CURSO DE MATEMÁTICAS

CAPÍTULO 10 - FACTOREO DE POLINOMIOS

Un factor de una cantidad N, como se lo definió anteriormente de este curso, es cualquier expresión que pueda dividirse por N sin producir resto. Así, 2 y 3 son factores de 6, y los factores de 5x son 5 y x. Inversamente, cuando todos los factores de N se multiplican entre sí, el producto es N. Esta definición se extiende incluyendo los polinomios.

Los factores de un polinomio son dos o más expresiones que, cuando se las multiplica entre sí dan como producto el polinomio. Por ejemplo, 3, x y x² – 4 son factores de 3x³ – 12x, como se muestra en la siguiente ecuación:

(3)(x)(x² - 4) = 3x³ - 12x

Los factores 3 y x son comunes a ambos términos del polinomio 3x³ – 12x y se llaman FACTORES COMUNES.

El principio distributivo, ya mencionado en el presente curso, constituye una parte importante del concepto de factoreo. Puede establecerse como sigue:

Si la suma de dos o más cantidades se multiplica por una tercera cantidad el producto se determina aplicando el multiplicador a cada una de las cantidades originales separadamente y sumando las expresiones resultantes. Este es el principio que nos permite separar factores comunes de los términos de un polinomio.

Como con los números, una expresión algebraica es un factor primo si no tiene otros factores excepto sí mismo y 1 . El factor x² – 4 no es primo, ya que puede separarse en x – 2 y x + 2. Los factores x – 2 y x + 2 son ambos factores primos, puesto que no pueden separarse en otros factores.

El proceso de determinar los factores de un polinomio se llama FACTOREO. Dicho de otra manera, se llama factoreo algebraico al procedimiento que permite transformar una suma algebraica en un producto. Se dice que una expresión está completamente factoreada cuando se han separado sus factores primos. El polinomio 3x³ – 12x se factorea completamente, así:

3x³ - 12x = 3x(x - 2)(x + 2)

Para su estudio se distinguen varios casos, de los cuales estudiaremos los siguientes:

1. Factor común
2. Descomposición en grupos de igual número de términos y con un factor común
3. Trinomio cuadrado perfecto
4. Diferencia de cuadrados
5. Suma o diferencia de potencias de igual grado

FACTORES COMUNES

Para factorear cualquier polinomio se comienza sacando los factores comunes. Observe que "sacar" un factor no significa descartarlo. Sacar un factor es colocar un paréntesis y mover el factor fuera del paréntesis como un multiplicador común. La extracción de factores comunes se realiza como sigue:

1. Observar el polinomio y determinar los factores que son comunes a todos los términos. Estos factores comunes, multiplicados entre sí, constituyen el "factor común mayor".

2. Dividir mentalmente cada término del polinomio por el factor común mayor y escribir los cocientes dentro de los paréntesis.

3. Escribir el factor común mayor fuera del paréntesis como un multiplicador común.

Por ejemplo, la expresión x²y – xy² contiene a xy como factor de cada término. Por consiguiente, se factorea como sigue:

x²y - xy² = xy(x - y)

Otros ejemplos de factoreo sacando un factor común se encuentran en las siguientes expresiones:

6m⁴n + 3m³n² - 3m²n³ = 3m²n(2m² + mn - n²)

-5z² - 15z = -5z(z + 3)

7x - 7y + 7z = 7(x - y + z)

Al seleccionar factores comunes se sacan siempre todos los factores posibles de cada término para poder factorear completamente. Por ejemplo, x es un factor de 3ax² – 3ax, de modo que esta expresión es igual a x(3ax – 3a). Sin embargo, 3 y a también son factores. Entonces, el factor más grande es 3ax. Cuando se factorea completamente, la expresión queda de esta manera:

3ax² - 3ax = 3ax(x - 1)

Regla: Cuando los términos de un polinomio tiene un factor común, se puede sacar éste fuera de un paréntesis en el que se escribe el cociente de dividir el polinomio por el factor común .

En la práctica suele colocarse el factor común delante del paréntesis, y eso puede hacerse en virtud de la propiedad conmutativa de la multiplicación .

