OPERACIONES
CON POLINOMIOS
Sumar y restar polinomios es simplemente sumar y restar
sus términos semejantes. Hay una gran similitud entre
las operaciones con polinomios y con números denominados.
Compare los siguientes ejemplos:
Un método para sumar polinomios. (indicado en los
ejemplos anteriores) consiste en colocar los términos
semejantes en columnas y realizar la suma algebraica de los
términos semejantes. Por ejemplo, para sumar 3a
+ b - 3c , 3b + c - d , y 2a
+ 4d , ordenarnos los polinomios como sigue:
La sustracción se realiza usando el mismo ordenamiento,
es decir, colocando los términos del sustraendo debajo
de los términos semejantes del minuendo y realizando
la sustracción con la debida consideración de
los signos. Recuerde que en la sustracción los signos
de todos los términos del sustraendo primero deben
cambiarse mentalmente y luego se completa el proceso como
en la adición. Por ejemplo, restamos l0a +
b de 8a - 2b, como sigue:
Nuevamente note la similitud entre este tipo
de sustracción y la sustracción de números
denominados.
La adición y sustracción de polinomios
pueden indicarse también con la ayuda de símbolos
de agrupamiento. La regla acerca del cambio de signo cuando
se sacan paréntesis precedidos con un signo menos automáticamente
tiene en cuenta a la sustracción.
Por ejemplo, para restar 10a + b
de 8a - 2b, empleamos el siguiente ordenamiento:
Similarmente, para sumar -3x + 2y
a -4x - 5y, podemos escribir
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Sumar como está indicado en cada uno de los siguientes
problemas:
En los problemas 5 a 8, realice las operaciones
que se señalan y combine los términos semejantes.
Respuestas:
Hallar el valor numérico de las expresiones
siguientes:
Multiplicación de un polinomio
por un monomio
Podemos explicar la multiplicación de
un polinomio por un monomio sirviéndonos de un ejemplo
aritmético. Sea multiplicar el binomio 7 -
2 por 4. Podemos escribir esto como
4 por (7 - 2) o simplemente 4 (7
- 2). Ahora, 7 - 2 = 5. Por tanto,
4 (7 - 2) = 4 (5) = 20.
Sea ahora resolver el problema en una forma
diferente. En vez de restar primero y multiplicar luego, multiplicamos
cada término de la expresión por 4 y después
sustraemos. Entonces, 4( 7 - 2) = (4 x 7) - (4 X 2)
= 20. Ambos métodos dan el mismo resultado.
El segundo de ellos emplea la ley distributiva de la multiplicación.
Cuando hay partes literales en la expresión
a multiplicar, el primer método no puede usarse y debemos
recurrir al método distributivo. Esto se ilustra en
los siguientes ejemplos:
Entonces, para multiplicar un polinomio por
un monomio se multiplica cada término del polinomio
por el monomio.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Multiplicar como está indicado:
Multiplicación de polinomios
entre sí.
Como con el multiplicador monomio, explicamos
la multiplicación de un polinomio por un polinomio
valiéndonos de un ejemplo aritmético. Para multiplicar
(3 + 2) (6 - 4) podemos realizar las operaciones dentro del
paréntesis primero y luego multiplicar, así:
(3 + 2)(6 - 4) = (5)(2) = 10
Sin embargo, pensando en la cantidad (3
+ 2) como en un solo término, se puede acudir
al método descrito para el multiplicador monomio, es
decir, podemos multiplicar cada término del multiplicando
por el multiplicador (3 + 2), con el siguiente
resultado:
(3 + 2)(6 - 4) = [(3 + 2) x 6 - (3
+ 2) x 4]
Considerando ahora por separado cada uno de
los dos productos resultantes, notamos que cada uno es un
binomio multiplicado por un monomio.
El primero es
(3 + 2)6 = (3 x 6) + (2 x 6)
y el segundo es
Entonces tenemos el siguiente resultado:
El producto completo se forma multiplicando
separadamente cada término del multiplicando por cada
término del multiplicador y combinando los resultados
con la debida consideración de los signos.
Apliquemos este método en dos ejemplos
que contienen números literales.
La regla que gobierna estos ejemplos se establece
como sigue: El producto de dos polinomios se determina multiplicando
cada término de uno por cada término del otro
y sumando los resultados algebraicamente.
Con frecuencia conviene, en especial cuando
alguna de las expresiones contiene más de dos términos,
colocar el polinomio con la menor cantidad de términos
debajo del otro polinomio y multiplicar término a término
comenzando por la izquierda. Los términos semejantes
de los productos parciales se colocan uno debajo del otro
para facilitar la suma.
