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Fundamentos de Álgebra. Operaciones con polinomios.


 

 


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OPERACIONES CON POLINOMIOS

Sumar y restar polinomios es simplemente sumar y restar sus términos semejantes. Hay una gran similitud entre las operaciones con polinomios y con números denominados. Compare los siguientes ejemplos:

Un método para sumar polinomios. (indicado en los ejemplos anteriores) consiste en colocar los términos semejantes en columnas y realizar la suma algebraica de los términos semejantes. Por ejemplo, para sumar 3a + b - 3c , 3b + c - d , y 2a + 4d , ordenarnos los polinomios como sigue:

La sustracción se realiza usando el mismo ordenamiento, es decir, colocando los términos del sustraendo debajo de los términos semejantes del minuendo y realizando la sustracción con la debida consideración de los signos. Recuerde que en la sustracción los signos de todos los términos del sustraendo primero deben cambiarse mentalmente y luego se completa el proceso como en la adición. Por ejemplo, restamos l0a + b de 8a - 2b, como sigue:

Nuevamente note la similitud entre este tipo de sustracción y la sustracción de números denominados.

La adición y sustracción de polinomios pueden indicarse también con la ayuda de símbolos de agrupamiento. La regla acerca del cambio de signo cuando se sacan paréntesis precedidos con un signo menos automáticamente tiene en cuenta a la sustracción.

Por ejemplo, para restar 10a + b de 8a - 2b, empleamos el siguiente ordenamiento:

Similarmente, para sumar -3x + 2y a -4x - 5y, podemos escribir

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Sumar como está indicado en cada uno de los siguientes problemas:

En los problemas 5 a 8, realice las operaciones que se señalan y combine los términos semejantes.

Respuestas:

Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes:

Multiplicación de un polinomio por un monomio

Podemos explicar la multiplicación de un polinomio por un monomio sirviéndonos de un ejemplo aritmético. Sea multiplicar el binomio 7 - 2 por 4. Podemos escribir esto como 4 por (7 - 2) o simplemente 4 (7 - 2). Ahora, 7 - 2 = 5. Por tanto, 4 (7 - 2) = 4 (5) = 20.

Sea ahora resolver el problema en una forma diferente. En vez de restar primero y multiplicar luego, multiplicamos cada término de la expresión por 4 y después sustraemos. Entonces, 4( 7 - 2) = (4 x 7) - (4 X 2) = 20. Ambos métodos dan el mismo resultado. El segundo de ellos emplea la ley distributiva de la multiplicación.

Cuando hay partes literales en la expresión a multiplicar, el primer método no puede usarse y debemos recurrir al método distributivo. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos:

Entonces, para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada término del polinomio por el monomio.

Ejemplo de producto de un monomio por un polinomio. - Veamos el siguiente ejemplo:

La propiedad distributiva de la multiplicación nos permite escribir:

y efectuando los productos de monomios, obtenemos finalmente:

El ejemplo ilustra la siguiente regla práctica: Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica por éste cualquiera de los términos del polinomio.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Multiplicar como está indicado:

Multiplicación de polinomios entre sí.

Propiedades de la multiplicación :

• El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores.

• El término independiente del producto es igual al producto de los términos independientes de los factores.

Ejemplo:

Sea el producto:

Grado (absoluto) del producto:

4 + 5 + 2 + 1 = 12

Término independiente:

(6) (2) (-3) (-5) = 180

Para la multiplicación, se puede utilizar cualesquiera de los dos métodos siguientes:

Método normal.- Se ordena los dos polinomios en forma descendente y se escribe uno debajo del otro. A continuación, se multiplica cada uno de los términos del multiplicador por cada uno de los términos del multilplicando, sus signos, sus coeficientes y sus letras; se obtiene los productos parciales, los cuales se escribe en forma ordenada uno debajo del otro del mismo grado y se suma ordenadamente, obteniendose finalmente el producto total.

Ejemplo:

Método de coeficientes separados.- Se ordena descendentemente los coeficientes del multiplicando y multiplicador, escribiendolos en línea horizontal, uno debajo del otro. Se efectúa las operaciones como en el caso anterior, corriendo un lugar a la derecha despúes de cada producto parcial; para obtener el grado del producto se aplica la propiedad respectiva.

Este método es recomendable para polinomios de una sola variable. En caso de faltar una potencia de la variable, se completa con el coeficiente "cero", tanto en el multiplicando como en el multiplicador.

Ejemplo:

completando el multiplicando, se escribe:

Solución:

Se toma sólo los coeficientes:

Visto de otra manera, como con el multiplicador monomio, explicamos la multiplicación de un polinomio por un polinomio valiéndonos de un ejemplo aritmético. Para multiplicar (3 + 2) (6 - 4) podemos realizar las operaciones dentro del paréntesis primero y luego multiplicar, así:

(3 + 2)(6 - 4) = (5)(2) = 10

Sin embargo, pensando en la cantidad (3 + 2) como en un solo término, se puede acudir al método descrito para el multiplicador monomio, es decir, podemos multiplicar cada término del multiplicando por el multiplicador (3 + 2), con el siguiente resultado:

(3 + 2)(6 - 4) = [(3 + 2) x 6 - (3 + 2) x 4]

Considerando ahora por separado cada uno de los dos productos resultantes, notamos que cada uno es un binomio multiplicado por un monomio.

El primero es

(3 + 2)6 = (3 x 6) + (2 x 6)

y el segundo es

Entonces tenemos el siguiente resultado:

El producto completo se forma multiplicando separadamente cada término del multiplicando por cada término del multiplicador y combinando los resultados con la debida consideración de los signos.

Apliquemos este método en dos ejemplos que contienen números literales.

La regla que gobierna estos ejemplos se establece como sigue: El producto de dos polinomios se determina multiplicando cada término de uno por cada término del otro y sumando los resultados algebraicamente.

Con frecuencia conviene, en especial cuando alguna de las expresiones contiene más de dos términos, colocar el polinomio con la menor cantidad de términos debajo del otro polinomio y multiplicar término a término comenzando por la izquierda. Los términos semejantes de los productos parciales se colocan uno debajo del otro para facilitar la suma.

Supongamos que deseamos determinar el producto de 3x2 - 7x - 9 y 2 x - 3. El procedimiento es

Ejemplo de producto de polinomios.

Resolvamos un ejemplo:

Aplicamos repetidamente la propiedad distributiva y tenemos:

y reduciendo términos, obtenemos finalmente:

Más práctica resulta la disposición de cálculo adoptada en el siguiente ejercicio:

El razonamiento empleado al resolver el ejercicio es completamente general, por lo que puede enunciarse la siguiente regla práctica: Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada uno de los términos del multiplicando por los del multiplicador y se suman los resultados. Para facilitar las operaciones conviene ordenar los polinomios antes de multiplicarlos.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los siguientes problemas, multiplicar y combinar términos semejantes:

 

 

 


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