SIMBOLOS DE AGRUPAMIENTO
A menudo se desea agrupar dos o más términos
para indicar que éstos se consideran y se tratan como
si fueran un solo término, aun cuando pueda haber signos
más o menos entre ellos. Los símbolos de agrupamiento
son paréntesis ( ) (que ya se han usado), corchetes
[ ] , llaves { } y vínculos -------. El vínculo
a veces se llama "subrayado". El hecho de que -7
+ 2 - 5 deba sustraerse de 15, por
ejemplo, podría indicarse en alguna de las siguientes
formas:
En realidad, el vínculo raramente se
emplea, excepto en conexión con el símbolo radical,
tal como  ,
o en álgebra Booleana. El álgebra Booleana es
un tipo especializado de notación simbólica
que se explica en otras páginas
de éste sitio.
Los paréntesis son los símbolos
de agrupamiento usados más comúnmente. Cuando
se necesitan varios símbolos paia evitar confusión
en el agrupamiento, los paréntesis son por lo general
los símbolos más internos, seguidos por los
corchetes y luego por las llaves como símbolos externos.
Este ordenamiento con símbolos de agrupamiento se ilustra
como sigue:
2x - { 3y + [ - 8 - 5y - (x - 4)
]}
Introducción y eliminación
de símbolos de agrupamiento.
En los siguientes párrafos se explican diversas reglas
que gobiernan la introducción y eliminación
de paréntesis, corchetes, llaves y vínculos.
Puesto que las reglas son las mismas para todos los símbolos
de agrupamiento, la explicación en términos
de paréntesis servirá como base para todas.
ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS
Si los paréntesis están precedidos por un
signo menos, la cantidad encerrada en ellos debe considerarse
como un sustraendo. Esto significa que cada término
de la cantidad entre paréntesis se resta de la expresión
que precede al signo menos.
De acuerdo con ello, los paréntesis precedidos por
un signo menos pueden sacarse si se cambian los signos de
todos los términos dentro del paréntesis.
Esto se explicará con un ejemplo aritmético.
Recordamos que para sustraer un número de otro cambiamos
el signo del sustraendo y procedemos como en una adición.
Para restar - 7 de 16 cambiamos el signo de - 7 y procedemos
como en una adición, así:
A veces es más fácil ver el resultado de cambiar
los signos en el sustraendo si el signo menos que precede
al paréntesis se considera como un multiplicador. Entonces,
el proceso de eliminar paréntesis en una expresión
tal como - (4 - 3 + 2) sería como
sigue: menos por más es menos; entonces, el primer
término de la expresión sin paréntesis
es - 4 (recuerde que se sobreentiende que
4 en la expresión original es + 4,
puesto que no tiene signo indicado). Menos por menos es más,
de modo que el segundo término es + 3.
Menos por más es menos, de manera que el tercer término
es - 2. El resultado es - 4 + 3 -
2, que se reduce a - 3.
Este mismo resultado puede lograrse más fácilmente,
en una expresión aritmética, combinando los
números dentro del paréntesis antes de aplicar
el signo negativo que precede al paréntesis. Pero,
en una expresión algebraica con términos no
semejantes esta combinación no es posible. Los siguientes
ejemplos muestran cómo se aplica la regla para eliminar
paréntesis de expresiones algebraicas:
2a - (-4x + 3by) = 2a + 4x - 3by
Los paréntesis precedidos por un signo
más pueden sacarse sin ningún otro cambio, conforme
se indica en el siguiente ejemplo:
2b + (a - b) = 2b + a - b = a + b
Muchas expresiones contienen más de un
grupo de paréntesis, corchetes y otros símbolos
de agrupamiento. Al eliminar símbolos de agrupamiento
es posible proceder desde fuera hacia adentro o desde dentro
hacia afuera. Para el principiante resulta más simple
comenzar desde dentro y trabajar hacia afuera, uniendo los
términos y simplificando. En el siguiente ejemplo se
sacan primero los símbolos internos de agrupamiento:
COLOCACIÓN DE TÉRMINOS
ENTRE PARÉNTESIS
Cuando se desea encerrar un grupo de términos
entre paréntesis el grupo de términos permanece
inalterado si el signo que antecede al paréntesis es
positivo. Lo cual se ilustra como sigue:
3x - 2y + 7x - y = (3x - 2y) + (7x
- y)
Observe que esto coincide con la regla para sacar paréntesis
precedidos por un signo más.
Si los términos encerrados dentro del paréntesis
están precedidos por un signo menos, los signos de
todos los términos encerrados deben cambiarse como
en el siguiente ejemplo:
3x - 2y + 7x - y = 3x -(2y - 7x +
y)
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los problemas 1 a 4, saque los símbolos
de agrupamiento y combine los términos semejantes.
En los problemas 5 a 8 encierre los dos primeros términos
entre paréntesis precedidos por un signo más
(sobreentendido) y los dos últimos entre paréntesis
precedidos por un signo menos.
Hallar el valor de las expresiones siguientes:
EXPONENTES Y RADICALES
Los exponentes y radicales tienen en álgebra
el mismo significado que en aritmética. Así
pues, si n representa cualquier número,
n2 = n .n , n3=
n . n . n, etcétera. Por el mismo razonamiento,
nm significa que n
se toma como factor m veces. Es decir que
nm = n . n . n . . . ., con n
tomado m veces. La serie de puntos, llamada
elipsis (no confundir con la figura geométrica que
tiene un nombre parecido, elipse), representa una continuación
del mismo modelo o del mismo símbolo.
Las reglas de operación con exponentes
son también las mismas, tanto en álgebra como
en aritmética. Por ejemplo, n2 .
n3 = n2+3 = n5.
Es necesario un poco de cuidado para evitar confusiones con
expresiones tales como 32 . 33.
En este ejemplo, n = 3 y el producto deseado
es 35, no 95.
En general, 3a . 3b
= 3a + b, y se alcanza un resultado
similar tanto si el factor que actúa como base para
el exponente es un número como si es una letra. Entonces,
la forma general puede expresarse así:
na. nb = na+b
En palabras, la regla general para la multiplicación
que comprende exponentes es como sigue: Cuando se multiplican
términos cuyos factores literales son semejantes, se
suman los exponentes. Esta regla podrá aplicarse a
problemas que incluyen divisiones, si todas las expresiones
de los denominadores que contienen exponentes vuelven a escribirse
como expresiones con exponente negativo. Por ejemplo, la fracción
x2y/xy2 se puede volver
a escribir como (x2y)(x-1y-2),
que es igual a (x2-1)(y1-2).
Esto se reduce a xy-1, o x/y.
Observe que el resultado es el mismo que si se hubieran restado
los exponentes de los términos literales en el denominador,
de los exponentes de los mismos términos literales
en el numerador.
Las reglas algebraicas para los radicales también
permanecen inalterables respecto a las de la aritmética.
En aritmética, 
. Asimismo, en álgebra 
.
MULTIPLICACION DE MONOMIOS
Si debe multiplicarse un monomio tal como 3abe
por un multiplicador numérico, por ejemplo 5, sólo
se multiplica el coeficiente, corno en el siguiente ejemplo:
5 x 3abc = l5abc
Cuando el factor numérico no es el factor
inicial de la expresión, como en x(2a),
el resultado de la multiplicación no se escribe, como
en x2a. En cambio, se intercambian el factor
numérico con los factores literales aplicando la ley
conmutativa de la multiplicación. Los factores literales
se intercambian por lo general para colocarlos en orden alfabético,
y el resultado final es como sigue:
x(2a) = 2ax
La regla para la multiplicación de monomios puede
establecerse como sigue: Multiplicar los coeficientes numéricos
para formar el coeficiente del producto. Multiplicar los factores
literales, combinando los exponentes de los factores semejantes
para formar la parte literal del producto. El proceso completo
se ilustra en el siguiente ejemplo:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Realizar las operaciones indicadas:
DIVISIÓN DE MONOMIOS
Como era de prever, el proceso de dividir es
el inverso de multiplicar. Puesto que 3 x 2a = 6a
, 6a : 3 = 2a ó 6a : 2 = 3a.
Entonces, cuando el divisor es numérico se divide el
coeficiente del dividendo por el divisor.
Cuando el divisor contiene una parte literal
que se halla también en el dividendo puede realizarse
la simplificación, como en aritmética, Por ejemplo,
6ab : 3a, podrá escribirse como sigue:
La simplificación del factor literal
común, 3a, en el numerador y en el
denominador, deja 2b como respuesta para
este problema de división.
Cuando los mismos factores literales aparecen
tanto en el divisor corno en el dividendo, pero con exponentes
diferentes, puede usarse aún la simplificación,
como sigue:
Este mismo problema podrá resolverse
sin pensar en la simplificación, volviendo a escribir
con exponentes negativos, así:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Realizar las operaciones indicadas:
|
. 