Cuando los términos de un polinomio tienen varios factores comunes, se saca fuera del paréntsis el producto de dichos factores, dividiendo el polinomio por dichos producto.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Sacar los factores comunes:

Exponentes literales

Con frecuencia es preciso sacar factores comunes que tienen exponentes literales: es decir, exponentes compuestos por letras en vez de números. Una expresión típica que posee exponentes literales es x^2a + x^a, en la cual x^a es un factor común. La forma factoreada es x^a(x^a + 1). Otro ejemplo de este tipo es a^m+n + 2a^m. Recuerde que a^m+n equivale a a^m. aⁿ. Así, pues, la forma factoreada será como sigue:

Forma binomial - Descomposición en grupos de igual número de términos y con un factor común.

Las distinciones entre monomio, binomio y trinomio se explicaron en detalle en el capítulo anterior de este curso. Una expresión tal como a(x + y) + b(x + y) tiene un factor común en la forma binomial. El factor (x + y) puede sacarse de ambos términos con el siguiente resultado:

a(x+y) + b(x+y) = (x+y)(a+b)

A veces resulta más fácil ver esto si se sustituye el binomio temporariamente por una letra. Entonces, sea (x + y) = n, de modo que a(x + y) + b(x + y) se reduce a (an + bn). La forma factoreada es n(a + b), que se transforma en (x + y) (a + b) cuando n se reemplaza por (x + y).

Otra forma de este tipo es x(y - z) - w(z -y). Observe que esta expresión podría factorearse fácilmente si el binomio en el segundo término fuera (y - z). Podemos demostrar que -w(z - y) es equivalente a +w(y - z), del modo que sigue:

Sustituyendo +w(y - z) por -w(z - y) en la expresión original, factoreamos ahora de esta forma:

x(y - z) -w(z - y) = x(y - z) + w(y - z)
              = (y - z)(x + w)

Al factorear una expresión tal como ax + bx + ay + by se sacan primero los factores comunes de los monomios, así:

ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b)

Luego de haber sacado los factores comunes de los monomios se sacan los factores comunes de los binomios para obtener (a + b) (x + y).

Advierta que podríamos haber escrito la expresión como ax + ay + bx - by, basados en la ley conmutativa de la adición, la cual establece que la suma de dos o más términos es la misma, independientemente del orden en que éstos se ordenan. El primer paso en el factoreo hubiera sido entonces a(x + y) + b(x + y) y la forma final sería (x + y) (a + b). Esto es equivalente a (a + b) (x + y), por la ley conmutativa de la multiplicación, que establece que el producto de dos o más factores es el mismo, independientemente del orden en que se ordenan éstos.

Resumiendo :

am + bm + an + bn = ( a + b )( m + n )

Observando que en el polinomio dado se formaron grupos de igual número de términos con un factor común para cada grupo, y que al sacar estos factores comunes apareció un nuevo factor común, el procedimiento seguido, que es general, puede enunciarse mediante la siguiente :

Regla: Si los términos de un polinomio no tienen un factor común, pero en cambio se puede descomponer dicho polinomio en grupos de igual número de términos en los que aparezca un factor común, si sacando estos factores comunes el polinomio que queda dentro de cada paréntesis es el mismo, se lo saca a su vez como factor común.

am - bm + bn - an = ( a - b )( m - n )

La regla anterior se completa teniendo en cuenta que:

Cuando después de descomponer un polinomio en grupos de igual número de términos con un factor común y de sacados éstos alguno de los polinomios que quedan dentro de los paréntesis sólo difieren de los restantes en los signos de sus términos, se saca el factor común del grupo en que ello ocurre con signo contrario y se procede como en el caso general.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Factorear cada uno de los siguientes:

FACTORES BINOMIALES

Después que se ha sacado todo factor común de un polinomio debe examinarse el polinomio restante para determinar otros factores. El buen éxito en el factoreo consiste principalmente en la habilidad para reconocer ciertos tipos de productos tales como el cuadrado de una suma o diferencia. Por tanto, es importante familiarizarse con los productos especiales antes explicados.

Diferencia de dos cuadrados

En Fundamentos de Álgebra. Leyes. Monomios. Polinomios. aprendimos que el producto de la suma y diferencia de dos números es la diferencia de sus cuadrados. Entonces, (a + b) (a - b) = a² - b². Inversamente, si un binomio es la diferencia de dos cuadrados, sus factores son la suma y diferencia de sus raíces cuadradas. Por ejemplo, en 9a² - 4b² ambos 9a² y 4b² son cuadrados perfectos. Las raíces cuadradas son 3a y 2b, respectivamente. Se vinculan estas raíces cuadradas con un signo más para obtener un factor de 9a² - 4b² y con un signo menos para obtener el otro factor. Los dos factores binomiales son 3a - 2b y 3a + 2b. En consecuencia, factoreado completamente, el binomio puede escribirse como sigue:

9a² - 4b² = (3a - 2b)(3a + 2b)

Una prueba de que estos factores son correctos consiste en multiplicarlos entre sí para verificar si su producto es el binomio original.

