CURSO DE MATEMÁTICAS

Fundamentos de Álgebra. Operaciones con polinomios.

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Sumar y restar polinomios es simplemente sumar y restar sus términos semejantes. Hay una gran similitud entre las operaciones con polinomios y con números denominados. Compare los siguientes ejemplos:

Un método para sumar polinomios. (indicado en los ejemplos anteriores) consiste en colocar los términos semejantes en columnas y realizar la suma algebraica de los términos semejantes. Por ejemplo, para sumar 3a + b - 3c , 3b + c - d , y 2a + 4d , ordenarnos los polinomios como sigue:

La sustracción se realiza usando el mismo ordenamiento, es decir, colocando los términos del sustraendo debajo de los términos semejantes del minuendo y realizando la sustracción con la debida consideración de los signos. Recuerde que en la sustracción los signos de todos los términos del sustraendo primero deben cambiarse mentalmente y luego se completa el proceso como en la adición. Por ejemplo, restamos l0a + b de 8a - 2b, como sigue:

Nuevamente note la similitud entre este tipo de sustracción y la sustracción de números denominados.

La adición y sustracción de polinomios pueden indicarse también con la ayuda de símbolos de agrupamiento. La regla acerca del cambio de signo cuando se sacan paréntesis precedidos con un signo menos automáticamente tiene en cuenta a la sustracción.

Por ejemplo, para restar 10a + b de 8a - 2b, empleamos el siguiente ordenamiento:

Similarmente, para sumar -3x + 2y a -4x - 5y, podemos escribir

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Sumar como está indicado en cada uno de los siguientes problemas:

En los problemas 5 a 8, realice las operaciones que se señalan y combine los términos semejantes.

Respuestas:

Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes:

Multiplicación de un polinomio por un monomio

Podemos explicar la multiplicación de un polinomio por un monomio sirviéndonos de un ejemplo aritmético. Sea multiplicar el binomio 7 - 2 por 4. Podemos escribir esto como 4 por (7 - 2) o simplemente 4 (7 - 2). Ahora, 7 - 2 = 5. Por tanto, 4 (7 - 2) = 4 (5) = 20.

Sea ahora resolver el problema en una forma diferente. En vez de restar primero y multiplicar luego, multiplicamos cada término de la expresión por 4 y después sustraemos. Entonces, 4( 7 - 2) = (4 x 7) - (4 X 2) = 20. Ambos métodos dan el mismo resultado. El segundo de ellos emplea la ley distributiva de la multiplicación.

Cuando hay partes literales en la expresión a multiplicar, el primer método no puede usarse y debemos recurrir al método distributivo. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos:

Entonces, para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada término del polinomio por el monomio.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Multiplicar como está indicado:

Multiplicación de polinomios entre sí.

Como con el multiplicador monomio, explicamos la multiplicación de un polinomio por un polinomio valiéndonos de un ejemplo aritmético. Para multiplicar (3 + 2) (6 - 4) podemos realizar las operaciones dentro del paréntesis primero y luego multiplicar, así:

(3 + 2)(6 - 4) = (5)(2) = 10

Sin embargo, pensando en la cantidad (3 + 2) como en un solo término, se puede acudir al método descrito para el multiplicador monomio, es decir, podemos multiplicar cada término del multiplicando por el multiplicador (3 + 2), con el siguiente resultado:

(3 + 2)(6 - 4) = [(3 + 2) x 6 - (3 + 2) x 4]

Considerando ahora por separado cada uno de los dos productos resultantes, notamos que cada uno es un binomio multiplicado por un monomio.

El primero es

(3 + 2)6 = (3 x 6) + (2 x 6)

y el segundo es

Entonces tenemos el siguiente resultado:

El producto completo se forma multiplicando separadamente cada término del multiplicando por cada término del multiplicador y combinando los resultados con la debida consideración de los signos.

Apliquemos este método en dos ejemplos que contienen números literales.

La regla que gobierna estos ejemplos se establece como sigue: El producto de dos polinomios se determina multiplicando cada término de uno por cada término del otro y sumando los resultados algebraicamente.

Con frecuencia conviene, en especial cuando alguna de las expresiones contiene más de dos términos, colocar el polinomio con la menor cantidad de términos debajo del otro polinomio y multiplicar término a término comenzando por la izquierda. Los términos semejantes de los productos parciales se colocan uno debajo del otro para facilitar la suma.