Supongamos que deseamos determinar el producto
de 3x2 - 7x - 9 y 2 x
- 3. El procedimiento es
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los siguientes problemas, multiplicar y combinar términos
semejantes:
Productos especiales
A menudo aparecen los productos de ciertos
binomios. Es conveniente recordar la forma de estos productos
de modo que ellos puedan escribirse de inmediato sin realizar
el proceso completo de la multiplicación. Presentamos
cuatro de estos productos especiales y que muestran cómo
se deriva cada uno:
1. Producto de la suma y diferencia de dos números.
EJEMPLO: (x - y)(x + y) = x2 - y2
2. Cuadrado de la suma de dos números.
EJEMPLO: (x + y)2 = x2 + 2xy
+ y2
3. Cuadrado de la diferencia de dos números.
EJEMPLO: (x - y)2 = x2 - 2xy
+ y2
4. Producto de dos binomíos que tienen un término
común.
EJEMPLO: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x
+ ab
PRODUCTO DE LA SUMA Y DIFERENCIA
.El producto de la suma y diferencia de dos números
es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado
del segundo número. Si, por ejemplo, se multiplica
x - y por x + y, el término
central anula al otro término. El resultado es el cuadrado
de x menos el cuadrado de y,
según se ilustra en este ejemplo:
Teniendo en cuenta esta regia, el producto de
la suma y diferencia de dos números puede escribirse
inmediatamente escribiendo la diferencia de los cuadrados
de los números. Por ejemplo, consideremos, las tres
expresiones siguientes:
Racionalización de denominadores. - El
producto de la suma y diferencia de dos números es
útil para racionalizar un denominador binomio. Por
ejemplo, en una fracción tal como
el denominador puede cambiarse de modo que no
aparezca término radical en él. (Este proceso
se llama racionalización.) El denominador
debe multiplicarse por  ,
que se denomina el conjugado de  .
Puesto que el valor de la fracción original cambiará
si se multiplica sólo el denominador, nuestro multiplicador
deberá aplicarse tanto al numerador como al denominador.
Multiplicar la fracción original por
es, en efecto, lo mismo que multiplicar por
1.
El resultado de racionalizar el denominador
de esta fracción es como sigue:
Multiplicación mental. - El producto
de la suma y diferencia puede utilizarse para multiplicar
mentalmente dos números que difieren en la misma cantidad
de un múltiplo de 10, uno mayor y el otro menor. Por
ejemplo, 67 es 3 menos que 70 mientras que 73 es 3 más
que 70. El producto de 67 por 73 se determina entonces como
sigue:
CUADRADO DE LA SUMA 0 DIFERENCIA
El cuadrado de la SUMA de do! números
es igual al cuadrado del primer número más el
doble producto de los números más el cuadrado
del segundo número. El cuadrado de la DIFERENCIA de
los mismos dos números tiene idéntica forma,
excepto que el signo del termino central es negativo.
Estos resultados se hacen evidentes con la
multiplicación. Cuando x e y representan los dos números,
obtenemos:
Aplicando esta regla a los cuadrados de los
binomios 3a + 2b y 3a - 2b,
resultan los dos casos siguientes:
El cuadrado de las suma o diferencia de dos números
es aplicable a la elevación al cuadrado de binomios
que contienen uno o dos términos irracionales, como
en estos ejemplos:
El cuadrado de la suma o diferencia de dos números
puede aplicarse al proceso de elevar mentalmente al cuadrado
ciertos números. Por ejemplo, 822
puede expresarse como (80 + 2)2,
mientras que 672 puede expresarse
como (70 - 3)2 . Determinamos
que
BINOMIOS QUE CONTIENEN UN TÉRMINO COMÚN
Los binomios x + 2 y x - 3
tienen el término x común.
Éstos poseen dos términos no semejantes, +
2 y - 3. El producto de tales binomios
es:
La observación de este producto nos muestra
que se lo obtiene elevando al cuadrado el término común,
agregando la suma de los términos no semejantes multiplicados
por el término común, y por último agregando
el producto de los términos no semejantes.
Aplicamos esta regla al producto de 3y
- 5, 3y + 4. El término común
es 3y; su cuadrado es 9y2,
La suma de los términos no semejantes es -5
+ 4 = -1; la suma de los términos no semejantes
multiplicada por el término común es -3y.
La suma de los términos no semejantes es -5(4)
= -20. El producto de los dos binomios es:
(3y - 5)(3y + 4) = 9y2
- 3y - 20
El producto de dos binomios que tienen un término
común es aplicable a la multiplicación de números
como  y
 ,
que contienen términos irracionales. Por ejemplo,
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los problemas 1 a 4, multiplicar y combinar los términos.
En 5 a 8, simplificar usando productos especiales.
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