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DIVISIÓN ALGEBRAICA. DIVISIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS


 

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DIVISIÓN ALGEBRAICA

Consiste en averiguar cuántas veses una cantidad, que se llama divisor (d), está contenida en otra, que se llama dividendo (D). El dividendo y el divisor son los términos de la división y el resultado es el cociente (q). Si la división no es exacta existe un resto (r).

Expresión general:

D = q . d + r

Cuando la división es exacta: r = 0

entonces : D = q . d

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN

1º En toda división, el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

º| q | = º| D | - º| d |

2º En toda división el grado del dividendo es mayor o igual que el grado del divisor.

º| D | ≥ º| r |

3º En toda división el grado del divisor es mayor que el grado del resto (excepto polinomios homogéneos).

º| d | ≥ º| r |

4º En toda división el grado máximo del resto es igual al grado del divisor menos uno.

º|r(máx)| = º| d | - 1

En el caso de división de polinomios homogéneos, no se cumple esta propiedad.

5º En el caso de polinomios homogéneos, el grado del resto es mayor que el grado del divisor.

º| r | > º| d |

División de dos monomios

Se procede en el siguiente orden:

Se divide los signos mediante la regla de signos. Se divide los coeficientes.

Se divide los laterales aplicando "teoría de exponentes".

Ejemplo:

División de un polinomio por un monomio

La división, como la multiplicación, es distributiva. Consideremos, por ejemplo, el problema (4 + 6 - 2) : 2, que puede resolverse sumando los números dentro del paréntesis y luego dividiendo el total por 2. Entonces,

Advierta ahora que el problema podrá resolverse también distributivamente.

Precaución: No confundir los problemas del tipo antes descrito con otros de aspecto similar, pero no en el resultado final. Por ejemplo, en un problema como 2 ÷ (4 + 6 - 2) el principiante está tentado de dividir 2 sucesivamente por 4, luego 6 y luego - 2, como sigue:

Note que hemos tachado el signo "igual", porque 2 ÷ 8 evidentemente no es igual a 1/2 + 2/6 - 1. El método distributivo se aplica sólo en aquellos casos en que varios numeradores diferentes se usan con el mismo denominador.

Cuando hay términos literales presentes en una expresión el método distributivo se emplea como en los dos ejemplos que siguen:

Muy a menudo esta división puede realizarse mentalmente y no es necesario escribir los pasos intermedios.

División de un polinomio por un polinomio

La división de un polinomio por otro se realiza de este modo:

1. Ordenar el dividendo y el divisor de acuerdo con las potencias descendentes o ascendentes de una misma letra.
2. Dividir el primer término del dividendo por el primer término del divisor y escribir el resultado como primer término del cociente.
3. Multiplicar el divisor completo por el cociente antes obtenido, escribir los términos del producto debajo de los términos semejantes del dividendo y restar esta expresión del dividendo.
4. Considerar el resto como un nuevo dividendo y repetir los pasos 1, 2 y 3.

En el ejemplo mostrado comenzamos dividiendo el primer término, 10x3, del dividendo, por el primer término, 5x, del divisor. El resultado es 2x2. Este es el primer término del cociente.

A continuación, multiplicamos el divisor por 2x2 y restamos este producto del dividendo.

Usamos el resto como un nuevo dividendo. Obtenemos el segundo término, xy, en el cociente, dividiendo el primer término, 5x2 y, del nuevo dividendo por el primer término, 5x, del divisor. Multiplicamos el divisor por xy y restamos nuevamente del dividendo.

Se continúa el proceso hasta que el resto es cero o es de un grado menor que el divisor. En el ejemplo considerado el resto es cero (indicado por la doble línea al final). El cociente es 2x2 más xy - 2y2.

El siguiente problema de división larga constituye un ejemplo en el cual queda un resto:

El resto es -4.

Observe que el término -3x en el segundo paso de este problema se resta de 0, puesto que no hay término que contenga x en el dividendo. Cuando se escribe el dividendo para una división larga se dejan los espacios para los términos que faltan y que pueden aparecer durante el proceso de la división.

En aritmética, los problemas de división se suelen ordenar como sigue, para realzar la relación entre el resto y el divisor:

Este mismo tipo de ordenamiento se usa en álgebra. Por ejemplo, en el problema anterior el resultado podría escribirse como sigue:

Recuerde que antes de dividir polinomios se ordenan los términos en el dividendo y en el divisor de acuerdo con las potencias crecientes o decrecientes de una de las expresiones literales. Cuando sólo hay un número literal los términos se ordenan conforme a las potencias decrecientes.

Por ejemplo, en el polinomio 2x2 + 4x3 + 5 -7x la potencia más elevada de los términos literales es x3.

Si los términos se ordenan con arreglo a las potencias decrecientes de x, el término en x3 deberá aparecer primero. Al término x3 deberá seguirle el término x2, el término x y, por último, el término constante. El polinomio ordenado de acuerdo con las potencias decrecientes de x es 4x3 más 2x2 - 7x + 5.

Supongamos que 4ab + b2 + 15a2 debe dividirse por 3a + 2b. Puesto que 3a puede dividirse exactamente por 15a2, se ordenan los términos conforme a las potencias decrecientes de a. El dividendo toma la forma

15a2 + 4ab + b2

Explicado de otra manera, y con otro ejemplo:

1. Se ordenan los polinomios, generalmente en forma descendente.

2. Se escribe éstos en línea horizontal, uno a continuación del otro y utlizando el signo de la división aritmética.

3. Se divide el primer termino del dividendo, entre el primer término del divisor, lo cual da el primer término del cociente.