Supongamos que deseamos determinar el producto de 3x² - 7x - 9 y 2 x - 3. El procedimiento es

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los siguientes problemas, multiplicar y combinar términos semejantes:

Productos especiales

A menudo aparecen los productos de ciertos binomios. Es conveniente recordar la forma de estos productos de modo que ellos puedan escribirse de inmediato sin realizar el proceso completo de la multiplicación. Presentamos cuatro de estos productos especiales y que muestran cómo se deriva cada uno:

1. Producto de la suma y diferencia de dos números.

EJEMPLO: (x - y)(x + y) = x² - y²

2. Cuadrado de la suma de dos números.

EJEMPLO: (x + y)² = x² + 2xy + y²

3. Cuadrado de la diferencia de dos números.

EJEMPLO: (x - y)² = x² - 2xy + y²

4. Producto de dos binomíos que tienen un término común.

EJEMPLO: (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

PRODUCTO DE LA SUMA Y DIFERENCIA

.El producto de la suma y diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo número. Si, por ejemplo, se multiplica x - y por x + y, el término central anula al otro término. El resultado es el cuadrado de x menos el cuadrado de y, según se ilustra en este ejemplo:

Teniendo en cuenta esta regia, el producto de la suma y diferencia de dos números puede escribirse inmediatamente escribiendo la diferencia de los cuadrados de los números. Por ejemplo, consideremos, las tres expresiones siguientes:

Racionalización de denominadores. - El producto de la suma y diferencia de dos números es útil para racionalizar un denominador binomio. Por ejemplo, en una fracción tal como

el denominador puede cambiarse de modo que no aparezca término radical en él. (Este proceso se llama racionalización.) El denominador debe multiplicarse por , que se denomina el conjugado de  . Puesto que el valor de la fracción original cambiará si se multiplica sólo el denominador, nuestro multiplicador deberá aplicarse tanto al numerador como al denominador. Multiplicar la fracción original por

es, en efecto, lo mismo que multiplicar por 1.

El resultado de racionalizar el denominador de esta fracción es como sigue:

Multiplicación mental. - El producto de la suma y diferencia puede utilizarse para multiplicar mentalmente dos números que difieren en la misma cantidad de un múltiplo de 10, uno mayor y el otro menor. Por ejemplo, 67 es 3 menos que 70 mientras que 73 es 3 más que 70. El producto de 67 por 73 se determina entonces como sigue:

CUADRADO DE LA SUMA 0 DIFERENCIA

El cuadrado de la SUMA de do! números es igual al cuadrado del primer número más el doble producto de los números más el cuadrado del segundo número. El cuadrado de la DIFERENCIA de los mismos dos números tiene idéntica forma, excepto que el signo del termino central es negativo.

Estos resultados se hacen evidentes con la multiplicación. Cuando x e y representan los dos números, obtenemos:

Aplicando esta regla a los cuadrados de los binomios 3a + 2b y 3a - 2b, resultan los dos casos siguientes:

El cuadrado de las suma o diferencia de dos números es aplicable a la elevación al cuadrado de binomios que contienen uno o dos términos irracionales, como en estos ejemplos:

El cuadrado de la suma o diferencia de dos números puede aplicarse al proceso de elevar mentalmente al cuadrado ciertos números. Por ejemplo, 82² puede expresarse como (80 + 2)², mientras que 67² puede expresarse como (70 - 3)² . Determinamos que

BINOMIOS QUE CONTIENEN UN TÉRMINO COMÚN

Los binomios x + 2 y x - 3 tienen el término x común. Éstos poseen dos términos no semejantes, + 2 y - 3. El producto de tales binomios es:

La observación de este producto nos muestra que se lo obtiene elevando al cuadrado el término común, agregando la suma de los términos no semejantes multiplicados por el término común, y por último agregando el producto de los términos no semejantes.

Aplicamos esta regla al producto de 3y - 5, 3y + 4. El término común es 3y; su cuadrado es 9y², La suma de los términos no semejantes es -5 + 4 = -1; la suma de los términos no semejantes multiplicada por el término común es -3y. La suma de los términos no semejantes es -5(4) = -20. El producto de los dos binomios es:

(3y - 5)(3y + 4) = 9y² - 3y - 20

El producto de dos binomios que tienen un término común es aplicable a la multiplicación de números como y   , que contienen términos irracionales. Por ejemplo,

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los problemas 1 a 4, multiplicar y combinar los términos. En 5 a 8, simplificar usando productos especiales.