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Fundamentos de Álgebra. Operaciones con Polinomios.


 

 


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Productos especiales o productos notables

A menudo aparecen los productos de ciertos binomios. Es conveniente recordar la forma de estos productos de modo que ellos puedan escribirse de inmediato sin realizar el proceso completo de la multiplicación. Son denominados también "identidades algebraicas". Su desarrollo se conoce fácilmente por una simple observación, ya que obedecen a una ley. Los más importantes son:

1. Producto de la suma y diferencia de dos números, o producto de una suma por su diferencia

EJEMPLO: (x - y)(x + y) = x2 - y2

2. Cuadrado de la suma de dos números.

EJEMPLO: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

3. Cuadrado de la diferencia de dos números.

EJEMPLO: (x - y)2 = x2 - 2xy + y2

O sea : (a ± b)2 = a2 ± 2 . a . b + b2

4. Producto de dos binomíos que tienen un término común.

EJEMPLO: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

5. Cuadrado de un trinomio:

EJEMPLO: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 . a . b + 2 . a . c + 2 . b . c

6. Cubo de una suma o de una diferencia:

EJEMPLO: (a ± b)3 = a3 ± 3 . a2 . b + 3 . a . b2 ± b3

7. Producto de un binomio por un trinomio que da una suma o diferencia de cubos:

EJEMPLO:

8. Identidades de LEGENDRE:

EJEMPLO:

(a + b)2 + (a - b)2 = 2 (a2 + b2)

(a + b)2 - (a - b)2 = 4 . a . b

9. Identidades de LAGRANGE:

EJEMPLO:

(ax + by)2 + (bx - ay)2 = (x2 + y2) (a2 + b2)

(ax + by + cz)2 + (bx - ay)2 + (cx - az)2 + (cy - bz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2)

Producto de la suma y diferencia

.El producto de la suma y diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo número. Si, por ejemplo, se multiplica x - y por x + y, el término central anula al otro término. El resultado es el cuadrado de x menos el cuadrado de y, según se ilustra en este ejemplo:

Teniendo en cuenta esta regia, el producto de la suma y diferencia de dos números puede escribirse inmediatamente escribiendo la diferencia de los cuadrados de los números. Por ejemplo, consideremos, las tres expresiones siguientes:

Racionalización de denominadores. - El producto de la suma y diferencia de dos números es útil para racionalizar un denominador binomio. Por ejemplo, en una fracción tal como

el denominador puede cambiarse de modo que no aparezca término radical en él. (Este proceso se llama racionalización.) El denominador debe multiplicarse por , que se denomina el conjugado de  . Puesto que el valor de la fracción original cambiará si se multiplica sólo el denominador, nuestro multiplicador deberá aplicarse tanto al numerador como al denominador. Multiplicar la fracción original por

es, en efecto, lo mismo que multiplicar por 1.

El resultado de racionalizar el denominador de esta fracción es como sigue:

Multiplicación mental. - El producto de la suma y diferencia puede utilizarse para multiplicar mentalmente dos números que difieren en la misma cantidad de un múltiplo de 10, uno mayor y el otro menor. Por ejemplo, 67 es 3 menos que 70 mientras que 73 es 3 más que 70. El producto de 67 por 73 se determina entonces como sigue:

CUADRADO DE LA SUMA 0 DIFERENCIA

El cuadrado de la SUMA de do! números es igual al cuadrado del primer número más el doble producto de los números más el cuadrado del segundo número. El cuadrado de la DIFERENCIA de los mismos dos números tiene idéntica forma, excepto que el signo del termino central es negativo.

Estos resultados se hacen evidentes con la multiplicación. Cuando x e y representan los dos números, obtenemos:

Aplicando esta regla a los cuadrados de los binomios 3a + 2b y 3a - 2b, resultan los dos casos siguientes:

El cuadrado de las suma o diferencia de dos números es aplicable a la elevación al cuadrado de binomios que contienen uno o dos términos irracionales, como en estos ejemplos:

El cuadrado de la suma o diferencia de dos números puede aplicarse al proceso de elevar mentalmente al cuadrado ciertos números. Por ejemplo, 822 puede expresarse como (80 + 2)2, mientras que 672 puede expresarse como (70 - 3)2 . Determinamos que

BINOMIOS QUE CONTIENEN UN TÉRMINO COMÚN

Los binomios x + 2 y x - 3 tienen el término x común. Éstos poseen dos términos no semejantes, + 2 y - 3. El producto de tales binomios es:

La observación de este producto nos muestra que se lo obtiene elevando al cuadrado el término común, agregando la suma de los términos no semejantes multiplicados por el término común, y por último agregando el producto de los términos no semejantes.

Aplicamos esta regla al producto de 3y - 5, 3y + 4. El término común es 3y; su cuadrado es 9y2, La suma de los términos no semejantes es -5 + 4 = -1; la suma de los términos no semejantes multiplicada por el término común es -3y. La suma de los términos no semejantes es -5(4) = -20. El producto de los dos binomios es:

(3y - 5)(3y + 4) = 9y2 - 3y - 20

El producto de dos binomios que tienen un término común es aplicable a la multiplicación de números como y   , que contienen términos irracionales. Por ejemplo,

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los problemas 1 a 4, multiplicar y combinar los términos. En 5 a 8, simplificar usando productos especiales.

 

 

 


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