TRINOMIOS CUADRÁTICOS

Un trinomio que es el cuadrado de un binomio se llama Trinomio Cuadrático, o de otra manera, se dice que un trinomio es cuadrado perfecto, cuando dos de sus términos son positivos y cuadrados perfectos y el tercer término es el doble del producto de las bases de dichos cuadrados, pudiendo ser positivo o negativo.. Los trinomios que son cuadrados perfectos se factorean tanto para el cuadrado de una suma como para el cuadrado de una diferencia. Recordando que (x + y)² = x² + 2xy + y², y que (x - y)² = x² - 2xy + y², la forma de un trinomio cuadrático es evidente. El primer término y el último constituyen cuadrados perfectos y sus signos son positivos. El término central es el doble producto de las raíces cuadradas de estos dos números . El signo del término central es más si se ha elevado al cuadrado una suma; es menos si se ha elevado al cuadrado una diferencia.

El polinomio 16x² - 8xy + y² es un trinomio en el cual el primer término, 16x², y el último término, y², son cuadrados perfectos con signos positivos. Las raíces cuadradas son 4x, y. El doble producto de las raíces cuadradas es 2(4x)(y) = 8xy. El término central está precedido por un signo menos indicando que se ha elevado al cuadrado una diferencia. En la forma factoreada este trinomio es como sigue:

Para factorear el trinomio, simplemente extraemos las raíces cuadradas de los términos extremos y los unimos con un signo más si el término central está precedido por un signo más, o con un menos si el término central está precedido por un menos.

Los términos de un trinomio aparecerán en cualquier orden. Entonces, 8xy + y² + 16x² es un trinomio cuadrático y puede factorearse de esta manera:

Observando que en ambos casos el trinomio ha sido descompuesto en el producto de dos factores binomios iguales, y que dichos factores son la suma o diferencia de las bases de los términos cuadrados perfectos, según que el tercer término sea positivo o negativo respectivamente, como el procedimiento seguido es general se deduce la siguiente:

Regla: Todo trinomio cuadrado perfecto puede descomponerse en el producto de dos factores binomios iguales a la suma o diferencia de las bases de los cuadrados perfectos, según que el tercer término sea positivo o negativo respectivamente.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Entre las siguientes expresiones, factorear aquellas que son trinomios cuadráticos:

Colocación de términos que faltan

El buen éxito en el reconocimiento de trinomios cuadráticos puede mejorarse practicando la solución de problemas que requieren colocar un término que falta. Por ejemplo, la expresión y² + (?) + 16 puede formar un trinomio cuadrático perfecto colocando el término correcto para llenar el paréntesis.

El término central debe ser el doble producto de las raíces cuadradas de los dos términos cuadrados perfectos; es decir, (2) (4) (y), u 8y. Prueba: y² + 8y + 16 = (y + 4)². El término que falta es 8y.

Supongamos que deseamos colocar el término que falta en 16x² + 24xy + (?) de modo que los tres términos formen un trinomio cuadrado perfecto. La raíz cuadrada del primer término es 4x. Un medio del término central es 12xy. Dividimos 12xy por 4x. El resultado es 3y, que constituye la raíz cuadrada del último término. Entonces, nuestro término ausente es 9y². Controlando, determinamos que (4x + 3y)² 16x² + 24xy + 9y².

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En cada uno de los siguientes problemas, colocar el término que falta para formar un trinomio cuadrado perfecto:

Otros trinomios

A veces es posible factorear trinomios que son cuadrados perfectos. He aquí algunos ejemplos de tales trinomios y las expresiones de las cuales son productos:

Resulta evidente que trinomios como los anteriores podrán factorearse en binomios del tipo de los indicados. Observe cómo se forma el trinomio en cada uno de los ejemplos anteriores. El primer término es el cuadrado del término común de los binomios factores. El segundo término constituye la suma algebraica de sus términos no semejantes por su término común. El tercer término es el producto de sus términos no semejantes.

Tales trinomios pueden factorearse como el producto de dos binomios si hay dos números tales que su suma algebraica sea el coeficiente del término central y su producto sea el último término.

Por ejemplo, sea factorear la expresión x² - 12x + 32. Si la expresión es factoreable habrá un término común, x, en cada uno de los binomios factores. Comenzamos el factoreo colocando ese término dentro de cada uno de los paréntesis, así:

(x   )(x   )

A continuación debemos determinar los otros términos que van en el paréntesis. Éstos serán dos números tales que su suma algebraica sea -12 y su producto + 32. Vemos que -8 y -4 satisfacen las condiciones. De lo que resulta la siguiente expresión:

x²  - 12x + 32 = (x - 8)(x - 4)

En el factoreo es de valor tener en cuenta algunos hechos útiles acerca de los trinomios. Si el segundo y tercer término del trinomio son positivos, los signos de los términos a determinar son positivos, como en el ejemplo 1 de esta sección. Si el segundo término es negativo y el último positivo, ambos términos a determinar serán negativos, como en el ejemplo 2. Si el tercer término del trinomio es negativo, uno de los términos a determinar es positivo y el otro negativo, como en los ejemplos 3 y 4.

Concerniente a este último caso, si el segundo término es positivo, como en el ejemplo 3, el término positivo en los factores tiene el mayor valor numérico. Si el segundo término es negativo, como en el ejemplo 4, el término negativo en los factores tiene el mayor valor numérico.

Se recordará que no todos los trinomios son factoreables. Por ejemplo, x² + 4x + 2 no puede factorearse puesto que no hay dos números racionales cuyo producto sea 2 y cuya suma sea 4.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Factorear completamente, en los siguientes problemas:

Hasta ahora hemos considerado sólo aquellas expresiones en las cuales el coeficiente del primer término es 1. Cuando el coeficiente del primer término es diferente de 1, la expresión puede factorearse conforme se muestra en el siguiente ejemplo:

6x² - x - 2 = (2x + 1)(3x - 2)

Si bien este resultado puede obtenerse por el método de prueba y error, el procedimiento que sigue ahorra tiempo y esfuerzo. Primero se determinan dos números cuyas sumas sean el coeficiente del segundo término (- 1 en este ejemplo) y cuyo producto sea igual al producto del tercer término y el coeficiente del primer término (en este ejemplo, (6) ( -2) ó ( -12). Por observación se determina que los números buscados son – 4 y + 3. Usando estos dos números como coeficientes para x podemos volver a escribir la expresión original como 6x² - 4x + 3x - 2 y factorear de este modo:

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Factorear completamente los siguientes problemas:

REDUCCIÓN DE FRACCIONES A TÉRMINOS MINIMOS

El factoreo tiene muchas aplicaciones útiles. Una de las más importantes es la simplificación de fracciones algebraicas. Las fracciones que contienen expresiones algebraicas en el numerador o en el denominador, o en ambos, pueden reducirse a los términos mínimos si hay factores comunes en el numerador y en el denominador. Si los términos de una fracción son monomios, los factores comunes se hacen evidentes de inmediato, como en la siguiente expresión:

Si los términos de una fracción son polinomios, éstos deben factorearse para reconocer la existencia de factores comunes, como en los dos ejemplos ofrecidos a continuación:

Advierta que sin los procesos de factoreo nos hubiéramos visto forzados a emplear las fracciones en sus formas más complicadas. Cuando hay factores comunes al numerador y denominador evidentemente es más práctico simplificarlos (usando primero el proceso de factoreo) antes de efectuar cálculos.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En cada uno de los siguientes, reducir a los mínimos términos:

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