4. Este primer término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se resta de los correspondiente términos del dividendo.(se cambian de signo los productos).

5. Se incorpora al residuo, el siguiente término del divisor. Se divide el primer término del resto obtenido, entre el primer término del divisor y se obtiene el segundo término del cociente.

6. Se procede como el paso 4, y así sucesivamente, hasta terminar la división.

Ejemplo:

Método de los coeficientes separados

Además de las consideraciones del método normal, debe tenerse en cuenta que:

1. Se trabaja solamente con los coeficientes y sus signos.

2. En caso de faltar un término, se coloca en su lugar cero, tanto en el dividendo como en el divisor.

3. Se procede a dividir estos coeficientes siguiendo los pasos del método normal, de esta manera se obtiene los coeficientes del cociente con sus signos.

4. Para determinar el grado del cociente y el resto se aplica las siguientes propiedades:

º| q | = º| D | - º| d |

º| r | = º| d | - 1

5. Este método es recomendable para polinomios de una sola variable.

Ejemplo:

Procedimiento:

Grado del cociente:

º| q | = º| D | - º| d | = 5 - 2 = 3

∴ q = 2x3 - 6x2 - 7x + 8

Grado del resto:

º| r | = º| d | - 1 = 2 - 1 = 1

r = 3x - 1

Método de Horner

Es un caso particular del método de coeficientes separados y se emplea para la división de polinomios de cualquier grado. Se procede así:

1. Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila de izquierda a derecha con su propio signo.

2. Se escribe los coeficientes del divisor en una columna de arriba hacia abajo, a la izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signos cambiados.

3. El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniendose el primer término del cociente, el cual se anota en la última fila del cuadro.

4. Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a los cuales se les cambio su signo, colocándose los resultados a partir de la segunda columna a la derecha.

5. Se reduce la siguiente columna (efectuando la operación indicada) y se coloca este resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener el segundo termino del cociente.(en el ejemplo: +14 - 2 = +12).

6. Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambio de signo, colocándose los resultados a partir de la tercera columna a la derecha.

7. Se continúa este procedimiento hasta obtener un término debajo del último término del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y resto. El número de términos del resto está dado por el número de términos que tiene el último paso.

8. Se suma verticalmente obteniendose los coeficientes del residuo. El grado del cociente y del resto se obtiene tal como se indicó en el Método de Coeficientes separados.

Ejemplo:

8x5 + 14x4 + 5x3 + 16x2 + 3x + 2 : 4x2 + x + 3

Solución:

Grado del cociente:

º| q | = º| D | - º| d | = 5 - 2 = 3

Grado del residuo:

º| r | = º| d | - 1 = 2 - 1 = 1

Procedimiento:

 

DIVISIÓN SINTÉTICA

La división sintética es una forma abreviada de dividir polinomios por binomios de la forma x - a. Por ejemplo, si 3x4 + 2x3 + 2x2 - x - 6 se divide por x -1, la división larga sería como sigue:

Observe que cada línea alternada de trabajo, en este ejemplo, contiene un término que duplica al anterior. Además, cuando se completa la sustracción en cada paso, estos términos duplicados se anulan mutuamente y entonces no afectan el resultado final. Otra duplicación innecesaria se produce cuando los términos del dividendo se bajan y se vuelven a escribir antes de la sustracción. Omitiendo estas duplicaciones, la operación se condensa así:

Los coeficientes del dividendo y el término constante del divisor determinan el resultado de cada paso sucesivo de multiplicación y sustracción. Por tanto, podemos condensar aún más escribiendo sólo los factores no literales, de esta manera:

Note que si el coeficiente del primer término en el dividendo se baja a la última línea, entonces el número en la última línea es el mismo que el coeficiente de los términos en el cociente. Así, pues, no hay necesidad de escribir una línea separada de coeficientes para representar el cociente. En cambio, bajamos el primer coeficiente del dividendo y hacemos la sustracción de los "subtotales" que sirven como coeficientes para el resto del cociente, de este modo.

Aquí se elimina también la escritura innecesaria de los signos más.

El empleo de la división sintética está limitado a divisores de la forma x - a, en los cuales el grado de x es 1. Entonces, el grado de cada término en el cociente es 1 menos que el grado del término correspondiente en el dividendo. El cociente en este ejemplo es:

3x3 + 5x2 + 7x + 6

La secuencia de las operaciones en la división sintética puede resumirse como sigue, usando como ejemplo la división de 3x - 4x2+ x4 - 3 por x + 2:

Primero reordenamos los términos del dividendo para las potencias decrecientes de x. El dividendo se transforma entonces en x4 - 4x2 más 3x - 3, con 1 que se sobreentiende como coeficiente del primer término. No hay término en x3 en el polinomio, pero ponemos cero como reserva de lugar para la posición x3.

Segundo, bajamos el 1 y lo multiplicamos por + 2 del divisor. Colocamos el resultado bajo el cero y restamos. Multiplicamos el resultado (- 2) por el + 2 del divisor, colocamos el producto bajo - 4 en el dividendo y restamos. Se continúa este proceso obteniendo, por último, x3 - 2x2 + 3 como cociente. El resto es - 9.

Ver también : MÉTODO O REGLA DE RUFFINI (Este método se utiliza para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio de primer grado.)

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

En los siguientes problemas realizar las operaciones indicadas. En 4, 5 y 6 usar primero la división sintética y luego controlar el trabajo con la división larga:

 


 


 

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