2a + 4x - 3by

Los paréntesis precedidos por un signo más pueden sacarse sin ningún otro cambio, conforme se indica en el siguiente ejemplo:

2b + (a - b) = 2b + a - b = a + b

Muchas expresiones contienen más de un grupo de paréntesis, corchetes y otros símbolos de agrupamiento. Al eliminar símbolos de agrupamiento es posible proceder desde fuera hacia adentro o desde dentro hacia afuera. Para el principiante resulta más simple comenzar desde dentro y trabajar hacia afuera, uniendo los términos y simplificando. En el siguiente ejemplo se sacan primero los símbolos internos de agrupamiento:

COLOCACIÓN DE TÉRMINOS ENTRE PARÉNTESIS

Cuando se desea encerrar un grupo de términos entre paréntesis el grupo de términos permanece inalterado si el signo que antecede al paréntesis es positivo. Lo cual se ilustra como sigue:

3x - 2y + 7x - y = (3x - 2y) + (7x - y)

Observe que esto coincide con la regla para sacar paréntesis precedidos por un signo más.

Si los términos encerrados dentro del paréntesis están precedidos por un signo menos, los signos de todos los términos encerrados deben cambiarse como en el siguiente ejemplo:

3x - 2y + 7x - y = 3x -(2y - 7x + y)

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

En los problemas 1 a 4, saque los símbolos de agrupamiento y combine los términos semejantes. En los problemas 5 a 8 encierre los dos primeros términos entre paréntesis precedidos por un signo más (sobreentendido) y los dos últimos entre paréntesis precedidos por un signo menos.

Hallar el valor de las expresiones siguientes:

EXPONENTES Y RADICALES

Los exponentes y radicales tienen en álgebra el mismo significado que en aritmética. Así pues, si n representa cualquier número, n2 = n .n , n3= n . n . n, etcétera. Por el mismo razonamiento, nm significa que n se toma como factor m veces. Es decir que nm = n . n . n . . . ., con n tomado m veces. La serie de puntos, llamada elipsis (no confundir con la figura geométrica que tiene un nombre parecido, elipse), representa una continuación del mismo modelo o del mismo símbolo.

Las reglas de operación con exponentes son también las mismas, tanto en álgebra como en aritmética. Por ejemplo, n2 . n3 = n2+3 = n5. Es necesario un poco de cuidado para evitar confusiones con expresiones tales como 32 . 33. En este ejemplo, n = 3 y el producto deseado es 35, no 95. En general, 3a . 3b = 3a + b, y se alcanza un resultado similar tanto si el factor que actúa como base para el exponente es un número como si es una letra. Entonces, la forma general puede expresarse así:

na. nb = na+b

En palabras, la regla general para la multiplicación que comprende exponentes es como sigue: Cuando se multiplican términos cuyos factores literales son semejantes, se suman los exponentes. Esta regla podrá aplicarse a problemas que incluyen divisiones, si todas las expresiones de los denominadores que contienen exponentes vuelven a escribirse como expresiones con exponente negativo. Por ejemplo, la fracción x2y/xy2 se puede volver a escribir como (x2y)(x-1y-2), que es igual a (x2-1)(y1-2). Esto se reduce a xy-1, o x/y. Observe que el resultado es el mismo que si se hubieran restado los exponentes de los términos literales en el denominador, de los exponentes de los mismos términos literales en el numerador.

Las reglas algebraicas para los radicales también permanecen inalterables respecto a las de la aritmética. En aritmética, . Asimismo, en álgebra .

TEORÍA DE EXPONENTES

La teoría de exponentes estudia todas las clases de exponentes que existen y las relaciones entre ellos.

OPERACIÓN DE EXPONENTES

LEY DE LOS SIGNOS

1) MULTIPLICACIÓN

(+) . (+) = (+)

(+) . (–) = (–)

(–) . (+) = (–)

(–) . (–) = (+)

2) DIVISIÓN

3) POTENCIA

4) RADICACIÓN

Nota: 2n = número par; 2n + 1 = número impar

   

ECUACIONES EXPONENCIALES

Son igualdades relativas cuyas incógnitas aparecen como exponentes. Se llama igualdad relativa aquella que se verifica soló para algunos valores que se le asigna a la incógnita.

Así:, por ejemplo:

VALOR NUMÉRICO

Definición : Se llama valor numérico de una expresión algebraica para un sistema de valores particulares dados a sus letras, al número que resulta de reemplazar cada letra por el valor asignado y efectuar con éstos las operaciones indicadas en la expresión.

Es aquel valor que adquiere una expresión algebraica cuando se le asigna un valor numérico a sus letras.

Ejemplo:

Hallar el valor numérico de:

E = x5 + 3x2 - 8x + 1; para x = 1

sustituyendo x = 1:

E = 15 + 3 . 12 - 8 . 1 + 1 = -3

 

Ejemplo 1 - El valor numérico de,

 

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