La expresión 20x³y - 5xy³ se reduce a la diferencia de dos cuadrados después que se ha sacado el factor común 5xy. Esta expresión completamente factoreada produce lo siguiente:

20x³y - 5xy³ = 5xy(4x² - y²)

                                = 5xy(2x - y)(2x + y)

Otros ejemplos que ilustran la diferencia de dos cuadrados en el factoreo son los que a continuación se ofrecen:

      49 - 16 = (7 + 4)(7 - 4)

16a² 4x² = 4(4a² - x²)

                        = 4(2a + x)(2a - x)

4x²y -9y = y(4x² - 9)

                          = y(2x + 3)(2x - 3)

Observando que el segundo miembro de la última igualdad es el producto de dos factores binomios respectivamente iguales a la suma y diferencia de las bases de los cuadrados del primer miembro, se obtiene la siguiente:

Regla: Toda diferencia de cuadrados se puede transformar en un producto de dos factores binomios iguales a la suma y diferencia de las bases de dichos cuadrados, respectivamente.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Factorear cada uno de los siguientes:

Formas binomiales especiales

Con frecuencia se encuentran casos especiales que comprenden expresiones binomiales. Todas las expresiones de este tipo pueden factorearse por referencia a las fórmulas generales, pero dichas fórmulas exceden los límites de este curso. Para nuestros propósitos será suficiente el análisis de algunos casos especiales.

EXPONENTES PARES

Cuando los exponentes de ambos términos del binomio son pares, la expresión puede tratarse como la suma o diferencia de dos cuadrados. Por ejemplo, x⁶ - y⁶ se puede volver a escribir (x³)² — (y³)², que da como resultado la siguiente forma factoreada:

x⁶ - y⁶ = (x³ - y³)(x³ + y³)

En general, un binomio con exponentes pares posee la forma x^2m± y²ⁿ, ya que todos los números pares tienen 2 como factor. Si el signo que los vincula es positivo, la expresión no será factoreable; por ejemplo, x² + y², x⁴ + y⁴, x⁸ + y⁸ son binomios no factoreables. Si el signo que los conecta es negativo el binomio con exponentes pares se factorea de la manera que sigue:

x^2m - y ²ⁿ = (x^m - yⁿ)(x^m + yⁿ)

Un caso especial, que es particularmente importante debido a que aparece a menudo, lo constituye el binomio que tiene el número 1 como uno de sus términos. Por ejemplo, x⁴ - 1 es factoreable como la diferencia de dos cuadrados, así:

x⁴ - 1 = ( x² - 1)(x² + 1)

                  = (x - 1)(x +1 )(x² + 1)

EXPONENTES IMPARES

Dos casos especiales que comprenden exponentes impares resultan de particular importancia. Ellos son la suma de dos cubos y la diferencia de dos cubos. A continuación se dan ejemplos de la suma y diferencia de dos cubos indicando sus formas factoreadas:

x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)

 x³ - y³ = (x + y)(x² + xy + y²)

Note que cada una de estas formas factoreadas incluye un factor binomial de primer grado (x + y) en el primer caso y (x - y) en el segundo. El signo de conexión en el binomio de primer grado corresponde al signo de conexión en el binomio original sin factorear.

Estamos ahora en situación de obtener la forma completamente factoreada de x⁶ - y⁶, como sigue:

En general, (x + y) es un factor de (xⁿ + yⁿ) si n es impar. Si n es par (xⁿ + yⁿ) no es factoreable a no ser que pueda expresarse como la suma de dos cubos. Cuando el signo que los vincula es negativo el binomio siempre es factoreable si n es un número entero mayor que 1, vale decir que (x - y) es un factor de (xⁿ - yⁿ), tanto para valores impares como para valores pares de n.

El caso especial en el que uno de los términos del binomio es el número 1 aparece con frecuencia. Un ejemplo de esto es x³ + 1, que es factoreable como la suma de dos cubos, de la siguiente manera:

En forma similar 1 + x⁶ puede considerarse como la suma de dos cubos y factorearse así:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En cada uno de los siguientes problemas, factorear completamente: