TRINOMIOS CUADRÁTICOS
Un trinomio que es el cuadrado de un binomio se llama Trinomio
Cuadrático, o de otra manera, se dice que
un trinomio es cuadrado perfecto, cuando dos de sus términos
son positivos y cuadrados perfectos y el tercer término
es el doble del producto de las bases de dichos cuadrados,
pudiendo ser positivo o negativo.. Los trinomios que son cuadrados
perfectos se factorean tanto para el cuadrado de una suma
como para el cuadrado de una diferencia. Recordando que (x
+ y)2 = x2 + 2xy + y2,
y que (x - y)2 = x2 - 2xy +
y2, la forma de un trinomio cuadrático
es evidente. El primer término y el último constituyen
cuadrados perfectos y sus signos son positivos. El término
central es el doble producto de las raíces cuadradas
de estos dos números . El signo del término
central es más si se ha elevado al cuadrado una suma;
es menos si se ha elevado al cuadrado una diferencia.
El polinomio 16x2 - 8xy + y2
es un trinomio en el cual el primer término, 16x2,
y el último término, y2,
son cuadrados perfectos con signos positivos. Las raíces
cuadradas son 4x, y. El
doble producto de las raíces cuadradas es 2(4x)(y)
= 8xy. El término central está precedido
por un signo menos indicando que se ha elevado al cuadrado
una diferencia. En la forma factoreada este trinomio es como
sigue:
Para factorear el trinomio, simplemente extraemos las raíces
cuadradas de los términos extremos y los unimos con
un signo más si el término central está
precedido por un signo más, o con un menos si el término
central está precedido por un menos.
Los términos de un trinomio aparecerán en cualquier
orden. Entonces, 8xy + y2 + 16x2
es un trinomio cuadrático y puede factorearse de esta
manera:
Observando que en ambos casos el trinomio ha
sido descompuesto en el producto de dos factores binomios
iguales, y que dichos factores son la suma o diferencia de
las bases de los términos cuadrados perfectos, según
que el tercer término sea positivo o negativo respectivamente,
como el procedimiento seguido es general se deduce la siguiente:
Regla: Todo trinomio cuadrado perfecto puede
descomponerse en el producto de dos factores binomios iguales
a la suma o diferencia de las bases de los cuadrados perfectos,
según que el tercer término sea positivo o negativo
respectivamente.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Entre las siguientes expresiones, factorear aquellas que son
trinomios cuadráticos:
Colocación de términos que faltan
El buen éxito en el reconocimiento de trinomios cuadráticos
puede mejorarse practicando la solución de problemas
que requieren colocar un término que falta. Por ejemplo,
la expresión y2 + (?) + 16
puede formar un trinomio cuadrático perfecto colocando
el término correcto para llenar el paréntesis.
El término central debe ser el doble producto de
las raíces cuadradas de los dos términos cuadrados
perfectos; es decir, (2) (4) (y), u 8y.
Prueba: y2 + 8y + 16 = (y + 4)2.
El término que falta es 8y.
Supongamos que deseamos colocar el término que falta
en 16x2 + 24xy + (?) de modo que
los tres términos formen un trinomio cuadrado perfecto.
La raíz cuadrada del primer término es 4x.
Un medio del término central es 12xy.
Dividimos 12xy por 4x. El
resultado es 3y, que constituye la raíz
cuadrada del último término. Entonces, nuestro
término ausente es 9y2.
Controlando, determinamos que (4x + 3y)2
16x2 + 24xy + 9y2.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En cada uno de los siguientes problemas, colocar el término
que falta para formar un trinomio cuadrado perfecto:
Otros trinomios
A veces es posible factorear trinomios que son cuadrados
perfectos. He aquí algunos ejemplos de tales trinomios
y las expresiones de las cuales son productos:
Resulta evidente que trinomios como los anteriores podrán
factorearse en binomios del tipo de los indicados. Observe
cómo se forma el trinomio en cada uno de los ejemplos
anteriores. El primer término es el cuadrado del término
común de los binomios factores. El segundo término
constituye la suma algebraica de sus términos no semejantes
por su término común. El tercer término
es el producto de sus términos no semejantes.
