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Multiplicación y división de fracciones algebraicas.


 

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Multiplicación de fracciones algebraicas.

Tema relacionado : Matemáticas: División Algebraica

Las fracciones algebraicas son multiplicadas de la misma manera que las fracciones son multiplicadas en aritmética. Veamos el ejemplo aritmético :

Aquí multiplicamos los numeradores para obtener el numerador del producto. Multiplicamos los denominadores para obtener el denominador del producto. Con frecuencia podemos simplificar la multiplicación cambiando los términos de las fracciones a forma de fatorización y luego cancelando factores iguales antes de multiplicar

Aquí hemos dividido el 15 en el numerador y el 25 en el denominador por 5. Hemos dividido el 7 del denominador por 7 y el 14 del numerador por 7. Multiplicando los factores resultantes en el numerador y multiplicando los factores resultantes en el denominador, obtenemos nuestra respuesta, 6/5.

Estudiemos dos ejemplos algebraicos.

Ejemplos ilustrativos: Multiplicación de fracciones

1- Multiplicar :

Solución. Dado

Multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador, obtenemos :

que es la respuesta.

2- Multiplicar

Solución. Dado :

Factorizando, obtenemos :

Por cancelación (división) de factores comunes,

obtenemos: 1/3

 

Para multiplicar fracciones algebraicas:

  1. Factoriza los numeradores y los denominadores por completo.
  2. Simplifica en lo posible los factores similares al numerador con factores similares en el denominador, es decir, divide el numerador y el denominador por factores similares.
  3. Multiplica los factores restantes en los numeradores para obtener el numerador del producto.
  4. Multiplica los factores restantes en los denominadores para obtener el denominador del producto.

 

EJERCICIOS . Multiplicando fracciones

Multiplica según lo indicado

 

 

Recíprocos. El recíproco de una cantidad es el resultado obtenido de dividir el número 1 por dicha cantidad. Por ejemplo, el recíproco de 2 es ½;

¿ Cuál sería el recíproco de 2/3?. De acuerdo con nuestra definición, sería 

ahora;

significa

Así, el recíproco de 2/3 es 3/2. Observe que podemos obtener la respuesta simplemente invirtiendo 2/3. De forma similar, el recíproco de x/y es y/x; el recíproco de 1/5 es 5/1 o sea 5.

Ejercicios orales. Recíprocos.

Indique el recíproco de cada una de las siguientes expresiones :

División de fracciones. El procedimiento para dividir una fracción por otra en álgebra es similar al método que usamos en aritmética. Invertimos el divisor y después procedemos como en la multiplicación. En aritmética ;

Para dividir una fracción por otra : invierta la fracción por lo cual está dividiendo y luego prosiga con la multiplicación

EJEMPLO ILUSTRATIVO: Dividiendo fracciones algebraicas.

 

Divide según lo indicado:

EJERCICIOS. División de fracciones algebraicas

Dividir la fracciones algebraicas según lo indicado :

 

Fracciones algebraicas.

Mínimo común denominador. En aritmética aprendimos que podemos agregar solo cantidades similares. Podemos agregar dólares solo a dólares, años solo a años y minutos solo a minutos. No podemos agregar minutos a horas hasta que los hayamos cambiado al mismo tipo de unidades, por ejemplo, minutos. No podemos agregar centavos a dólares hasta que los hayamos cambiado a los mismos a los mismos tipos de unidades, por ejemplo, centavos. Del mismo modo, no podemos agregar tercios y quintos hasta que los cambiemos en el mismo tipo de unidades, por ejemplo, quintos.

O sea, para sumar 2/3 y 3/5, cambiamos 2/3 a 10/15 y cambiamos 3/5 a 9/15. Después, los sumamos para obtener 19/15.  Asi

Podríamos haber cambiado 2/3 y 3/5 a las fracciones equivalentes con denominador 30 o cualquier otro denominador divisible tanto por 3 como por 5. Por ejemplo, podríamos haber cambiado estas fracciones por treintavos, cuarentaicinoavos, o sesentavos. Cada uno de esestos posibles denominadores, 15, 30, 45, 60 es llamado común denominador. El denominado común mas chico ( en este caso el 15), es llamado mínimo común denominador ( abreviado m.c.m. ).

Al sumar fracciones cuyos denominadores no son similares, debemos primero cambiar todas las fracciones a fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. Podemos simplificar nuestro trabajo usando como común denominador el mínimo común denominador. Antes de profundizar mas el tema de la adición de fracciones con distinto denominador, consideremos cómo cambiamos tales fracciones a fracciones equivalentes con igual denominador.

Las fracciones en la historia.

Cambiar los respectivos numeradores y los denominadores de las fracciones  para que las mismas pudieran sumarse o restarse fue una operación difícil para los matemáticos durante siglos. Los babilonios quisieron expresar sus fracciones con 60 como denominador y los romanos trataron de hacer lo mismo con 12 como denominador. Aunque Euclides de Alejandría (alrededor de 300 a.C.) supo cómo encontrar el mínimo común denominador de dos o más fracciones, sin embargo, no fue hasta siglos más tarde que Occidente, siguiendo las instrucciones de los árabes, adoptó nuestros métodos actuales para encontrar el más bajo denominador común de fracciones.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS :  Cambio de las fracciones a fracciones equivalentes cuyos denominadores son mínimo común denominador.

  1. Cambiar a fracciones equivalentes con el mínimo común denominador (m.c.m.) como denominador en cada fracción para 5/8; 2/3; 1/4

Solución. Como 24 es el número más pequeño en el que se pueden dividir por 8, 3 y 4, 24 es el mínimo común denominador. Por lo tanto, convertimos cada fracción en veinticuatroavos. Dividimos 24 por 8 y obtenemos 3. Luego multiplicamos el numerador y el denominador de la primera fracción por 3 y obtenemos 15/24. De manera similar, dividimos 24 por 3 y obtenemos 8. Luego multiplicamos cada miembro de la segunda fracción por 8 y obtenemos 16/24. De manera similar, dividimos 24 por 4 y obtenemos 6. Luego multiplicamos cada miembro de la tercera fracción por 6 y obtenemos  6/24. Así :

   2. Cambio a fracciones equivalentes con el mínimo común denominador en cada fracción:

Solución.

24 es el menor número que contiene a 6,8 y 4 como factores; a3 es la menor cantidad con contiene a a2, a y a3; y b4 es la menor cantidad que contiene a b3, b4 y b. Por lo tanto, el mínimo común denominador es 24a3b4. Dividimos 24a3b4 por 6a2b3 y obtenemos 4ab, y luego multiplicamos el numerador y el denominador de la primera fracción por 4ab y obtenemos

Dividimos 24a3b4 por 8ab4 y obtenernos 3a2, y luego multiplicamos cada miembro de la segunda fracción por 3a2 y obtenemos

Similarmente, dividimos 24a3b4 por 4a3b y obtenemos 6b3, y luego multiplicamos cada miembro de la tercera fracción por 6b3 y obtenemos

Debemos escribir nuestro trabajo como:

 

 

 

 

 


 


 

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