Tales trinomios pueden factorearse como el producto de dos
binomios si hay dos números tales que su suma algebraica
sea el coeficiente del término central y su producto
sea el último término.
Por ejemplo, sea factorear la expresión x2
- 12x + 32. Si la expresión es factoreable
habrá un término común, x,
en cada uno de los binomios factores. Comenzamos el factoreo
colocando ese término dentro de cada uno de los paréntesis,
así:
(x )(x )
A continuación debemos determinar los otros términos
que van en el paréntesis. Éstos serán
dos números tales que su suma algebraica sea -12 y
su producto + 32. Vemos que -8 y -4 satisfacen las condiciones.
De lo que resulta la siguiente expresión:
x2 - 12x + 32 = (x
- 8)(x - 4)
En el factoreo es de valor tener en cuenta algunos hechos
útiles acerca de los trinomios. Si el segundo y tercer
término del trinomio son positivos, los signos de los
términos a determinar son positivos, como en el ejemplo
1 de esta sección. Si el segundo término es
negativo y el último positivo, ambos términos
a determinar serán negativos, como en el ejemplo 2.
Si el tercer término del trinomio es negativo, uno
de los términos a determinar es positivo y el otro
negativo, como en los ejemplos 3 y 4.
Concerniente a este último caso, si el segundo término
es positivo, como en el ejemplo 3, el término positivo
en los factores tiene el mayor valor numérico. Si el
segundo término es negativo, como en el ejemplo 4,
el término negativo en los factores tiene el mayor
valor numérico.
Se recordará que no todos los trinomios son factoreables.
Por ejemplo, x2 + 4x + 2 no puede
factorearse puesto que no hay dos números racionales
cuyo producto sea 2 y cuya suma sea 4.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Factorear completamente, en los siguientes problemas:
Hasta ahora hemos considerado sólo aquellas expresiones
en las cuales el coeficiente del primer término es
1. Cuando el coeficiente del primer término es diferente
de 1, la expresión puede factorearse conforme se muestra
en el siguiente ejemplo:
6x2 - x - 2 = (2x + 1)(3x
- 2)
Si bien este resultado puede obtenerse por el
método de prueba y error, el procedimiento que sigue
ahorra tiempo y esfuerzo. Primero se determinan dos números
cuyas sumas sean el coeficiente del segundo término
(- 1 en este ejemplo) y cuyo producto sea
igual al producto del tercer término y el coeficiente
del primer término (en este ejemplo, (6) (
-2) ó ( -12). Por observación
se determina que los números buscados son –
4 y + 3. Usando estos dos números
como coeficientes para x podemos volver a escribir la expresión
original como 6x2 - 4x + 3x - 2
y factorear de este modo:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Factorear completamente los siguientes problemas:
REDUCCIÓN DE FRACCIONES A TÉRMINOS
MINIMOS
El factoreo tiene muchas aplicaciones útiles. Una
de las más importantes es la simplificación
de fracciones algebraicas. Las fracciones que contienen expresiones
algebraicas en el numerador o en el denominador, o en ambos,
pueden reducirse a los términos mínimos si hay
factores comunes en el numerador y en el denominador. Si los
términos de una fracción son monomios, los factores
comunes se hacen evidentes de inmediato, como en la siguiente
expresión:
Si los términos de una fracción
son polinomios, éstos deben factorearse para reconocer
la existencia de factores comunes, como en los dos ejemplos
ofrecidos a continuación:
Advierta que sin los procesos de factoreo nos
hubiéramos visto forzados a emplear las fracciones
en sus formas más complicadas. Cuando hay factores
comunes al numerador y denominador evidentemente es más
práctico simplificarlos (usando primero el proceso
de factoreo) antes de efectuar cálculos.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En cada uno de los siguientes, reducir a los mínimos
términos:
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